[求助]请luyuanhong和elimqiu二位老师审查：这是不是对角线方法的一个疏漏?

elimqiu

如果集合A，B 的基数依次为 a, b 那么可以定义 a^b 为 从 B 到 A 的映射全体 A^B 的基数。这是不少集论著作的做法。
由于 {0,1} 的基数是2， 所以 {0,1}^N 的基数是 2^(阿列夫0)， 而{0,1}^N 恰是 N 的幂集 P(N) 的特征函数全体，当然对等于P(N)，这就是为什么记 2^(阿列夫0) 为 P(N) 的基数。
可以证明，在这样的定义下，n^(阿列夫0) =  2^(阿列夫0), 这里n是任意元数大于1的有限集的基数（大于1的正整数）。 所以没有人会特别在意 3^(阿列夫0), 4^(阿列夫0) 等。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2010/11/02 08:30am 第 1 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2010/11/01 08:19pm 发表的内容：
这里的“势”，其实就等价于“基数”，当然包括“阿列夫0”在内。
在集合论中，说“阿列夫0＜2^阿列夫0”是可以的。但是，这样说，并不意味着“阿列夫0”
是一个数字，并不意味着“阿列夫0”可以像数字一样运算　...

陆老师说的对！在康托的实数理论中，超穷数只有阿列夫0、2^阿列夫0、2^2^阿列夫0、2^2^2^阿列夫0……，也就是阿列夫0、阿列夫1、阿列夫2、阿列夫3、……、阿列夫n、……这样的序列，而不会出现3^阿列夫0、4^阿列夫0、10^阿列夫0……这样的超穷数。就像人类刚刚发现自然数列一样，目前在1和2之间暂时还是没有发现任何数值的（即所谓连续统问题）。
但是，既然全体自然数的个数是阿列夫0，而2^阿列夫0又是可以出现在超穷序列中的，说全体实数的个数有2^阿列夫0有什么不可以呢？

天茂

下面引用由elimqiu在 2010/11/01 02:57pm 发表的内容：
如果集合A，B 的基数依次为 a, b 那么可以定义 a^b 为 从 B 到 A 的映射全体 A^B 的基数。这是不少集论著作的做法。
由于 {0,1} 的基数是2， 所以 {0,1}^N 的基数是 2^(阿列夫0)， 而{0,1}^N 恰是 N 的幂集 P(N) ...

对！由于连续统问题还没有解决，所以在阿列夫0和阿列夫1（2^阿列夫0）之间到底有没有数值，现在还是一个未知数。
就像人类刚刚发现自然数一样，在1和2之间到底有没有分数或小数？目前还是个谜。

elimqiu

下面引用由天茂在 2010/11/02 08:28am 发表的内容：
对！由于连续统问题还没有解决，所以在阿列夫0和阿列夫1（2^阿列夫0）之间到底有没有数值，现在还是一个未知数。
就像人类刚刚发现自然数一样，在1和2之间到底有没有分数或小数？目前还是个谜。

现在已经知道阿列夫0和阿列夫1（2^阿列夫0）之间有没有其它基数的问题是独立于ZFC系统的问题。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2010/11/02 08:51am 第 1 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2010/11/02 01:35am 发表的内容：
现在已经知道阿列夫0和阿列夫1（2^阿列夫0）之间有没有其它基数的问题是独立于ZFC系统的问题。

这就又一次说明，ZFC系统不是完全的。
我倾向于认为，阿列夫0和阿列夫1之间还是有东西的，人类的进步迟早会发现这些东西不仅包括“超分数”，而且还有“超无理数”。

elimqiu

也有人认为ZFC已经太丰富。其实不同的公理系统描述的是不同的数学世界。不要把这些东西狭隘地认为是我们的世界的真理性描述。我们不会达到那种完备。

天茂

说的对！只要想保持一致性的任何系统，一定都是不完全的。它所反映的只是真理的某个侧面，而不是全部。
完全性也是相对的。
射影几何相对于欧氏几何与非欧几何来说，就是完全的；
素朴集合系统相对于ZFC和BNG公理集合系统来说，也是完全的。

elimqiu

下面引用由天茂在 2010/11/02 09:48am 发表的内容：
素朴集合系统相对于ZFC和BNG公理集合系统来说，也是完全的。

完全性是不可能的。朴素集合论也不能解决连续统假设。

elimqiu

希望能搞到徐利治教授的新近文章
http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdsxyj200804015.aspx

ygq的马甲

下面引用由天茂在 2010/11/02 08:50am 发表的内容：
这就又一次说明，ZFC系统不是完全的。
我倾向于认为，阿列夫0和阿列夫1之间还是有东西的，人类的进步迟早会发现这些东西不仅包括“超分数”，而且还有“超无理数”。

其实，这就是康托尔连续统假设的【问题】[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-

http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=7782
因为缺少 R(·,·)=" ﹁∈ " 类型，所以就不可【判断】