为什么不能用极限理论来定义实数

jzkyllcjl

195912 发表于 2017-9-23 04:22
jzkyllcjl :
        "极限理论需要分层次"
        先生的实数理论陷入了自己设置的怪圈,这样先生才出现 ...

我的上述 分层 做法 没有问题。至于实数定义，我有下边的改革后的定义与公理。在既尊重理想又尊重实践的唯物辩证方法下，我们可以认为每一个现实数量都可以都有一定的大小（当然是具有相对性与暂时性的一个概念）。因此可以首先提出如下理想实数定义。
定义11（理想实数定义）： 现实数量的大小（包括现实线段长度）的绝对准表达符号叫做理想实数（简称为实数）。其中不能用有理数绝对准表达的理想实数都叫无理数（例如：π与 ）。
与除不尽的有理数1/3类似，对π与  也需要使用康托儿实数理论中的基本数列中的数近似表示。所以再提出如下两个定义。
上述两个例子也说明：康托儿实数理轮中“把彼此等价的基本数列归为一类，每一类称为一个实数，记号 α=[an] 表示与 等价的基本数列类构成的实数是 α ，{an} 叫  α的一个代表。”的不恰当，因为：它把数列性质的变数当作定数了，把等价看作相等了。为此，笔者提出如下的实数公理。
    公理3（实数公理）：每一个理想实数都存在着以它为极限的康托尔基本数列；除0以外的每一个理想实数都存在唯一的以它为极限无尽小数表达式，这个无尽小数收敛于这个理想实数。反之，每一个康托尔基本数列（或称以有理数为项的柯西基本数列）都存在一个唯一的理想实数（简称为实数）为其极限，而且等价(也称全能近似相等)的康托儿基本数列的极限相同。

jzkyllcjl

195912 发表于 2017-9-23 04:22
jzkyllcjl :
        "极限理论需要分层次"
        先生的实数理论陷入了自己设置的怪圈,这样先生才出现 ...

我的上述 分层 做法 没有问题。至于实数定义，我有下边的改革后的定义与公理。在既尊重理想又尊重实践的唯物辩证方法下，我们可以认为每一个现实数量都可以都有一定的大小（当然是具有相对性与暂时性的一个概念）。因此可以首先提出如下理想实数定义。
定义11（理想实数定义）： 现实数量的大小（包括现实线段长度）的绝对准表达符号叫做理想实数（简称为实数）。其中不能用有理数绝对准表达的理想实数都叫无理数（例如：π与 ）。
与除不尽的有理数1/3类似，对π与  也需要使用康托儿实数理论中的基本数列中的数近似表示。所以再提出如下两个定义。
上述两个例子也说明：康托儿实数理轮中“把彼此等价的基本数列归为一类，每一类称为一个实数，记号 α=[an] 表示与 等价的基本数列类构成的实数是 α ，{an} 叫  α的一个代表。”的不恰当，因为：它把数列性质的变数当作定数了，把等价看作相等了。为此，笔者提出如下的实数公理。
    公理3（实数公理）：每一个理想实数都存在着以它为极限的康托尔基本数列；除0以外的每一个理想实数都存在唯一的以它为极限无尽小数表达式，这个无尽小数收敛于这个理想实数。反之，每一个康托尔基本数列（或称以有理数为项的柯西基本数列）都存在一个唯一的理想实数（简称为实数）为其极限，而且等价(也称全能近似相等)的康托儿基本数列的极限相同。

天元酱菜院

我倒觉得，实数理论和极限理论是联系在一起的。 他们的思想和方法是一致的或说一脉相承的。

不能说，没有建立起实数系，极限理论就无法建立。
或者我们也可以这样说：  极限理论并不依赖于实数系。

而实数系的建立，一般不论是有理数序列方式、有理数分割方式、无尽小数方式、有理数集合上（下）确界方式等等，无一不是和极限理论相联系的。

即，应该是正相反，我们只能用极限理论来定义实数。

—— 在有理数集合上是可以有极限理论，以及有极限实例存在的。不论是序列的形式还是ε-δ形式，都是可以在有理数集上成立的。 只不过由于数系的不完备（不连续），导致非常多的极限（因为极限值不是有理数而）不存在。

jzkyllcjl

天元酱菜院 发表于 2017-9-23 14:43
我倒觉得，实数理论和极限理论是联系在一起的。 他们的思想和方法是一致的或说一脉相承的。

不能说，没 ...

谢谢 天元酱菜院 的分析 与支持。

195912

      我们习惯把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅ ,并规定:空集是任何集合的子集.全体自然数组成的集合称为自然数集,记作N; 全体整数组成的集合称为整数集,记作Z;全体有理数组成的集合称为有理数集 ,记作Q;全体实数组成的集合称为实数集,记作R .显然,有
           N⊂Z⊂Q⊂R               (1)
       定义 1  设{a_n}是一个数列,a是一个常数,若对任给的正数 ε ,总存在某一个自然数N,使得n>N时,都有
           |a_n-a|<ε
则称数列{a_n}收敛于a,a称为它的极限并作
            lim&#8289;a_n=a
            n→∞
读作"当n 趋于无穷大时,a_n的极限等于a".或记作
           a_n→a  (n→∞)
读作"当n趋于无穷大时,a_n趋于a".
       根据(1)式与定义 1 ,有
           a∈R, ε∈R, n∈R,             (2)
       我们若假定(2)式不成立,则定义 1 没有意义 .若假定 R 没有严格定义,则定义 1 是建立在实数没有严格定义基础上的概念,这样定义 1 没有意义.所以极限理论是建立在实数有严格定义基础上的理论.

天元酱菜院

195912 发表于 2017-9-24 10:41
我们习惯把不含任何元素的集合叫做空集，记为&#8709; ,并规定:空集是任何集合的子集.全体自然数组成 ...

你的定义1，没有理由依赖于实数系。 请看：

设 {a(n)}  是一个(有理数) 数列，a是一个（有理数）常数。
若对任意(有理数) ε>0 都存在N, 使对所有的n>N，都有|a(n) - a | < ε ，则称{a(n)} 收敛于a   

完全成立，没有问题，（其实是在有理数特例上的 “极限”； 可以认为有理数是实数中的特例吧？）

1） 由于任何实数ε' >0  显然都可以找到小于他的有理数ε>0 。由正有理数ε的任意性，完全可以在这个叙述中
      规定ε 为有理数。
事实上，当我们用序列语言来证明某些极限时，经常取 10^(-n) 做 一系列的ε。 这可是有理数啊。

2） n ∈ N 的规定更确切。
3） 对于属于Q 的a， a 当然也属于R。 只不过对于更多不属于Q的极限，在有理数范围内极限不存在。

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
最重要的，或说本质的东西， 极限是什么？ 我们为什么需要极限？  

极限其实是在有限与无限之间建立的桥梁。——以有限的方式来规定什么是无限逼近。

无理数，更接近于无限。用极限思想和极限方法来建立实数，更确切一些。
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
我赞成以极限思想建立实数，但是建立了实数以后，这些实数就是客观存在的，【或说完成了的】  “定数”。
比如，3.14159.....； 无理数非常之多，不可能都像π,e,√2 之类的获得确切的表示符号。 绝大多数的实数
只能用无限不循环小数表示他们。

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
强调要以极限的【思想】和 手段，来建立实数， 是反对为了逻辑而逻辑。 因为不能把实数理论与极限论割裂开来。
比如， 闭区间套属于实数理论还是极限论呢？  ——柯西极限存在准则呢？这可是那几个【互相等价的】命题中的一个。

195912

天元酱菜院先生:
     先生认为:
    "设 {a(n)}  是一个(有理数) 数列，a是一个（有理数）常数。
若对任意(有理数) ε>0 都存在N, 使对所有的n>N，都有|a(n) - a | < ε ，则称{a(n)} 收敛于a   

完全成立，没有问题，（其实是在有理数特例上的 “极限”； 可以认为有理数是实数中的特例吧？）

1） 由于任何实数ε' >0  显然都可以找到小于他的有理数ε>0 。由正有理数ε的任意性，完全可以在这个叙述中
      规定ε 为有理数。
事实上，当我们用序列语言来证明某些极限时，经常取 10^(-n) 做 一系列的ε。 这可是有理数啊。

2） n ∈ N 的规定更确切。
3） 对于属于Q 的a， a 当然也属于R。 只不过对于更多不属于Q的极限，在有理数范围内极限不存在。"
          说明先生认为有理数是数列极限的前此定义,即有理数定义不依赖于极限定义.且先生亦认同
               Q&#8834;R
          根据戴德金的分划,
          设 R 是有理数全体,将R分为R_1和R_2两部分使得:
          (1)  R_1和R_2都不空;
           (2) R_1中任何数小于R_2中数.
称这样的分法为分划,记作(R_1丨R_2),R_1中有最大数或R_2中有最小数的分划称为有端分划,这个最大(小)数称为分划的端,它是有理数.不可能出现R_1有最大数,同时R_2中有最小数的情形,否则将和有理数稠密性矛盾.R_1中没有最大数,R_2中又没有最小数的分划称为无端分划.
       所有分划全体叫做实数,有端分划叫做有理数,它对应的有理数就是端.无端分划叫做无理数.
       上述便是戴德金的实数定义.极限理论在此基础上得以建立.没有著作在定义极限时,限定
              a∈Q, ε∈Q .
      所以先生46楼的论述没有理论依据.
        

天元酱菜院

jzkyllcjl 发表于 2017-9-24 07:55
谢谢 天元酱菜院 的分析 与支持。

其实，我并没有支持您啊。   以极限的思想和手段来建立实数：
  恰恰有 0.333.....  是实数1/3 的结论
  恰恰有 π = 3.1415926535.....的结论。
  恰恰有 绝大多数实数只能用无限不循环小数作为他唯一名称  的结论。
  

jzkyllcjl

天元酱菜院 发表于 2017-9-24 08:03
其实，我并没有支持您啊。   以极限的思想和手段来建立实数：
  恰恰有 0.333.....  是实数1/3 的结论
...

你说对了！ 我与你存在这个分歧。 这是 无穷概念的分歧。
无穷 二字语文意义就是无有穷尽、无有终了的意思。 数学理论的阐述中 需要这两个字，但不能违背这个语
文意义。数学分析中的无穷大与无穷小 都是无穷数列性质的事物； 数学理论中所有无穷集合都是广义极限性质的趋向性质的、无法被人们构造完毕的 、想想性质的集合、康托尔 提出的“无穷集合是完成了的整体 的实无穷观点”数学理论必须肯定实无穷”的做法 是违背实践的。
所有无穷级数与无尽小数 等于实数 的等式 都是使用极限方法 得到的等式，都需要加上取极限的符号，否则都是不合 逻辑、违背实践的等式。例如对于 1/3=0.333…… 应当知道1/3 代表是线段把长度的被绝对准的三分之一，它是一个 现实数量的绝对准表达符号，所以 我称它为 理想实数，由于这个符号存在 “不如 十进小数”的缺点，所以需要使用除法 一步一步地找到 多于 误差界序列{1/10^n}不足近似值数列0.3，0.33，0.333，……，这个数列可以简写为无尽小数，但这个无尽小数 是永远写不到底的事物，这个除法运算是不可完成的，这说明这个无尽小数是不能被完成了的， 但可以使用数列极限方法 得到它的误差界序列的极限是0，因此这个不足近似值数列的极限即趋向是这个理想实数。又由于 数列的极限是实数，但数列始终达不到其极限。 是所以 等式1/3=0.333……不成立，成立的只能是是极限性等式 lim n→∞ 0.333……= 1/3。
所有实数都是如此，都是康托尔实数理论中的以有理数为项的 基本数列的极限。
由于 无穷集合不是完成了的、能写完其所有元素的集合，所以我不同意戴德金的实数理论，也不同意维尔斯特拉斯 称无尽小数为实数的定义。我认为应当 称康托尔 基本数列的的极限为实数。 我不同意你 七种定义等价的说法。不同意 康托尔的“无穷集合是完成了的整体的实无穷观点”。 所有无穷性事物 都是趋向性质的 不可完成的想象性事物。  n→∞不是 n达到无穷。

jzkyllcjl

天元酱菜院 发表于 2017-9-24 08:03
其实，我并没有支持您啊。   以极限的思想和手段来建立实数：
  恰恰有 0.333.....  是实数1/3 的结论
...

你说对了！ 我与你存在这个分歧。 这是 无穷概念的分歧。
无穷 二字语文意义就是无有穷尽、无有终了的意思。 数学理论的阐述中 需要这两个字，但不能违背这个语
文意义。数学分析中的无穷大与无穷小 都是无穷数列性质的事物； 数学理论中所有无穷集合都是广义极限性质的趋向性质的、无法被人们构造完毕的 、想想性质的集合、康托尔 提出的“无穷集合是完成了的整体 的实无穷观点”数学理论必须肯定实无穷”的做法 是违背实践的。
所有无穷级数与无尽小数 等于实数 的等式 都是使用极限方法 得到的等式，都需要加上取极限的符号，否则都是不合 逻辑、违背实践的等式。例如对于 1/3=0.333…… 应当知道1/3 代表是线段把长度的被绝对准的三分之一，它是一个 现实数量的绝对准表达符号，所以 我称它为 理想实数，由于这个符号存在 “不如 十进小数”的缺点，所以需要使用除法 一步一步地找到 多于 误差界序列{1/10^n}不足近似值数列0.3，0.33，0.333，……，这个数列可以简写为无尽小数，但这个无尽小数 是永远写不到底的事物，这个除法运算是不可完成的，这说明这个无尽小数是不能被完成了的， 但可以使用数列极限方法 得到它的误差界序列的极限是0，因此这个不足近似值数列的极限即趋向是这个理想实数。又由于 数列的极限是实数，但数列始终达不到其极限。 是所以 等式1/3=0.333……不成立，成立的只能是是极限性等式 lim n→∞ 0.333……= 1/3。
所有实数都是如此，都是康托尔实数理论中的以有理数为项的 基本数列的极限。
由于 无穷集合不是完成了的、能写完其所有元素的集合，所以我不同意戴德金的实数理论，也不同意维尔斯特拉斯 称无尽小数为实数的定义。我认为应当 称康托尔 基本数列的的极限为实数。 我不同意你 七种定义等价的说法。不同意 康托尔的“无穷集合是完成了的整体的实无穷观点”。 所有无穷性事物 都是趋向性质的 不可完成的想象性事物。  n→∞不是 n达到无穷。