请教陆老师一个关于射影几何的问题

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/04/12 09:15am 第 1 次编辑]

那么，这两条灰色线段 AC （曲面的自交线）是双曲线（肯定不是直线、椭圆、抛物线）呢，还是别的什么曲线？

luyuanhong

下面引用由天茂在 2012/04/12 08:20am 发表的内容：
那么，这两条灰色线段 AC （曲面的自交线）是双曲线呢，还是别的什么曲线？

其实这是两段曲线，如果把这两段曲线连起来作为一段曲线来看，我们可以看到，
它与无穷远曲线有一个交点（C 点），有一个切点（A 点）。所以，它不可能是
双曲线（因为双曲线要有两个交点），也不可能是直线（因为直线只有一个交点，
没有切点），也不可能是抛物线（因为抛物线只有一个切点，没有交点），当然，
它更不可能是椭圆（因为椭圆没有交点）。

天茂

我肯定是把拓扑变换和射影变换搞混了。为了把这两种变换区分开，请问陆老师：
这两条灰色线段 AC （曲面的自交线）在现在我们讨论的射影平面的封闭曲面上看到的是一条直的线段。通过拓扑变换，线段AC肯定可以变成曲线；那么，通过射影变换，线段AC是不是就一定不可以变成曲线呢？

luyuanhong

下面引用由天茂在 2012/04/12 09:29am 发表的内容：
我肯定是把拓扑变换和射影变换搞混了。为了把这两种变换区分开，请问陆老师：
这两条灰色线段 AC （曲面的自交线）在现在我们讨论的射影平面的封闭曲面上看到的是一条直的线段。通过拓扑变换，线段AC肯定可以变成曲线；那么，通过射影变换，线段AC是不是就一定不可以变成曲线呢？

对，拓扑变换与射影变换是完全不同的两回事。
拓扑变换，是把曲面看作是一块橡皮膜，可以任意拉伸、扭曲、变形。
拓扑变换后得到的曲面上，看来是一段直线，原来完全可能不是直线，而是
一段以各种方式弯弯曲曲的的曲线，只不过拉伸、扭曲、变形后，才变成看
起来像是一段直线。
射影变换，是按照一定的数学公式进行的变换。射影平面中各种直线、曲线，
都有各自的方程表示式。射影变换，就是对这些方程表示式，按照射影变换
公式，进行变换。射影变换只会把直线变成直线，把二次曲线变成二次曲线，
不会把直线变成二次曲线，也不会把二次曲线变成直线。
拓扑变形后得到的曲面上的一段直线 AC ，原来可能是直的，也可能是弯的，
可以有各种各样的方程表示式，所以，根本无法回答，它经过射影变换后，
会变成什么方程，到底是直线还是曲线。

天茂

如果是这样，我在37楼的下面这段话，就是错误的了：

我一直以为，一定要用一个平面作截面，得到的截线，才能算是“射影平面上的直线”。
实际上，我昨晚已经想通了，这个想法之所以没有道理，是因为射影平面所形成的封闭曲面是可以变形（拓扑变换）的。

请问陆老师：“射影平面上的直线一定要用一个平面去截，才能得到”的反例，可以找得到吗？

luyuanhong

下面引用由天茂在 2012/04/12 02:13pm 发表的内容：
如果是这样，我在37楼的下面这段话，就是错误的了：
请问陆老师：“射影平面上的直线一定要用一个平面去截，才能得到”的反例，可以找得到吗？

我们知道，射影平面的闭曲面图像是通过拓扑变换得到的，而拓扑变换
是可以将图像随意拉扯、扭曲、变形的，所以，即使碰巧有一条直线是
平面与射影平面闭曲面图像的截线，我们只要将这条线拉扯、扭曲、变形
一下，使它不落在一个平面上，它就不是平面截线了。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/04/12 06:27pm 第 2 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2012/04/12 03:30pm 发表的内容：
我们知道，射影平面的闭曲面图像是通过拓扑变换得到的，而拓扑变换是可以将图像随意拉扯、扭曲、变形的，所以，即使碰巧有一条直线是平面与射影平面闭曲面图像的截线，我们只要将这条线拉扯、扭曲、变形一下，使它不落在一个平面上，它就不是平面截线了。

您说的这些，正是我在37楼的说法。难道这个说法不是错的（因为我在43楼提的问题是：通过射影变换，线段AC是不是就一定不可以变成曲线？）？
我现在已经明白了拓扑变换和射影变换是不同的，这个不同点至少表现在如下情形：
拓扑变换可以将直线变成曲线，而射影变换只能将直线变成直线。
或者说，拓扑变换可以将平面截线变成非平面截线，而射影变换只能将平面截线变成平面截线。
上面的说法正确与否？请陆老师评判。

ygq的马甲

请问 luyuanhong 教授：
你们讨论的闭曲面，其拓扑洞数是多少 ？？？
如果是 0 的话，应该不会是单侧闭曲面

luyuanhong

下面引用由天茂在 2012/04/12 06:22pm 发表的内容：
您说的这些，正是我在37楼的说法。难道这个说法不是错的（因为我在43楼提的问题是：通过射影变换，线段AC是不是就一定不可以变成曲线？）？
我现在已经明白了拓扑变换和射影变换是不同的，这个不同点至少表现在如下情形：
拓扑变换可以将直线变成曲线，而射影变换只能将直线变成直线。
或者说，拓扑变换可以将平面截线变成非平面截线，而射影变换只能将平面截线变成平面截线。
上面的说法正确与否？请陆老师评判。

你说：“拓扑变换可以将平面截线变成非平面截线”是对的。
但是，你说：“射影变换只能将平面截线变成平面截线”，是没有道理的。
注意：“射影平面中的直线”与“射影平面的闭曲面图像与一个平面相交得到的截线”
完全是两回事，没有任何关系，平面截线不一定是直线，直线也不一定是平面截线。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/04/13 00:16pm 第 4 次编辑]

既然射影变换不能将直线变成曲线，说明射影变换只会发生缩放、平移、旋转、倾斜，而不会发生扭曲。那么，说射影变换只能将平面截线变成平面截线，而不会变成非平面截线，这难道还有问题吗？
陆老师能否举出一例：通过射影变换，使平面图形变成立体图形。