线段的长度究竟从哪里来的?

elimqiu

下面引用由顽石在 2010/10/19 10:52am 发表的内容：
无赖el始终没有能说清楚他的所谓【点，不是没有长度，是有长度，长度是0】。
没有长度和有长度，两者是完全相反的两个概念！无赖el认为同一个概念！
无赖el的上述这个逻辑就是狗屎堆逻辑！这样的天大的漏洞用什　...

说得很清楚了：顽石不是没有脑袋，只是脑袋的数学能力=0 清楚了没有。有脑袋和没脑袋是相反的概念，但是顽石的脑袋有没有从数学上看分别不大。

wangyangkee

elimqiu不是笨蛋，不愚蠢，不驴打滚，不狗屎堆逻辑，elimqiu不是白痴，elimqiu不是饭桶，不是网痞，不是下三滥，

hxl268

[这个贴子最后由hxl268在 2010/10/20 11:52pm 第 1 次编辑]

“线段是由点组成的点集”明确表明“点”是线的组成部分，线段的长度显然是各部分的长度的总和。小学生也一眼看出“长度为0 的点能组成有长度的线段” 是典型的违反起码常识的无中生有论啊 ！是非常尖锐的数学矛盾啊！否定此事实者是在自欺欺人啊！

elimqiu

hxl268 今天有黄小宁了一下。 到底是5000年一出的返祖现象.够原始的。

门外汉

关于这个帖子,我确实是对主帖中的问题有一些看法.
但我只想说:如果将实体概念强行引入到非实体概念之中,可能会要出错.
线段中的点不是实体概念.

elimqiu

确切地说，实体这个概念是怎么界定的？

门外汉

我说的实体概念是一个模糊的概念,并没有做什么特别的定义和界定.
大概的意思就是说:如现实生活中的桌子,椅子等,都是现实之中实实在在的物体,再比如,一些个实实在在的四方体排成一排,就有了很长的长度.
但线段中的点在现实之中找不到任何的对应物,它不是对应现实之中的实体的.所以认为将线段中的所有点一个一个的依次排列就构成了长度,这种说法可能是不正确的.
当然,如您所说,线段的长度还是应该有特别的数学定义的,例如测度论.

elimqiu

由于数学对象的理想性（绝对性，精确性），数学对象在严格的意义上没有现实世界的对应物。当然我们还是把数学对象，特别是几何对象形象化，用经验世界的印象来设想几何对象等等。
在这种自然的对应下，人们对线段的长度的界定自然就出于测量。于是线段的长度被定义为其端点的距离可以说是天经地义。
真正的挑战是怎么从集合论的角度理解这个长度？ 如果线段作为集合等于其上的点的全体，那么为什么它的长度不等于这些点的长度的‘和’?
这个问题很难粗浅地说明。原因首先在于没有像样的集合，基数的概念根本就说不下去。另外，不仅一个集合有多少点对其‘长度’有影响，这些点如何分布与长度更有关。
我在17楼否定了不可数个点的‘长度’的和会有合理的意义。现在又指出长度还与点的分布有关，所以‘长度’不能定义为点的‘长度’之和。那么这是否就否定了可测集的长度是部分的长度之和这个天经地义的论点呢？ 没有！只要所涉及的每个部分都有‘长度’值（可以是0或大于0），而所涉及的部分的数量不大于可数无穷，那么这些部分的长度的和就等于整体的‘长度’。
注意这里说的‘长度’其实叫作勒贝格测度。区间的勒贝格测度就是其长度，但是勒贝格测度对诸如[0,1]中的全体超越数的集合也是有意义（有长度）的...
测度论的大概思想也就是这些。但严格的建立确非初等。我说过我无法比那么多著者在通俗化测度论方面做得好。

门外汉

如果将一个线段看做是所有点的集合,那么确实是很难解释,为什么无穷多个0的长度会大于0,看来集合论对这个问题是很难解释清楚的.
很多数学爱好者正是纠结于这一点上,试图想从中找出点什么错误矛盾来,却又不知如何找起.当然,我从前也是这样的.
所以解决这个问题,就必须建立更高层次的数学,但不知道勒贝格测度在这一点上是不是做得完全彻底,让人们不能从中产生任何的疑义.
当然,如果顽石能够懂得这其中的道理,可能也就不会一味的纠缠在用缝隙来代替他所认为是错的数学理论了.

elimqiu

下面引用由门外汉在 2010/10/21 10:46am 发表的内容：
如果将一个线段看做是所有点的集合,那么确实是很难解释,为什么无穷多个0的长度会大于0,看来集合论对这个问题是很难解释清楚的.
很多数学爱好者正是纠结于这一点上,试图想从中找出点什么错误矛盾来,却又不知如何　...

要害在于我们的经验常常会潜移默化成天经地义的公理。
部分之和等于整体是放之四海而皆准的吗？ 从来就不是。微观地看事物，你往往会得出整体大于部分之和的结论。
我可以这么说，如果有人有办法合理地定义不可数个加项的和。那么我就用它来证明线段的长度是其上点的长度之和。我们之所以不自觉地谈不可能实现的和，是因为我们以为没有磨练的思辨很可靠，有限的经验可以无条件地外推。
顽石在他所处的水平上是尽了力了。他的问题是自信远超过学识，对直觉的依赖根深蒂固。加上顽石根本不知道高等数学与集合论的关系，他的缝隙能够解释的东西远远少于不能面对的东西。这是在低等的水平上早熟的悲哀。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
我20楼的介绍基本上表明了测度论在什么意义上一方面肯定了线段由点构成，一方面满足了我们的直观：可数可加性。