\(\huge^*\;\underset{n\to\infty}{\lim}n=\sup\mathbb{N}\not\in\mathbb{N}\)

春风晚霞

1、什么是无穷大：
【定义】：若整序变量\(x_n\)，由某项开始，其绝对值变成且保持着大于预先给定的任意大数E>0，当n>\(N_E\)时恒有|\(x_n\)|>\(N_E\)，则称变量\(x_n\)为无穷大（参见菲赫金戈尔茨《数学分析原理》第一卷第一分册P59页无穷大的定义）
2、命题：\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\in\mathbb{N}\)
【证明】因为\(\forall\alpha\in\mathbb{N}\)恒有：\(\mathbb{N}=\{x\le\alpha\}\cup\{x>\alpha\}\)，设\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)，所以当\(x>α\)时，\(x\in\{\alpha+1, \alpha+2,…，v-2，v-1，v，\)\(v+1，…\}\)\(\subset\mathbb{N}\)，所以\(…，v-2，v-1，v，v+1，…\)都是自然数。特别的\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)是自然数！【证毕】
【注意】该证明不仅证明了\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)是自然数，也证明了还有比\(v\)更大的自然数。即自然数集只有更大，没有最大。

春风晚霞

elim真了不起，你连什么是自然数？什么是自然数集？什么是无穷？什么是趋向无穷都一概不知道，连波亚诺公理，康托尔正整数生成法则都不用。居然也能证得【自然数皆有限数】，\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)？真是不愧是民科领袖！你把“目中无人，死不要脸”的致胜秘诀发扬到了极致。你还好意思拿那些被批臭、批烂的宿帖拿来显摆，拿来胡搅蛮缠。似此流氓无赖，真他娘的羞人！

春风晚霞

elim真了不起，你连什么是自然数？什么是自然数集？什么是无穷？什么是趋向无穷都一概不知道，连波亚诺公理，康托尔正整数生成法则都不用。居然也能证得【自然数皆有限数】，\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)？真是不愧是民科领袖！你把“目中无人，死不要脸”的致胜秘诀发扬到了极致。你还好意思拿那些被批臭、批烂的宿帖拿来显摆，拿来胡搅蛮缠。似此流氓无赖，真他娘的羞人！

春风晚霞

elim真了不起，你连什么是自然数？什么是自然数集？什么是无穷？什么是趋向无穷都一概不知道，连波亚诺公理，康托尔正整数生成法则都不用。居然也能证得【自然数皆有限数】，\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)？真是不愧是民科领袖！你把“目中无人，死不要脸”的致胜秘诀发扬到了极致。你还好意思拿那些被批臭、批烂的宿帖拿来显摆，拿来胡搅蛮缠。似此流氓无赖，真他娘的羞人！

春风晚霞

自然数\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)不是\(\mathbb{N}\)中的最大数

        因为ω是极限序数，所以\(\nu(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)\)不是ω的直接前趋，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n\)\(+1)≠ω\)，又因ω的后继是ω+1，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n+1)\)也不是ω的后继。所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n+1)<ω\)(数的三歧性)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n+1)\in\mathbb{N}\)（即皮亚诺公理对\(\nu=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)成立)。因为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n+1)>\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)，所以\(\nu=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)不是\(\mathbb{N}\)中的最大数.
       其实，就算elim用流氓手段把\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)驱逐出\(\mathbb{N}\),你也证明不了\(\mathbb{N}\)中的元素都是有限自然数！因为\(\mathbb{N}\)中还有无穷多个诸如\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n\)\(-k)\)这样的无穷元！

春风晚霞

        陶哲轩先生在他的《陶哲轩实分析》第三版P19页2—4行也讲了〖存在其它数系，使得“无穷大”是该数系中的元素。例如基数系、序数系以及p进数系〗。
        由于集合论是在基数系和序数系下展开讨论的，集列\(\{A_k=\{m\in\mathbb{N}:m≤k\}\}\)的极限集是在十(p=10）进数系下讨论的。所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)。同时我们根据数的三歧性原理证明了皮亚诺公理第二条对\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)成立(参见《\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)不是\(\mathbb{N}\)中最大数》的证明)。因此，elim的【\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(sup\mathbb{N}\)\(\notin\mathbb{N}\)】的臆想不成立！所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)再次得到严谨证明。
        对于elim这样的民科领袖，本帖他是不会看的。他宁肯削足适靴，他也会坚持他的胡说八道。不过分享本帖，也为关注\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)问题的网友提供参考！

春风晚霞

        读了谢先生对【《陶哲轩实分析》第三版P19页2—4行讲道：自然数系能够趋向于无穷大，但它不能取到无穷大，无穷大不是自然数。（存在其它数系，使得“无穷大”是该数系中的元素。例如基数系、序数系以及p进数系）,并声明这些数系“完全不在本书的讨论范围之内”】的解读，春风晚霞亦有如下一些认识，请谢先生雅正：

        1、什么是无穷大：
        【定义】：若整序变量\(x_n\)，由某项开始，其绝对值变成且保持着大于预先给定的任意大数E>0，当n>\(N_E\)时恒有|\(x_n\)|>\(N_E\)，则称变量\(x_n\)为无穷大（记作\(\infty\)（参见菲赫全哥尔茨《微积分学教程》四卷八册版笫一卷，第一分册P37页；及其《数学分析原理》两卷四册版第一卷第一分册P59页无穷大的定义)
        根据E的任意性和皮亚诺公理（Peano axioms)，我们不难证明集合\(\mathbb{N}_∞\)≠\(\Phi\)。事实上当\(n_0>N_E\)时，有\(n_1=n_0+1\)>\(N_E\)，……，\(n_{i+1}=n_i+1\)>\(N_E\)，……所以\(n_j\)∈\(\mathbb{N}_∞\)，j∈N. 所以\(\mathbb{N}_∞\)是无限集。
         2、什么叫n→∞？
        【定义】：当\(n\{n｜n>N_E，n\in\mathbb{N}\)时称n趋向于无穷大，记为n→∞.
        3、自然集是无界性
        现行小学四年级教材（人教版小学四年级上册）[认识更大的数板块]要求向学生渗透｛比你写午出、想像得到的自然数都大的自然数叫无穷从自然数｝根据这个描述说法，自然数的无界性（即无穷大自然数）可定义为：
        【定义】.对任意预先组定的无论怎样大的自然数\( \alpha\),则称自然数集\(\mathbb{N}_{\infty}=\{m\in\mathbb{N}:m> \alpha\}\)为无穷大自然数集，集合\(\mathbb{N}_{\infty}\)中每个数都是无穷大自然数。
        根据E的任意性和皮亚诺公理（Peano axioms)，不难证明集合\(\mathbb{N}_∞\)≠\(\Phi\)。事实上当.对任意预先组定的无论怎样大的自然数\( \alpha\)，都有\( \alpha\)+1，\( \alpha\)+2，……属于\(\mathbb{N}\)，年以\(\mathbb{N}_∞\)≠\(\Phi\)！
        4、无穷大自然数\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)与无穷大自然数集\(\mathbb{N}_{\infty}\)的关系
根据无穷大自然数集的定义，自然数\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}_{\infty}\subset\mathbb{N}\)
        5、在康托尔实正整集（包含了自然数集）中\(\nu(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)\)、\( \omega\)、\(\aleph_0\)、\(\aleph\)各有各的语言环境，elim多处把\( \omega\)作最小无穷数，来证明他的【自然数比有限数】，结果是荒唐的。
        根据春风晚霞如上的分析，我认为《陶哲轩实分析》第三版P19页2—4行讲的【自然数系能够趋向于无穷大，但它不能取到无穷大，无穷大不是自然数。（存在其它数系，使得“无穷大”是该数系中的元素。例如基数系、序数系以及p进数系）,并声明这些数系】是完全正确的。

春风晚霞

        读了谢先生对【《陶哲轩实分析》第三版P19页2—4行讲道：自然数系能够趋向于无穷大，但它不能取到无穷大，无穷大不是自然数。（存在其它数系，使得“无穷大”是该数系中的元素。例如基数系、序数系以及p进数系）,并声明这些数系“完全不在本书的讨论范围之内”】的解读，春风晚霞亦有如下一些认识，请谢先生雅正：

        1、什么是无穷大：
        【定义】：若整序变量\(x_n\)，由某项开始，其绝对值变成且保持着大于预先给定的任意大数E>0，当n>\(N_E\)时恒有|\(x_n\)|>\(N_E\)，则称变量\(x_n\)为无穷大（记作\(\infty\)（参见菲赫全哥尔茨《微积分学教程》四卷八册版笫一卷，第一分册P37页；及其《数学分析原理》两卷四册版第一卷第一分册P59页无穷大的定义)
        根据E的任意性和皮亚诺公理（Peano axioms)，我们不难证明集合\(\mathbb{N}_∞\)≠\(\Phi\)。事实上当\(n_0>N_E\)时，有\(n_1=n_0+1\)>\(N_E\)，……，\(n_{i+1}=n_i+1\)>\(N_E\)，……所以\(n_j\)∈\(\mathbb{N}_∞\)，j∈N. 所以\(\mathbb{N}_∞\)是无限集。
         2、什么叫n→∞？
        【定义】：当\(n\{n｜n>N_E，n\in\mathbb{N}\)时称n趋向于无穷大，记为n→∞.
        3、自然集是无界性
        现行小学四年级教材（人教版小学四年级上册）[认识更大的数板块]要求向学生渗透｛比你写午出、想像得到的自然数都大的自然数叫无穷从自然数｝根据这个描述说法，自然数的无界性（即无穷大自然数）可定义为：
        【定义】.对任意预先组定的无论怎样大的自然数\( \alpha\),则称自然数集\(\mathbb{N}_{\infty}=\{m\in\mathbb{N}:m> \alpha\}\)为无穷大自然数集，集合\(\mathbb{N}_{\infty}\)中每个数都是无穷大自然数。
        根据E的任意性和皮亚诺公理（Peano axioms)，不难证明集合\(\mathbb{N}_∞\)≠\(\Phi\)。事实上当.对任意预先组定的无论怎样大的自然数\( \alpha\)，都有\( \alpha\)+1，\( \alpha\)+2，……属于\(\mathbb{N}\)，年以\(\mathbb{N}_∞\)≠\(\Phi\)！
        4、无穷大自然数\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)与无穷大自然数集\(\mathbb{N}_{\infty}\)的关系
根据无穷大自然数集的定义，自然数\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}_{\infty}\subset\mathbb{N}\)
        5、在康托尔实正整集（包含了自然数集）中\(\nu(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)\)、\( \omega\)、\(\aleph_0\)、\(\aleph\)各有各的语言环境，elim多处把\( \omega\)作最小无穷数，来证明他的【自然数比有限数】，结果是荒唐的。
        根据春风晚霞如上的分析，我认为《陶哲轩实分析》第三版P19页2—4行讲的【自然数系能够趋向于无穷大，但它不能取到无穷大，无穷大不是自然数。（存在其它数系，使得“无穷大”是该数系中的元素。例如基数系、序数系以及p进数系）,并声明这些数系】是完全正确的。

春风晚霞

        关于《陶哲轩实分析》第三版P19页2—4行讲道：〖自然数系能够趋向于无穷大，但它不能取到无穷大，无穷大不是自然数。（存在其它数系，使得“无穷大”是该数系中的元素。例如基数系、序数系以及p进数系）,并声明这些数系〗，春风晚霞认为可作如下解读
        1、什么是无穷大：
        【定义】：若整序变量\(x_n\)，由某项开始，其绝对值变成且保持着大于预先给定的任意大数E>0，当n>\(N_E\)时恒有|\(x_n\)|>\(N_E\)，则称变量\(x_n\)为无穷大（记作\(\infty\)（参见菲赫全哥尔茨《微积分学教程》四卷八册版笫一卷，第一分册P37页；及其《数学分析原理》两卷四册版第一卷第一分册P59页无穷大的定义)
        根据E的任意性和皮亚诺公理（Peano axioms)，我们不难证明集合\(\mathbb{N}_∞\)≠\(\phi\)。事实上当\(n_0>N_E\)时，有\(n_1=n_0+1\)>\(N_E\)，……，\(n_{i+1}=n_i+1\)>\(N_E\)，……所以\(n_j\)∈\(\mathbb{N}_∞\)，j∈N. 所以\(\mathbb{N}_∞\)是无限集。
         2、什么叫n→∞？
        【定义】：当\(n\{n｜n>N_E，n\in\mathbb{N}\)时称n趋向于无穷大，记为n→∞.
        3、自然集是无界性
        现行小学四年级教材（人教版小学四年级上册）[认识更大的数板块]要求向学生渗透〖比你写得出、想像得到的自然数都大的自然数叫无穷大自然数〗。根据这个描述性说法，自然数的无界性（即无穷大自然数）可定义为：
        【定义】.对任意预先组定的无论怎样大的自然数\( \alpha\),则称自然数集\(\mathbb{N}_{\infty}=\{m\in\mathbb{N}:m> \alpha\}\)为无穷大自然数集，集合\(\mathbb{N}_{\infty}\)中每个数都是无穷大自然数。
        根据E的任意性和皮亚诺公理（Peano axioms)，不难证明集合\(\mathbb{N}_∞\)≠\(\phi\)。事实上当.对任意预先组定的无论怎样大的自然数\( \alpha\)，都有\( \alpha\)+1，\( \alpha\)+2，……属于\(\mathbb{N}\)，年以\(\mathbb{N}_∞\)≠\(\phi\)！
        4、无穷大自然数\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)与无穷大自然数集\(\mathbb{N}_{\infty}\)的关系
根据无穷大自然数集的定义，自然数\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}_{\infty}\subset\mathbb{N}\)
        5、在康托尔实正整集（包含了自然数集）中\(\nu(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)\)、\( \omega\)、\(\aleph_0\)、\(\aleph\)各有各的语言环境，elim多处把\( \omega\)作最小无穷数，来证明他的【自然数比有限数】，结果是荒唐的。
        根据如上的分析，我认为《陶哲轩实分析》第三版P19页2—4行讲的【自然数系能够趋向于无穷大，但它不能取到无穷大，无穷大不是自然数。（存在其它数系，使得“无穷大”是该数系中的元素。例如基数系、序数系以及p进数系）,并声明这些数系】是完全正确的。

春风晚霞

elim真了不起，你连什么是自然数？什么是自然数集？什么是无穷？什么是趋向无穷都一概不知道，连波亚诺公理，康托尔正整数生成法则都不用。居然也能证得【自然数皆有限数】，\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)？真是不愧是民科领袖！你把“目中无人，死不要脸”的致胜秘诀发扬到了极致。你还好意思拿那些被批臭、批烂的宿帖拿来显摆，拿来胡搅蛮缠。似此流氓无赖，真他娘的羞人！