\(\huge\color{red}{\textbf{实数集不可数定理的对角线法证明是一个伪证}}\)

APB先生

      无限的自然数集 \[\mathbb{N}=\left\{ 0{,}\ 1{,}\ 2{,}\ \cdots{,}\ 1\dot{0}^{1\dot{0}^{1\dot{0}}}{,}\ \cdots\right\}\ \ \ \ \ 1\dot{0}=100\cdots\]显然是存在无限数的，例如\[\left\{ 1\dot{0}{,}\ \ 1\dot{0}^{1\dot{0}}{,}\ \ 1\dot{0}^{1\dot{0}^{1\dot{0}}}{,}\ \ \cdots\right\}\subset\mathbb{N}\]           
而且每一个非零的有限自然数的封闭函数中都存在无限数：\[f\left( 1\right)=1\oplus1\oplus\cdots=\cdots11.0=\dot{1}.0\in\mathbb{N}\]\[f\left( 2\right)=2\oplus2\oplus\cdots=\cdots22.0=\dot{2}.0\in N\]\[\cdots\cdots\]\[f\left( n\right)=n\oplus n\oplus\cdots=\dot{n}.0=\cdots nn.0\in N\]
区间（0,1）的每一个无限小数都至少对应二个无限数： \[f\left( 0.a_1a_2\cdots\right)=\begin{cases}
a_1a_2\cdots.0\\
\cdots a_2a_1.0
\end{cases}\]

APB先生

      因为实数集 \(\mathbb{R}\) 所包含的整数集 \(\mathbb{Z}\) 、自然数集 \(\mathbb{N}\) 、有理数集 \(\mathbb{Q}\) 都是公认的可数集！\[\mathbb{R}=\left\{ \mathbb{Z}{,}\ \mathbb{\mathbb{N}}{,}\ \mathbb{Q}{,}\ \cdots\right\}\]！就连实数集所包含的任意多个无理数集合也是可数的！！
      所以不可数的不能与 1 对等的实数是不存在的。
      所以实数集不可数是自相矛盾的，是不成立的。      
      

APB先生

公知：实数集 \(\mathbb{R}\) 的基数是 \(\left| \mathbb{R}\right|\)；自然数集 \(\mathbb{N}\) 的基数是 \(\left| \mathbb{N}\right|\)；
      因为 \(\left| \mathbb{R}\right|>\left| \mathbb{N}\right|\)
      所以实数集 \(\mathbb{R}\) 有 \(\mathbb{\left| N\right|}\) 个元素是可数的；
      所以实数集 \(\mathbb{R}\) 有 \(\left| R\right|-\left| \mathbb{N}\right|\) 个元素是不可数的。
      因为 \(\left| \mathbb{R-\ \mathbb{N}}\right|>\left| \mathbb{N}\right|\)
      所以实数集 \(\left\{ \mathbb{R}-\mathbb{N}\right\}\) 又有 \(\mathbb{\left| N\right|}\) 个元素是可数的；
      所以实数集 \(\left\{ \mathbb{R}-\mathbb{N}\right\}\) 又有 \(\left| R\right|-\left| \mathbb{N}\right|-\left| \mathbb{N}\right|\) 个元素是不可数的。
      \(\cdots\cdots\)