[分享]wangyangkee老师与李懵氏咱们探讨n（n+1)(2n+1)/6=m²，好吗？

任在深

下面引用由yinzhiyuan在 2011/12/05 08:57pm 发表的内容：
题意是：
从1到n“前n个”自然数的平方和 = 某“１个”自然数的平方：1²+2²+3²+...+n²=m²，
并没有要求某“１个”自然数必须能表为“３个”自然数的积。
既然可以令(假设)：m²=（ ...

   证明要有理有据，一步一步的证下去。
   级数不好证，必须找出通项公式，找出之后必须左右都是平方数！
   根据什么可以假设 A+B=C?（此题恰好是 A+B=C?,若不是将如何？）
  实际
       求出 n=6A²以及n+1,2n+1
       就可分析出 n=2，
       试算：
             A=1， n=6,n+1=7,2n+1=13, 不符合题意，
             A=2， n=24，n+1=25=5²,2n+1=49=7², ABC=2*5*7=70
        但是必须证明 n=24，m=70是唯一解。
好像有类似题：
      n(n+1)(2n+1)/22=m².
   你试算一下可以用 A+B=C 吗？
                              讨论的很好！
                                                      谢谢！

yinzhiyuan

    德国数学家克莱茵说：“研究者在数学中以及一切科学工作中，本质上是应用着
他的想象，……”
    你首先是应用着你的想象，通过【假设】A²=n/6 后，才能算出n=6A² 的。想象或
假设是否正确，是需要验算证明的。事实上，你【假设】n/6是【平方数】是正确的。
    同样的，我应用着我的想象，事实上，【假设】C=A+B 也是正确的。
    你说：“好像有类似题：n(n+1)(2n+1)/22=m².”
    ——在数学题中，不应该有“好像”“大概”“也许”“八成”“可能”……
   

任在深

[这个贴子最后由任在深在 2011/12/06 10:38am 第 1 次编辑]


那就去掉好像。
  求 n(n+1)(2n+1)/22=m² 的整数解。
                                 如何？

yinzhiyuan

答：n=49，m=105=3*5*7。因为 7<3+5，不能【假设】C=A+B。

yinzhiyuan

忠友先生：您好！
    应用想象，【假设】：A&sup2;=(2n+1)/11，B&sup2;=(n+1)/2，C&sup2;=n。
    即有：n(n+1)(2n+1)/22=(ABC)&sup2; 。
    请您用您的方法算出：n=？

任在深

下面引用由yinzhiyuan在 2011/12/06 11:05am 发表的内容： 答：n=49，m=105=3*5*7。因为 7<3+5，不能【假设】C=A+B。

很好！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！ [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 任在深 在 时添加 -=-=-=-=- 知道不能假设 A+B=C就可以了！！[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 任在深 在 时添加 -=-=-=-=- 显然 只能是 n=49，m=3*5*7 这个是广义的楼卡斯猜想！ n(n+1)(2n+1)=(2P)m² P是素数！ 很好！ 俺又从您那学到了不少知识。 谢谢！

yinzhiyuan

下面引用由任在深在 2011/12/06 06:05pm 发表的内容：
   知道不能假设 A+B=C就可以了！！
   显然 只能是 n=49，m=3*5*7...

    1.不同的题目有不同的假设，不能千篇一律。
    2.请展示您的算法，以便向您学习。谢谢！      

任在深

您既然求证出来了，俺那就不必了！

                             谢谢！

正理

下面引用由任在深在 2011/11/27 11:36pm 发表的内容：
俺耐心等待玩扬客老师 11月7日----11月27日，可它没正事，只好俺自己证明了！
解
因为 (1)  n(n+1)(2n+1)/6=m&sup2;
因此 左边=【n/6*(n+1)(2n+1)】=（ABC)&sup2;
所以 (2) n/6=A&sup2;,即 n=6A&sup2;
      (3)  n+1=6A&sup2;+1=B&sup2;
      (4) 2n+1=12A&sup2;+1=C&sup2;

请问楼主：（2）式n/6=A&sup2;,即 n=6A&sup2;
是怎么得来的？

任在深

下面引用由正理在 2011/12/07 03:02pm 发表的内容：
请问楼主：（2）式n/6=A&sup2;,即 n=6A&sup2;
是怎么得来的？

        1.因为
              左边=n(n+1)(2n+1)/6=(ABC)&sup2;=A&sup2;B&sup2;C&sup2;
                  =n/6*(n+1)*(2n+1)=A&sup2;*B&sup2;*C&sup2;
        2.所以 n/6=A&sup2;
               n+1=B&sup2;
               2n+1=C&sup2;
        这是经过分析得来的，其他形式如 （n+1）/6.(2n+1)/6，不合适。