素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论

wangyangke

-——————同样，π(x)/x的比值，你证明了它们有阶的高低没有？————

我证明了它们有阶的高低。


————————两个无穷大之比，也就是两个无穷小量之比，——————


我用一些无穷小量的轮换变化比较作为镜子，照见一些对应的无穷大量的比较。


你在论坛，展示了你的验算功力，佩服！我上面的吹牛，信不信随你。

wangyangke

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wangyangke

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wangyangke

我论证的：
定理：素数的平均间距趋于无穷大.素数占正整数的比率趋于零.
定理：素数可以是其平均间距的不定阶次高阶无穷大.
引理： 等平均间距 的素数的个数是此平均间距 的不定阶次高阶无穷大.所说的不定阶次其阶次本身可以趋于无穷大.

愚工688

wangyangke 发表于 2020-1-5 00:21
我论证的：
定理：素数的平均间距趋于无穷大.素数占正整数的比率趋于零.
定理：素数可以是其平均间距的不 ...

是否符合无穷小量的比较原则？
π(x)/x的比值，我的观点是没有阶的高低的，
原因很清楚：
1楼中：
而从教科书上对于无穷小量的阶的概念做确切的叙述：（摘自《高等数学》教材28页，书号：13012.096）
设u,v是两个无穷小量，即lim u=0,lim v=0,
(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，记为u=0(v);
事实是在x→∞的过程中，没有看到π(x)/x的比值很快趋小，
相反的是，对于比1/x低阶的无穷小量1/√x,1/π(x)同样是比1/√x高阶的无穷小量。
我们看问题，不是要依据某某专家怎么说的，而是要依据实验数据反映的是怎么现象，否则，怎么讨论？
对于教科书上面有明确定义的无穷小量的阶的概念做确切的叙述，讨论两个无穷小量的比值，却非要脱离无穷小量的阶的概念，用自己不靠谱的方法去讨论，怎么辨别是非？

愚工688

wangyangke 发表于 2020-1-4 23:24
-——————同样，π(x)/x的比值，你证明了它们有阶的高低没有？————

我证明了它们有阶的高低。

因为π(x)的数据有限，我不可能计算x趋于无穷大的情况，只能相对的比较1/π(x)与已知的比1/x低阶的无穷小量1/√x的趋于0的速度。判断1/π(x)与1/x的阶是差不多的，都是比1/π(x)高阶的无穷小量，属于同阶无穷小量。

对于另外一种素数出现率：
由自然数x中不能被≤√x 的全部素数p整除的数得出的数位素数，可以得出素数出现率
    p(x)=π(1-1/p）;-------（式3）
    式中： 2≤p≤√x ，π表示随数x变化时括号内素数p值的连乘。
这里的素数出现率 π(1-1/p）是一个近似数值，其与实际的素数出现率π(x)/x 存在一定的小偏差。这里忽略偏差问题，仅仅讨论概率方式得出的素数出现率 π(1-1/p）的极限问题。
   那么当 x→∞时，p→∞,此时 lim π(1-1/p）→？ 又将如何呢？
  我们同样依据两个无穷小量的阶的概念，来分析π(1-1/p）的极限：
  
  在x→∞时，有 p→∞.       .
  因此有 π(p-1)→∞与π(p）→∞ ,
素数出现率 π(1-1/p）=π（p-1)/ π（p）
  它们的倒数 π[1/(p-1)] 、π[1/(p)]→0 则是两个无穷小量。
  因此 π[1/(p)]/π[1/(p-1)] 的比值的极限，取决于两个无穷小量相互间阶的高低，也就是它们趋向于0的速度比较。
  我知道王元说的： x→∞时， 素数出现率 π(1-1/p）=0. 那么是否符合无穷小量阶的概念呢？

π(1-1/p）=π[(p-1)/p] =π(p-1)／π(p)；
这个两个无穷小量的比较，它们趋向于0的速度比较，是比较容易验证的：
实验数据：
数据说明：
p(n)—— 第n个素数；
p1 —— 1/π(p);
p2 —— 1/ π(p-1)      

程序运行数据：
p( 2 )= 3  , p1= .1666667 , p2= .5
p( 3 )= 5  , p1= 3.333334E-02 , p2= .125
p( 4 )= 7  , p1= 4.761905E-03 , p2= 2.083333E-02
p( 5 )= 11  , p1= 4.329004E-04 , p2= 2.083333E-03
p( 6 )= 13  , p1= 3.330004E-05 , p2= 1.736111E-04
p( 7 )= 17  , p1= 1.958826E-06 , p2= 1.085069E-05
p( 8 )= 19  , p1= 1.030961E-07 , p2= 6.028164E-07
p( 9 )= 23  , p1= 4.482438E-09 , p2= 2.740074E-08
p( 10 )= 29  , p1= 1.545668E-10 , p2= 9.78598E-10
p( 11 )= 31  , p1= 4.986027E-12 , p2= 3.261993E-11
p( 12 )= 37  , p1= 1.347575E-13 , p2= 9.061092E-13
p( 13 )= 41  , p1= 3.286768E-15 , p2= 2.265273E-14
p( 14 )= 43  , p1= 7.643647E-17 , p2= 5.393507E-16
p( 15 )= 47  , p1= 1.626308E-18 , p2= 1.172501E-17
p( 16 )= 53  , p1= 3.068506E-20 , p2= 2.254811E-19
p( 17 )= 59  , p1= 5.200857E-22 , p2= 3.887604E-21
p( 18 )= 61  , p1= 8.525995E-24 , p2= 6.479341E-23
p( 19 )= 67  , p1= 1.272537E-25 , p2= 9.817183E-25
p( 20 )= 71  , p1= 1.792305E-27 , p2= 1.402455E-26
p( 21 )= 73  , p1= 2.455212E-29 , p2= 1.947854E-28
p( 22 )= 79  , p1= 3.107864E-31 , p2= 2.497248E-30
p( 23 )= 83  , p1= 3.744414E-33 , p2= 3.045425E-32
p( 24 )= 89  , p1= 4.207207E-35 , p2= 3.46071E-34
p( 25 )= 97  , p1= 4.337327E-37 , p2= 3.604906E-36
p( 26 )= 101  , p1= 4.294383E-39 , p2= 3.604906E-38
p( 27 )= 103  , p1= 4.169283E-41 , p2= 3.534215E-40
p( 28 )= 107  , p1= 3.89561E-43 , p2= 3.333689E-42
p( 29 )= 109  , p1= 4.203895E-45 , p2= 3.082857E-44
p( 30 )= 113  , p1= 0 , p2= 0
p( 31 )= 127  , p1= 0 , p2= 0
p( 32 )= 131  , p1= 0 , p2= 0
p( 33 )= 137  , p1= 0 , p2= 0
p( 34 )= 139  , p1= 0 , p2= 0
p( 35 )= 149  , p1= 0 , p2= 0
p( 36 )= 151  , p1= 0 , p2= 0                           

可以看到，在x趋大的过程中，两个无穷小量趋于零的速度是差不多的，因此两个无穷小量是同阶无穷小量，是符合无穷小量比较的阶的概念的。

两个无穷小量的比较的Basic 程序文本：
   
2 'The program can list all prine numbers & numbers in [A,B].

4  OPEN "pi(p-1).txt" FOR OUTPUT AS #8
5  PRINT "if b<10, then end ."
6 INPUT " a, b="; a, b
7 IF b < 10 THEN 98
8 k$ = TIME$
10 S = 0: s0 = 0: a1 = a: p1 = .5: p2 = 1
13 s0 = s0 + 1: S = S + 1
20 IF INT(a / 2) = a / 2 THEN a = a + 1
21 FOR j = a TO b STEP 2
38 FOR i = 2 TO b ^ (1 / 2)
40 IF INT(j / i) = j / i AND j / i > 1 THEN 70
42 NEXT i
45 p1 = p1 / j: p2 = p2 / (j - 1)
50 p0 = p0 * (j - 1) / j
60 PRINT j;
62 S = S + 1: s0 = s0 + 1
65  PRINT #8, "p("; S; ")="; j; " , p1="; p1; ","; " p2="; p2
70 NEXT j
80 PRINT TAB(0); "s="; S
88  PRINT #8, "p("; S; ")="; j; " ,p1="; p1; " ,p2="; p2, "p0= "; p0
90 S$ = TIME$
92 PRINT #8, "start time:"; k$; " ,end time :"; S$
95 GOTO 5
98 END

110  PRINT #8, "p("; S; ")="; j; " , p1="; p1; ","; " p2="; p2, "p0= "; p0
112  a1 = j + 2: s0 = 0
160 GOTO 70

如果有兴趣，可以实际验证一下。

wangyangke

素数问题的研究就是有那些不可思议、不合常规、甚至是与常规概念矛盾或者水火不容的方法；如果与之较劲较真，就是笑话就是寸步难行；不信，你看：

函数可微可积的话，那么函数连续，是必要条件吧？可是，数论数学界硬是用自然对数函数的倒数的积分来表示素数的个数π(x)，，，，毫无疑问，是正确的。素数的分布是间断的，而且间断间距通常为无穷大；能积分吗？，，，，你能较真吗？

wangyangke

素数问题的研究就是有那些不可思议、不合常规、甚至是与常规概念矛盾或者水火不容的方法；如果与之较劲较真，就是笑话就是寸步难行；不信，你看：

函数可微可积的话，那么函数连续，是必要条件吧？可是，数论数学界硬是用自然对数函数的倒数的积分来表示素数的个数π(x)，，，，毫无疑问，是正确的。素数的分布是间断的，而且间断间距通常为无穷大；能积分吗？，，，，你能较真吗？

wangyangke

关于x  lnx   π（x）之阶次比较，在我那定理、引理证明的前提下，已经没有证明的了，明确不过了。

任在深

《中华单位论》给出以下问题的证明。

     定理7：素数单位在单位中出现的概率为零

                                 π(2n)
               即   (1)  lim---------- =0
                        2n→∞  2n
       证                                2n+12(√2n-1)
                                        ---------------------
                      π(2n)                 √2n-1                    2n+12(√2n-1)
             lim--------------=lim---------------------- =lim--------------------
           2n→∞   2n      2n→∞        2n            2n→∞   2n(√2n-1)

                                                 2n                      12(√2n-1)
                                 =lim------------------- + lim--------------------
                                2n→∞   2n(√2n-1)     2n→∞ 2n(√2n-1)

                                                1                             12                                                    1                12
                               =lim---------------------- + lim-------------,   因为2n→∞,所以 √2n→∞, ———— →0,---------- →0
                                2n→∞   √2n-1             2n→∞    2n                                               √2n-1              2n

                        即   = 0+0=0

            证毕。

                           欢迎广大网友提出批评指正！