[求助]请教陆老师和elimqiu老师：这道概率题应该如何来计算呢？

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2011/05/31 05:22pm 第 3 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2011/05/31 04:52pm 发表的内容：[ 我说过的话没有矛盾，注意，这里有两种不同的事件：
（1）“从[0,1]中随机取一个点，（按照标准分析来看）恰好取到 1/2”的事件。
   这个事件的概率，在非标准分析中，是正无穷小量，不是 0 。
（2）“从[0,1]中随机取一个点，（按照非标准分析来看）恰好取到 1/2”的事件。
   这个事件的概率，在非标准分析中，是 0 ，不是正无穷小量。
   （2）与（1）不同的是，（1）中的事件，按照非标准分析来看，不仅是取到
1/2 这一个点，还包括取到在 1/2 附近、与 1/2 的距离为一个正无穷小量的点，
而（2）中的事件，是取到孤零零的 1/2 这一个点，不包括取到在 1/2 附近、与
1/2 的距离为一个正无穷小量的点。

请陆老师对下面两条疑问解惑：
疑问1：您是如何证明（2）的结论呢？
疑问2：如果将事件换成A1或B1，有没有上述（1）和（2）的分别呢？

ygq的马甲

下面引用由天茂在 2011/05/31 05:09pm 发表的内容：
请陆老师对下面两条疑问解惑：
疑问1：您是如何证明（2）的结论呢？
疑问2：如果将事件换成A1或B1，有没有上述（1）和（2）的分别呢？

其实，说的是两件事
其一是：无穷小的区间的概率
其二是：单独的一个点

elimqiu

下面引用由天茂在 2011/05/31 05:01pm 发表的内容：
1、如果说“每点的0概率就导致全空间的0概率”是一个矛盾的话，这也是标准分析中的矛盾，与非标准分析没有关系。
更何况，“每点的0概率就导致全空间的0概率”并不一定就导致矛盾，即使在标准分析中，可数无穷个 0 之和也并非一定就还是 0。

我不认为我能在这个层次上说服您。先解决这个‘如果’再说吧。
到底有没有这个矛盾？这个矛盾是不是转换定理的结果？
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
【即使在标准分析中，可数无穷个 0 之和也并非一定就还是 0】--呵呵，您的标准分析用的是您的标准是吧？

天茂

下面引用由elimqiu在 2011/05/31 00:59pm 发表的内容：
我不认为我能在这个层次上说服您。先解决这个‘如果’再说吧。
到底有没有这个矛盾？这个矛盾是不是转换定理的结果？

事件C1=“在自然数中随机取数恰好等于1”的概率＝0；
事件C2=“在自然数中随机取数恰好等于2”的概率＝0；
事件C3=“在自然数中随机取数恰好等于3”的概率＝0；
……
事件Cn=“在自然数中随机取数恰好等于n”的概率＝0；
……
1＝事件C=“在自然数中随机取数恰好等于一个自然数”的概率＝P(C1)+P(C2)+P(C3)+……+P(Cn)＝0+0+0+……+0＝0 ，矛盾。
您说的矛盾是不是指上面的这个？

elimqiu

您认为这不是矛盾？ 这个矛盾说明等式 P(Cj) = 0 (j=1,2,...) 是错的。
为什么是错的？ 因为计算这些概率的推导就有问题，就不符合概率公理。
那么有没有可能是概率公理错了？ 概率不应该遵循可加性？ 呵呵

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/05/31 10:01pm 第 1 次编辑]

下面引用由天茂在 2011/05/31 05:09pm 发表的内容：
请陆老师对下面两条疑问解惑：
疑问1：您是如何证明（2）的结论呢？
疑问2：如果将事件换成A1或B1，有没有上述（1）和（2）的分别呢？

“从正整数中取到 5”、“从有理数中取到 1/2”的事件，无论是从标准分析看来，
还是从非标准分析看来，都是同样的事件，没有（1）和（2）的区别。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2011/05/31 10:19pm 第 1 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2011/05/31 02:14pm 发表的内容：
您认为这不是矛盾？ 这个矛盾说明等式 P(Cj) = 0 (j=1,2,...) 是错的。
为什么是错的？ 因为计算这些概率的推导就有问题，就不符合概率公理。
那么有没有可能是概率公理错了？ 概率不应该遵循可加性？ 呵呵

事实上，这里的“0+0+0+……+0”应该等于“0+0+0+……”，即无穷个0相加（这是标准分析的观点）。
再说的严密一点（即用非标准分析的观点），是无穷个无穷小量相加。
无穷个无穷小量相加≠0，这是毫无疑问的。
无穷个 0 相加也许＝0，也许≠0，这也是标准分析的观点。

elimqiu

还是严谨一点，说这是天茂标准分析把。呵呵

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2011/05/31 11:00pm 第 1 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2011/05/31 09:54pm 发表的内容：
“从正整数中取到 5”、“从有理数中取到 1/2”的事件，无论是从标准分析看来，
还是从非标准分析看来，都是同样的事件，没有（1）和（2）的区别。

感谢陆老师严密的论证。
这样看来，按照非标准分析的观点来看，从[0,1]中任取一数恰好等于1/2的概率确实是太小太小了，它应该小于所有的无穷小量，所以只能是 0 了。
不过，概率如此之小的事件却要被称之为“可能事件”确实令人感到很不舒服。
由于有理数和自然数的不连续性，所以非标准分析对此毫无意义。
目前的这些结论，对于我的哲学要求已经是完全够用了。
总结：
按照标准分析，
从“可能”的角度来划分，只能把“事件”分成下列 2 种：
（1）“不可能事件”，概率是一个 0 。
（2）“可能事件”，概率等于 0 ，也可能是大于 0 。
从“概率”的角度来划分，也只能把“事件”分成下列 2 种：
（1）概率为 0 ，是“可能事件”，也可能是“不可能事件” 。
（2）概率不为 0 ，是“可能事件” 。
这两种坚持“二分法”的分类方法，显然是不清晰和不确定的，也是不完善的。
现在，我们通过运用非标准分析的观念和推论，就可以将“事件”仔细地分成下列 3 种：
（1）概率为 0 ，是“不可能事件” 。
（2）概率不为 0 ，是“可能事件” 。
（3）概率为无穷小量，是“介于可能和不可能之间的事件”。
这样的分类真是又清晰、又明确，而且还很完备。
唯一使人不习惯的，仅仅是“介于……之间”的说法而已。

天茂

下面引用由elimqiu在 2011/05/31 03:20pm 发表的内容：
还是严谨一点，说这是天茂标准分析把。呵呵

这里的论证也充分说明，标准分析将事件A、A1、B1的概率统统计算成等于 0 ，显然存在重大的错误。