|
进一步需要指出:在笔者的无穷集合理论下,罗素悖论也是不存在的。事实上,从前一节例1中的(2)式可以看出:正常集合有无穷多个,因此:以所有正常集合为元素的集合是非正常集合;罗素悖论就被消除了。我们不需要为消除罗素悖论提出ZFC形式语言的公理集合论。在汪芳庭的著作《数学基础》中,为了解释ZFC 形式语言中的无穷集合存在公理,他说道:“归纳集是存在的”、“ω这个最小的归纳集是我们在集论中遇到的第一个实无限.有了无限公理,集论便进入了实无限的领域,实无限(无限集)是现代数学的基本工具,是集论的本质”、“历史上,由Peano公理所确定的自然数集N 是抽象的,而这里的我们得到的ω这个自然数集是具体的。关于自然数,我们从抽象走到了具体。无限公理的引入,无非是为了肯定ω这个集合作为整体的存在性。[4]”。但对汪芳庭的解说还需要进行分析,事实上,关于这个解说中术语“实无限”存在着如下的争论。文献[5]讲到:“实无穷论者认为,无穷(在数学中表现为无穷集)是一个现实的、完成的、存在着的整体,是可以认识的.。潜无穷论者否定实无穷,认为无穷并不是已完成的而是就其发展来说是无穷的,无穷只是潜在的”[5]、康托儿提出“数学必须肯定实无穷”、“无理数的建立必须以这样或那样的实无穷为基础”[5]。关于实无穷与潜无穷这两个数学术语,数学百科全书第一卷27页,在“实无穷抽象”词条中讲到:“(例如从零开始逐步产生正整数的过程)、实无穷抽象在于不管这个过程在原则上并不终结这个事实而在假定它们已经终结的情况下考虑这个过程的结果,即假定其客观集合已经生成”[6],这说明:把自然数无穷集合看作完成了的实无穷集合的数学理论是违背事实的。在“潜无穷可实现抽象”词条中讲到:“潜在可实现性抽象性在于不管这种过程在实现每一个联接步骤时可能的任何在空间、时间或材料方面的困难,把每一步都看成是潜在地可实现的”[6],这说明:把自然数无穷集合看作潜无穷意义的集合的叙述也是违背实践的(因为:无穷多次操作是无法被人们实现的)。应当采用的是:上述的从定义2、例1、例2、公理2、定义3、定义4的既有理想又有现实的、理想与现实相互依存、相互斗争的对立统一的唯物辩证法性质的抽象方法。 |
|