夏道行在为康托帮倒忙

数学小不点

集合理论与中华单位论没有什么关系，这是经典的数学理论，请申老师不必跟这个帖子。

elimqiu

下面引用由数学小不点在 2010/10/19 11:33am 发表的内容：
那为什么要舍弃许多的其他的其实不能做到一一对应的方式呢？

哪里舍弃了？ 我看您还是没弄清楚Bernstein定理的意义么。说到底，你还是拿不出有说服力的例子来告诉大家什么是要害。
康托的基数比较定义是这样：如果集合A对等与集合B的一个真子集，那么A的基数就不大于B的基数； 如果A对等于B本身，那么就说A与B的基数相等...。现在的问题是, 为什么只要有一个一一对应，就不管其他的非满的单射？ 这个问题的回答其实很简单，任何一个无穷集都对等于其真子集么。这是无穷集的特征性质。在任何情况下都会发生的事是不能单独作为判断的根据的。这样的对应没有被忽略，而是作为不充分的事实被接受了(A 的基数不大于B的基数..)。为了进一步确定序关系，就要确证或者否证一一对应的存在。而Bernstein定理保证了只要确证或者否证了一一对应的存在，就可以得到唯一不会导致矛盾的基数序关系。
早期的，现在的种种对基数的抵触其实只能是感情上的问题而不是逻辑上的问题么。比较深刻的抵触来自哲学或者信仰，比较肤浅的抵触则出于理解的困难和直觉上的困扰。首先是不接受实无穷，于是就不接受无穷集合，这样就基本上全盘拒绝了集合论。于是顺便拒绝了基数。
对于基数，如果不作计数上的解释而只把它当作一种抽象的序关系，人们可以提出的责难会是什么？ 我看什么像样的责难都拿不出来么。在肯定了其自洽性后，在指出基数对有限集而言就是计数，那么人们还能说什么？ 感情上的问题实在不是搞数学的人可以相助的。
最后，人们要问，这种对无穷王国的冒犯到底有什么实际的意义？ 到底给数学带来什么好处？ 我想可以不过分地说，如果没有无穷集合的理论为基础，现行数学的 80% 会成为胡扯。其实只要把选择公理拿走，就可以要数学的许多中心内容的命。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
没有实无穷的集合，所剩的映射/函数概念会是什么样子？ 如果没有经典的映射/函数概念，数学会是什么样子？
直觉主义/潜无穷论者的集合论长得什么样子？ 为什么不成气候？
可见集合论，基数理论不是摆设了吧？

申一言

[这个贴子最后由申一言在 2010/10/19 00:58pm 第 1 次编辑]

下面引用由数学小不点在 2010/10/19 11:47am 发表的内容：
集合理论与中华单位论没有什么关系，这是经典的数学理论，请申老师不必跟这个帖子。

   错！
      《中华单位论》是证明论，是元数学！
       她可以证明数论中的命题是真命题还是假命题！
       因此康托的集合论是错误的！
        n=1,2,3,,,,,,,,,,,,, 自然数是一切结构的“数”的根本序数！
              √n=1';,2';,3,';,,,,,,,,,,是基本单位
       （√n）ˇ2=1",2",3",,,,,,,,,,,是单位
              2n"=2",4",6",,,,,,,,,,,是偶合数单位！
     Pn=(√Pn)ˇ2=1",2",3",5",,,,,,,,是素数单位！
      一切单位都是序关系的“数”！
      康托的集合论根本站不住脚！！
      超越数根本子虚乌有！！！！！
      宇宙中最大的数是 2n",  n→∞时。
       那儿来的能够超出2n"的“数”？

数学小不点

没有想到elimqiu迷信国内教材竟然到了这种地步！如此浅显的例子你视而不见，难怪国内出不了一流的数学家和数学哲学家，他们除了理解接受西方的教材，提不出一点原始的真知灼见，事实上，真理都是朴素而简单的，建议你读一读俄国数学家斯捷奇金的实数理论著作再说，西方的学者一般不会刻意回避各种不同学术思想的交锋，一般会将难点全盘托出，不像国内的教材，满堂的填鸭灌，教授自己不求甚解，还要求学生不加思索的接受学习，编写教材的水平实在令人汗颜，所以我一般都去读国外翻译的著作或原著，斯捷奇金指出：如果集合A与B是无限的，那么用不同的方法来建立对应关系就会得到完全不同的结果。假如存在一个，注意是一个！则就称A和B之间可以建立一一对应的关系，这纯粹是一个定义，是有选择性的，人们可以选择不同的定义，这才是实质性的东西，奇怪你先入为主，倒很习惯于全盘接受传统教材的观点。

awei

[color=#0000FF]对于各位我只能算是个文盲，但文盲不是白痴，连文盲都糊弄不了的问题，呵呵！

elimqiu

下面引用由数学小不点在 2010/10/19 01:16pm 发表的内容：
没有想到elimqiu迷信国内教材竟然到了这种地步！如此浅显的例子你视而不见，难怪国内出不了一流的数学家和数学哲学家，他们除了理解接受西方的教材，提不出一点原始的真知灼见，事实上，真理都是朴素而简单的，　...

你其实连清楚的观点也没有么。不是到现在还是拿不出像样的例子？ 真理是简单的。但不是每个人看简单都简单么。
你的真知灼见是什么？ 说清楚不好吗？你选择定义没有什么不可以，不过为什么不说说你到底能选什么？ 还有，你的“这么简单的例子”是什么？

elimqiu

下面引用由数学小不点在 2010/10/19 11:33am 发表的内容：
具体到Bernstein定理的证明：两个集合A、B的关系，经典的教材从四种可能入手，1、A＜B;2、B＜A;3、A=B;4、A、B关系无法判定，对于第四种情况，至今也无法证明，第四种情况一定不出现，或举例证明一定出现，1908年Zermelo(策梅洛）提出了选取公理，如果我们承认这个公理，那就能保证第四种情况不出现，从而任意两个集合可以比较势的大小，当然我们还必须承认康托尔的关于只要存在一种一一对应的定义（那为什么不谈还存在不能一一对应的情况呢？），否则也无从谈起，不知elimqiu的看法如何？比如，偶数一一对应于自身，奇数剩余，所以我们说：偶数与自然数的数量不等，前提是我们要否定康托尔的一一对应的定义，而不是要否定伯恩斯坦定理，只要承认了康托尔的有关定义，则这个定理成为了逻辑之必然，那时，就无法反对了，是不是这样，elimqiu老师？

选择公理的确是基数三岐性不可缺少的。在AC的取舍方面，今天的主流数学采取了‘务实’的立场：接受它比拒绝它更好地反映了数学的已有成就。不是吗？你要否定康托尔的一一对应的定义当然没有什么不可以。不过你也知道你拿不出什么自洽的东西来取代么。于是你不接受康托这套也不过出于感情而不是‘真理性’么。
数学到了这个份上，其真理性就等同于自洽性。换句话说，你指不出漏洞的系统就还是合理的系统。不同的公理系统只要内部有这种自洽就有存在的理由。然而这些不同的系统中到底哪个更普遍地适合我们这个世界的量和形的实际，是一个不以个人的感情为转移的事情。历史证明直觉主义的直觉未必比形式主义的直觉高明。在基数问题上也一样，不是有标新立异的志向就能成气候。这里面成功的还是直觉好的非直觉主义者。

数学小不点

我们选择偶数一一对应于偶数自身，全部的元素对应结束后，奇数显然剩余，所以偶数与自然数的元素不相等，如果我们选择这样的定义，设A、B是两个集合，如果存在一种A到B的非一一对应，那么就说A与B的元素不相等，则同样可以证明两个无限集合不相等。这样的例子小学生都会明白，为什么你认真学习了大学教材后就深信不疑？你以为康托尔同时代的数学家都是在没事找事吗？何以康托尔的精神会崩溃呢？就是因为他选择的定义，别人可以完全不理会，自行提出其他的定义，这样他的理论根本就站不住脚，就很难被同时代的数学家认可，除非我们接受了他定义，此时他的理论才会正确。谁能判定，他的定义就毫无问题呢？就真实的物理世界而言：存在两种无穷，一种是有限的无限细分，另一种的实实在在的真无穷，这两种无穷有着根本不同的性质，但康托尔的理论解决不了这样的问题。所幸：物理学家才根本不管康托尔如何说：实用即真理，数轴上虽布满陷阱，但这并不影响我们去探索数学的宇宙，即使不建立所谓严格的实数理论，数学也必将向前发展，没有实数的逻辑，数学不是也取得了伟大的成就吗？德国数学家对无穷进行了认真的探索，倒从来没听说中国出过什么真正的数学哲学家，或者一个数学流派的导航者。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
难道承认我们对于无穷集合认识的局限性，或者说我们接受康托尔的无限集合只是权宜之计，因为未找到更加合理的其他理论，所以暂时有条件的接受这种理论，这不也是一种充满思辨的数学观点吗？

elimqiu

下面引用由数学小不点在 2010/10/19 11:33am 发表的内容：
所以，贝克莱主教当时批评数学家，包括牛顿与莱布尼兹，他们都无言以对，数学家的理论并不比神学更令人信服，最终要取决于自身的内在的信仰，真理就在你的心中，而不是纸上的定义，希尔伯特的形式主义注定不会成功，数学的发展更加依靠直觉、洞察力和实际世界的需要，只要有实用的价值，最终可以找到可接受的逻辑，但逻辑也只能使正确的东西看起来更有条理，逻辑也不能代表真理。

贝克莱的批评为什么当时数学家无言以对？不是因为贝克莱对微积分的否定有理，而是因为贝克莱指出了当时微积分的理论基数上的逻辑漏洞。数学家接着干了什么？不是把微积分仍掉，而是寻求建立微积分的合理基础。
一般说来，数学理论与神学没有可比性。这是对世界的不同层次的关怀。信仰是更基础的。数学对信仰的最恰当的表达方式就是公理系统么。神学不过是关于某信仰的学问。还是人的东西。照样有限，照样会出错，照样会走向狂妄。

elimqiu

下面引用由数学小不点在 2010/10/19 09:34pm 发表的内容：
我们选择偶数一一对应于偶数自身，全部的元素对应结束后，奇数显然剩余，所以偶数与自然数的元素不相等，如果我们选择这样的定义，设A、B是两个集合，如果存在一种A到B的非一一对应，那么就说A与B的元素不相等， ...

什么‘所以’？你连‘相等’的定义都没有么。先说清楚你的相比的原则。