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[警钟长鸣] 这些证明 "四色问题" 的方法都不成立吗？
[这个贴子最后由LIUFU在 2013/08/21 10:55am 第 6 次编辑]
不用换色法对Q 、R构形的处理
在《警钟长鸣》中，有：（3）第 1，2，3 种证明方法，不能成立的原因，可见
B。韦斯特。图论导引（第 2 版）。第 204-207 页（同上）。
（注意 ---- 设一个面 V 有 4，5 个相邻面的构形分别为 Q，R。构形 Q 中只有“非 H 图”（不类似 Heawood 图的），
而构形 R 中除有“非 H 图”外，还有多种“类 H 图”（类似 Heawood 图的）。
当年，Kempe 用同一种着色方法（必须如此），证明“非 H 图”的 V 面可着 4 色中的某一色，为可约的，
但却不能同时证明多种“类 H 图”也是可约的！尽管能用另一种着色方法，证明 Heawood 图也可着 4 色！
于是，人们才去另辟新径，见 N.Robertson 等人的文章，可点击 www.docin.com/p-90614570.html
我觉得我们在学习古人东西的同时，也要结合现代图论已有的基础知识。这样就不易走弯路。
就说Q构形，也可以不用换色法；因为已知“V的4邻点，已用完4色了。”相当于：给了4种颜色，如何使v也着这4种颜色的其中某一色？
首先考虑4邻点的构形，4邻点互相独立，呈繁星状（需2色）；邻点相邻，呈轮图结构（需3色）；相比较看，后者需要颜色数较多些；故为稳妥，考虑轮图结构为好。这是一个5阶轮图，是3色图。已知是4种颜色，外围用2色，V用1色，还空1色；显然是可以办到给v着上4色之一色的！
如此，我们用了“可着色的定义”----对颜色数的重新再分配----给解决了。
同样道理，也可以解决R结构的问题：5邻点，4着色，如何给v着4色之一色呢？
5邻点与v构成6阶轮图，是4色图。请注意：用了轮图，使“最少可着色数”进入了证明。已知的4色的重新再分配可以给外围5邻点着3色，v着上4色之一色的。
在上面的讨论中，我们用到轮图的色数定理：奇圈和奇数阶轮图都是3-色图，而偶数阶轮图为4-色图。这是现在《离散数学教程》中就有的定理！
我个人认为，由于时代的变化，在图论基础知识发展的今天，已经产生了很多管用的定理。结合数学归纳法，可以组织非常有力的四色猜想的证明。每一个熟悉这两方面的人都可以写出证明来，“4cc”的证明不再是专家学者的专利啦！
大家在前面已经看到了我对两个构形，是使用“轮图”这个特殊的工具来处理的。轮图能不能胜任这项任务呢？我通过一个例子负责任的告诉大家，完全胜任！首先得承认，轮图定理是真的，千真万确！有书为证，家喻户晓。
既然它是定理，按数学的逻辑，它可以产生推论！现在我用它来研究任意简单平面图的最外层顶点所构成的环的“着色数”。怎么研究？不用别的，就用对偶原理---在图外取一点v,以v为轮图中心，并与简单平面图最外层顶点（n个）连线，于是构成（n+1）阶轮图。当然可依据该轮图的阶数，知道轮图的色数i。于是简单平面图最外层顶点构成的“环的着色数”可以推出为：(i-1)!
偶阶轮图色数最多（4色），此时 i-1=4-1=3 ；因此简单平面图最外层顶点构成的环的着色数为3.这是个正确的命题。
我认为把“证明”搬过来是不必要地重复，浪费了网络资源。有意看证明者，请到《出现5色定理的根源》10楼三查阅。
我的本意，不是“我”在写；而是“大家写”！很多网友都有能力写，而且是各有特色。我要用自已的努力和诸多网友同心协力写出多样的"4cc"证明。
对希伍德反例图应该怎样认识？它与肯普颜色交换法有怎样的制约关系？在我学习了张彧典老师的《四色猜想图表解》后，想再聊聊肯普的范式到底能不能证明四色猜想？
从而让大家对肯普的颜色交换法有一个近代的新认知！破解连图论的业内人士都称之为的“肯普绝招儿”。
希伍德反例图----图4（1）（在我的博客中）是由平常心绘制的；其突出特点是带有序号，方便使用。我们特别关注顶点1（r)、2(b)、3(r)、4(g)、5(y),因为它反应出Kempe的颜色交换条件：2->4、2->5都是连通的链，该图属于双r夹b型。Kempe想要同时移去两个r!
这个反例图不止揭示Kempe证明方法的漏洞，它还包含着许多其它有用的信息。现在看来，历史的评价难免有局限性。我们不能把今天的观点强加于古人、今人也不能囿于古人的历史局限而忽视现实。如果我们非常认真地研究肯普的方法，那么肯普颜色交换的条件是必须清楚的。然而古人确实不清楚：当希伍德给出反例后，Kempe没有指出3->5链由不连通变为连通之后，已经不符合交换的条件！历史的评论者也受局限不能正确指出错误之所在。历史上没有看出来这一错误，是可以理解的；百年后的今天，我们再看不出来，那就会耽误图论问题的解决。
在基于肯普条件的思想指导下，3->5的连通也不是坏事---它预示着反例图的结构类型发生了变化（这一点对当年的肯泊是无法想象的）：由rbr型转化为gyg型.对后一个构形用肯泊的方法很容易处理，同时移去两个g,且给v着上。这也说明“rbr”是H构形，而“gyg”是K构形。由于可约性问题得到了解决，构型的转化也随之停止。我们不难想象，若“gyg”不是K构形，构型还将继续转化下去。
如果我们用命题来表达我们所做的工作，肯普的交换结果{或证明前一构型是可约的，或又转化为新构型；二者必居其一，不得同时成立！}
对于第一种结果，很好理解---问题得到了解决！而对于第二种结果 ---连续出现新构型，怎么去理解呢？每一新构型犹如新给一个图形，都要求我们去重新操作。表面上看，无休无止；实际上看新构型是有限的！
上面这个命题{或，或}是个复合命题。依据轮图色数定理，那连续出现的新构型终会是可约的；因此，该命题就是真命题！
经过这样的分析，我们不难得到结论：Kepme的颜色交换法，可继续（由构型转化）发展成Kepme的范式（在张彧典图表解中称为希伍德颠倒）。这个发展了的肯普范式（我的博客）是能够证明四色猜想的！
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各位看客，您好：我最近专程去学习图论有关定理。刚回来，看了前面我写的观点。告诉大家，希望大家去分享，对您会是有益的！对4CC的解决是有用的。
对《警钟长鸣》的（6）用平面图的最外环的各面最多只着3种颜色证明的！不成立的原因的忠告，需要大家认识学习与研究。
我提醒大家可以用对偶原理来思考这个问题。图论中证明轮图的色数定理时，就用过对偶原理，多数人还没有注意这个原理。轮图的外围顶点可以单独构成一个圈，而同时又是轮图的一部分；这两个部分就是对偶的，其中前者已经解决了（色数=、<3),现在在轮图里也要与前者保持一致！
如果把轮图的中心顶点去掉，而代之以多个顶点构成的平面图。这就是刚开始提到的问题。而得到的结论仍是色数=、<3. |
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发表于 2013-2-18 13:57
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