请数学专家看一下：这是不是集合论中一一对应的逻辑矛盾？

门外汉

下面引用由elimqiu在 2010/11/12 03:25pm 发表的内容：
微积分中的确没有‘无限微分’这种东西。微积分只是对有限微分取极限而已。
-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在  时添加 -=-=-=-=-
对38楼我们没有分歧。

这样,我们先不理微积分,按照某种分割的方法,如二分法或者是十分法,可以将1条有限长的线段分割成为一个可数无穷集,这样能够做到吧?
因为线段是无限可分的,所以是应该能将1条线段无限分割成为1个可数无穷集合的,如果不能,则只能说明线段不是无限可分的了.

elimqiu

可以得到可数无穷的分割，但不可能是均匀的分割。

门外汉

下面引用由elimqiu在 2010/11/13 02:17am 发表的内容：
可以得到可数无穷的分割，但不可能是均匀的分割。

如果用“二分法”无限分割，一定是一个均匀的分割。
因为每一步分割的结果，所有“微分元”的长度都是相等的。

elimqiu

二分法是得到均匀的分割，不过不是无限的。在您的一一对应中没有这样的东西。真像自然数集合里的任一元都有限一样。

门外汉

下面引用由elimqiu在 2010/11/13 03:18am 发表的内容：
二分法是得到均匀的分割，不过不是无限的。在您的一一对应中没有这样的东西。真像自然数集合里的任一元都有限一样。

为什么二分法得到的分割不是无限的？
如果用二分法分割得到的所有的“微元”的集合是一个有限集，那么有限集必然有一个最大元素，设这个最大元素为P，则说：自P以后，线段不可再分割。
这不是与线段无限可分矛盾吗？
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 门外汉 在 时添加 -=-=-=-=-
自然数集合中的任一元素都是有限的，这没有错。但不能说自然数集合也是有限的。
同理：我用二分法分割每一步操作的结果都是有限的，但也不能说用这种方法得到的所有微元的集合也是有限的。
我想您说的用二分法分割不能得到一个无限集，可能是基于潜无穷的观点。
如果是潜无穷的观点，这个说法是正确的，但潜无穷同样也不承认有自然数集合的存在。

elimqiu

问题在于您拿不出这样的分割。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
如果有这样分割，其中的微元的‘长度’大于0，那么可数无穷多个这种微元的‘长度’之和必为无穷大。
如果这样的微元的‘长度’等于0，那么可数无穷多个这样的‘长度’之和还是0

门外汉

下面引用由elimqiu在 2010/11/13 03:48am 发表的内容：
问题在于您拿不出这样的分割。-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在  时添加 -=-=-=-=-
如果有这样分割，其中的微元的‘长度’大于0，那么可数无穷多个这种微元的‘长度’之和必为无穷大。
如果这样的微元的‘长度’ ...

“如果有这样的分割，其中的微元的长度大于0，那么可数无穷多个这种微元的长度之和必为无穷大”，这个是错误的。解释如下：
如果将线段按二分法无穷分割，微元的长度为a（大于0），这个a就相当于是一个无穷小量。
微元的个数为x，这里的x是无穷大（也就是可数无穷）。
这个问题就相当于是问：无穷多个无穷小相加，它的结果是多少？
对于这个问题：可以有三个不同的答案：（1）：无穷小；（2）：无穷大；（3）：常数。
之所以无穷多个无穷小相加，会得到三个不同的答案，是因为，这里的“无穷小量”它不是一个确定的数值，或者说它是一个变量。
不同层次的“无穷小量”相加，当然不会得到一个一致的结果。
从本文中的分析来看，因为这无穷多（x）个a（无穷小）是从一条长度为1的线段无限微分的结果，所以按照微积分的互逆原理，相加的结果便是答案（3），它是一个常数，也就是原来线段的长度1.
所以这里面没有逻辑矛盾。
而且，微元的长度也不能为0，因为无穷小不能为0.
...............................................
难道您会认为巴门尼德世界是一不是多的推论是正确的？

门外汉

elimqiu 老师，我觉得我们之间对于某些问题有一些小小的分歧，不过这个没关系，所谓理不辩不明，所以我希望得到的结果当然是：最后就某一问题达成一致的共识。

elimqiu

下面引用由门外汉在 2010/11/13 11:21am 发表的内容：
“如果有这样的分割，其中的微元的长度大于0，那么可数无穷多个这种微元的长度之和必为无穷大”，这个是错误的。解释如下：
如果将线段按二分法无穷分割，微元的长度为a（大于0），这个a就相当于是一个无穷小量　...

你的无穷小是怎么定义的？

门外汉

所谓的无穷小是一个变量.
看一下这个集合:{1/2,1/4,1/8,1/16......1/2^n.......}
这个集合之中的任何一个元素都大于0.
这个数列也就是一个无限趋近于0的数列.但是0不是这个数列中的元素.
所谓的无穷小变量就是指:无限趋近于0而自身不等于0.