勾股数新公式

王守恩 · 发表于 2023-11-29 18:28

Treenewbee 发表于 2023-11-29 09:26
{{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{1,7},{2,8},{2,9},{2,10},{2,11},{2,12},{2,13},{2,14},{2,15},{3,20}}

谢谢 Treenewbee ！没学会, 继续讨教。谢谢Treenewbee ！

a,b是正整数, 满足 \(\bigg\lceil\frac{n-1/a}{\sqrt[n]{1-1/b}}\bigg\rceil\)=n, n=1,2,3,4,5,..., 这样的{a,b}有多少对？

Treenewbee · 发表于 2023-11-29 21:02

王守恩发表于 2023-11-29 10:28
谢谢 Treenewbee ！没学会, 继续讨教。谢谢Treenewbee ！

a,b是正整数, 满足 \(\bigg\lceil\frac{n-1 ...

这样的题目有什么实际意义呢？

ab=Select[Tuples[Range@20,{2}],Total[Table[Abs[Ceiling[(n-1/#[[1]])/(1-1/#[[2]])^(1/n)]-n],{n,1000}]]==0&]

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王守恩 · 发表于 2023-11-30 09:43

Treenewbee 发表于 2023-11-29 13:02
这样的题目有什么实际意义呢？

可以作“考研题”！

a,b是正整数, 满足 \(\bigg\lceil\frac{n+a/b}{\sqrt[n]{\pi}}\bigg\rceil\)=n, n=1,2,3,4,5,..., 这样的{a,b}是怎样的一些数对？

Treenewbee · 发表于 2023-11-30 11:59

\[x=a/b\]
\[n-1<\frac{n+x}{\sqrt[n]{\pi}}<=n\]
\[x<=n \left(\sqrt[n]{\pi}-1\right)\]
\[x<= Limit_{n \to \infty} {n \left(\sqrt[n]{\pi}-1\right)}=ln\pi\]
\[{a,b}=\{[1,\lfloor b*ln\pi\rfloor],b\}\]

王守恩 · 发表于 2023-11-30 16:02

Treenewbee 发表于 2023-11-30 03:59
\[x=a/b\]
\[n-1

“考研题”！
a,b是正整数, 满足 \(\bigg\lceil\frac{n+a/b}{\sqrt[n]{\pi}}\bigg\rceil\)=n, n=1,2,3,4,5,..., 这样的{a,b}是怎样的一些数对？
什么规律？
a=01, b=01--07,
a=02, b=02--14,
a=03, b=03--21,
a=04, b=04--28,
a=05, b=05--35,
a=06, b=06--42,
a=07, b=07--49,
a=08, b=07--56,
a=09, b=08--63,
a=10, b=09--70,
a=11, b=10--77,
a=12, b=11--84,
a=13, b=12--91,
a=14, b=13--98,
a=15, b=14--105,
a=16, b=14--112,
a=17, b=15--119,
a=18, b=16--126,
a=19, b=17--133,
a=20, b=18--140,
a=21, b=19--147,
a=22, b=20--154,
a=23, b=21--161,
a=24, b=21--,
a=25, b=22--,
a=26, b=23--,
a=27, b=24--,
a=28, b=25--,
a=29, b=26--,
a=30, b=27--,
a=31, b=27--,

Treenewbee · 发表于 2023-11-30 16:16

Table[{a, {Ceiling[a/Log[Pi]], Floor[a/(Log[Pi] - 1)]}}, {a, 50}]

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1 {1,6}
2 {2,13}
3 {3,20}
4 {4,27}
5 {5,34}
6 {6,41}
7 {7,48}
8 {7,55}
9 {8,62}
10 {9,69}
11 {10,76}
12 {11,82}
13 {12,89}
14 {13,96}
15 {14,103}
16 {14,110}
17 {15,117}
18 {16,124}
19 {17,131}
20 {18,138}
21 {19,145}
22 {20,152}
23 {21,158}
24 {21,165}
25 {22,172}
26 {23,179}
27 {24,186}
28 {25,193}
29 {26,200}
30 {27,207}
31 {28,214}
32 {28,221}
33 {29,228}
34 {30,234}
35 {31,241}
36 {32,248}
37 {33,255}
38 {34,262}
39 {35,269}
40 {35,276}
41 {36,283}
42 {37,290}
43 {38,297}
44 {39,304}
45 {40,310}
46 {41,317}
47 {42,324}
48 {42,331}
49 {43,338}
50 {44,345}

Treenewbee · 发表于 2023-11-30 16:27

\[\lceil\frac{a}{ln{\pi}}\rceil<=b <= \lfloor\frac{a}{ln\pi-1}\rfloor\]

Treenewbee · 发表于 2023-11-30 16:28

f[n_, a_, b_] := Ceiling[(n + a/b)/Pi^(1/n)] - n
{f[666, 1, 7], f[10^20, 23, 157], f[10^20, 23, 158], f[10^5, 23, 159], f[10^4, 23, 160], f[10^3, 23, 161]}

复制代码

{-1, 0, 0, -1, -1, -1}

王守恩 · 发表于 2023-11-30 17:30

本帖最后由王守恩于 2023-11-30 10:36 编辑

Treenewbee 发表于 2023-11-30 08:16
1 {1,6}
2 {2,13}
3 {3,20}

1--11,你是对的。
a=12, b=11--83,
a=13, b=12--90,
a=14, b=13--97,
a=15, b=14--104,
a=16, b=14--111,
a=17, b=15--118,
a=18, b=16--125,
a=19, b=17--132,
a=20, b=18--139,
a=21, b=19--146,
a=22, b=20--153,
a=23, b=21--160,
a=24, b=21--167,
a=25, b=22--174,
a=26, b=23--181,
a=27, b=24--188,
a=28, b=25--195,
a=29, b=26--202,
a=30, b=27--209,
a=31, b=28--216,
a=32, b=28--223,

Table[Ceiling[(n+a/b)/Power[Pi(n)^-1]],{a,24,24},{b,165,168},{n,261,264}]

复制代码

{{{261, 262, 263, 264}, {261, 262, 263, 264}, {261, 262, 263, 264}, {261, 262, 262, 263}}}

Table[Ceiling[(n+a/b)/Power[Pi(n)^-1]],{a,32,32},{b,221,224},{n,261,264}]

复制代码

{{{261, 262, 263, 264}, {261, 262, 263, 264}, {261, 262, 263, 264}, {261, 262, 262, 263}}}

Treenewbee · 发表于 2023-11-30 18:02

f[n_, a_, b_] := Ceiling[(n + a/b)/Pi^(1/n)] - n

复制代码

a = 24; Table[{k, f[10^5, a, k]}, {k, 161, 168}]

复制代码

{{161, 0}, {162, 0}, {163, 0}, {164, 0}, {165, 0}, {166, -1}, {167, -1}, {168, -1}}

a = 23; Table[{k, f[10^5, a, k]}, {k, 151, 165}]

复制代码

{{151,0},{152,0},{153,0},{154,0},{155,0},{156,0},{157,0},{158,0},{159,-1},{160,-1},{161,-1},{162,-1},{163,-1},{164,-1},{165,-1}}

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