[原创数学]：升级版微积分：函值极限论

门外汉

函值极限论(二十三):无穷大∞究竟是什么?
在上一节中，给出了两个关于无穷的例子，这两个例子用微积分原系统中的无穷大定义是解释不通的，为什么无法解释呢?因为这两个例子全都是实无穷的例子，而微积分是以潜无穷思想为指导原则的，所以对于解释实无穷问题无能为力。
那么，微积分原系统中的无穷大∞究竟是什么呢?
我们知道，大于a的所有实数记为［a，＋∞)，而全体实数可以记为(－∞，＋∞)，这两个区间中的元素全都是实数，也就是说－∞和＋∞不是区间中的元素，即，∞不是实数。
根据函数的无穷大定义，例如对于f(x)＝1/x这个函数，x取值越小，f(x)的值越大，但无论f(x)的值有多大，它都是一个实数，它的取值都不能超出实数的范围。又例如对于n＝1，2，3……来说，n的取值也全都是自然数，不能超出自然数的范围。
因此∞只是代表函数的取值越来越大的一个趋势，在微积分原系统中，与无穷小相类似，无穷大本身并不是一个确定的数值，它是一个函数，一个取值可以无限增大的变量，但却始终不超出实数的范围，又根据皮亚诺公理，任意一个实数都是有限大的，不存在无穷大的实数，所以微积分原系统中，只是在有限的范围内讨论函数，不会真正涉及到无限。
也就是说在微积分原系统中，∞是一个虚概念，不代表任何确定的数值，也不代表真正意义上的无穷。
但这样的定义明显的有许多不足之处，因为数学中许多问题并不是只限于有限的情况，很多问题都会涉及到无限的情况，例如将圆分割为无穷多份，这个“无穷多份”在微积分原系统中无法精确表示，成为了一个无定义，无意义的问题，又例如芝诺问题中，1分钟对应于无穷大，而函数在无穷大处无定义，所以芝诺问题也成为了无意义的问题而无法真正解决。还有一个非常典型的例子就是，0.999……，小数点后面有无穷多个9，但如何用无穷大定义精确解释什么叫做“无穷多个9”呢?用微积分原系统中的定义，只能解释什么叫做有限多个9，而无法解释什么叫做无穷多个9，这些都显示出了潜无穷理论的先天不足之处。

elim

门外汉就是门外汉：没有办法认识极限，也没有办法发现自己的大谬特谬．

jzkyllcjl

门外汉 发表于 2019-3-20 08:16
函值极限论(二十三):无穷大∞究竟是什么?
在上一节中，给出了两个关于无穷的例子，这两个例子用微积分原系 ...

圆的分割份数可以无限增多，其份数可以趋向于＋∞，但圆不能分割为无穷多份，
积分学中的“无穷多份”也是如此 。数列（2^n -1）/2^n 只能趋向于1，但不能达到1、 这些就是极限的本质。

门外汉

elim 发表于 2019-3-20 15:06
门外汉就是门外汉：没有办法认识极限，也没有办法发现自己的大谬特谬．

你可以具体指明哪一节中存在错误，这样泛泛而指，我不知道目标何在啊

门外汉

函值极限论(二十四):实无穷大∞o的定义
从上一节的分析可知，微积分原系统中的∞不代表任何具体的数值，也不代表真正意义上的无穷，而数学中往往有许多问题是涉及到实无穷的，因为微积分原系统属潜无穷理论，对于解决实无穷问题无能为力，为了弥补这一不足，有必要增加一个∞的实无穷定义，以解决不时出现的一些实无穷问题。
在给出∞的实无穷定义之前，先参考集合论中的最小无穷基数阿列夫0。
在集合论中，如果一个集合中含有n个无素，则该集合的基数为n，例如，含有5个元素的集合，其基数为5，含有200个无素的集合，其基数为200……，那么，有一个问题，全体自然数集合N中，含有无穷多个元素，那么，它的基数是多少呢?
此时，全体自然数集合的基数，已经不能用任何一个自然数来表示，所以集合论创始人康托尔创建了一个新的数学符号，叫做ℵ0，中文翻译为阿列夫0，做为全体自然数集合的基数。
阿列夫0是一个无穷基数，而且是最小的无穷基数，它大于所有的自然数，但它本身不是自然数。
集合论是数学史上第一个实无穷理论，阿列夫0的定义也不是潜无穷式的，而是实无穷式的，它是真正数学意义上的无穷。
那么，集合论中的阿列夫0与微积分中的∞有什么不同呢?
首先，阿列夫0是实无穷式定义，代表真正意义上的无穷，而微积分中的∞是潜无穷式定义，代表某一数值可以无限增大，但永远也达不到真正的无穷，其本质上仍然是有限。
其二，阿列夫0是代表某一无穷集合的基数，代表的是“无穷多”的意思，而∞是代表某一个数值的大小，代表的是“无穷大”的意思，因此二者之间有本质的区别，不可混为一谈。
但前文中反复提到，微积分原系统中的∞是潜无穷式定义，它无法解决许多的实无穷问题，因此有必要设立一个实无穷式的无穷大定义，来解决一些实无穷问题。
参照集合论中阿列夫0的定义，现给出无穷大的实无穷定义:
设全体自然数集合N中的所有元素n＝0，1，2，3……在数轴的正半轴上从小到大依次排列，假设存在一个无穷大数，它大于所有的自然数，则称该无穷大数为所有自然数的极限，记为∞o。相应的，∞o的负数－∞o为所有负整数的极限。
在微积分原系统中，自然数与实数是没有极限的，称为发散于∞，但为了方便记述，也可以称自然数和正实数的极限为＋∞，例如:lim(x→0)1/x＝＋∞，但这里的＋∞是一个虚值，也就是说＋∞是该函数的一个虚极限。
而本节中所述的∞o与∞不同，∞是潜无穷式定义，而∞o是实无穷式定义，下一节将具体描述∞o与∞之间的本质区别。

门外汉

jzkyllcjl 发表于 2019-3-21 00:54
圆的分割份数可以无限增多，其份数可以趋向于＋∞，但圆不能分割为无穷多份，
积分学中的“无穷多份”也 ...

你说的确实是微积分原系统中极限的本质，这一点上，我支持你的说法

门外汉

函值极限论(二十五):实无穷大与虚无穷大的区别
上节中给出了实无穷大的定义，此定义暂时还只是一个表像性的定义，有待于日后逐步完善。
将上节定义中的∞o称为实无穷大，而微积分原系统中的∞称为虚无穷大。
那么二者之间究竟有何区别呢?
首先，实无穷大∞o与虚无穷大∞都不是实数，都不能参与实数的四则混合运算，这是二者之间的共同之处。
其次，虚无穷大∞不代表任何具体的数值，也不代表真正的无穷，它只代表实数无限增大的一个趋向，是没有止境的。而实无穷大∞o是一个具体的数值，它类似于集合论中的阿列夫0，代表的是一个大于所有实数的最小无穷数。
第三，虚无穷大∞因为不代表仼何具体的数值，所以函数在∞处无定义，无意义，而实无穷大∞o代表所有实数的极限，它代表真正意义上的无穷，所以对于一些特定的函数而言，函数在∞o处有实际意义，函数自变量在∞o处的取值代表该函数的极限值。
例如:lim(x→∞)1/x＝0，函数在x＝∞处无定义，无意义，所以f(∞)不存在，即，无论n取何值，皆有1/x＞0。而lim(n→∞o)1/x＝0，当x＝∞o时，代表x大于所有的实数，则有f(∞o)＝0。
我们将所有实数的集合｛R｝称为实数集，现将｛R｝与－∞o和＋∞o的并集称为扩充的实数集，称为超实数集。
于是，当函数自变量x→∞时，代表函数的定义域为实数范围内，而当函数自变量x→∞o时，代表函数的定义域为超实数范围。
总结来说就是:虚无穷大∞是潜无穷式的定义，∞只代表永无止境的意思，不是真正意义上的无穷，而实无穷大∞o是实无穷式的定义，∞o代表所有实数的极限，是真正意义上的无穷。
下一节将会简略介绍原微积分系统对于∞的实无穷探索。

elim

门外汉 发表于 2019-3-20 19:24
你可以具体指明哪一节中存在错误，这样泛泛而指，我不知道目标何在啊

程度太低，思想混乱还自视甚高，没有批判价值．

jzkyllcjl

无尽循环小数 0.333...是分数1/3的针对误差界序列{1/10^n} 的不足近似值数列0.3，0.33，……的简写，它不是定数，它的极限才是定数1/3.

elim

jzkyllcjl 是搞不定 0.333... 的猿声啼不到底的事物。混淆了无尽小数与数列。但这与人类数学含不相干，所以其数学主张到处碰壁，永无出头之日。