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公理:最后一次命名:留言
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公理:命名:《复原日公理》后《60%反偷窃成实公理》
公理:最后一次命名《美花草树木公理》
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在傳統邏輯中,公理是:無法被證明或決定對錯,但被:設為不證自明的一個命題。
因此, 其真實被視為是理所當然的,且被當做演繹及 推論其他(理論相關)事實的起點。 ...
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从自然数概念出发形成多角度的观点出发,对以前的教学进行审视反思
30 [ 标签:自然数,审视,自然数概念 ]
陸羽、茬泡茶回答:1人气:28解决时间:2010-08-23 16:17
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现在,已经明确地把数"0"作为一个自然数看待.为什么?听了很多的解释,大部分的解释是把这看作一个"规定",就是说可以把"0,1,2,…,n,…"作为自然数,也可以把"1,2,…,n,…"做为自然数.显然,这样的"解释"是不够的.在这儿谈谈我们的理解,供老师和同学参考.
首先,应该从自然数的功能说起,自然数是人类最早用来描述周围世界"数量关系"的概念,几乎从一开始就具有三个基本功能,一个是帮人类来刻画某一类"东西"的多少,用现代的数学语言来说就是描述一个有限集合的基数(性质);另一个就是刻画一类"事物"的顺序,"第一","第二",……,用现代的数学语言来说,描述一个有限集合中元素的"顺序"性质.这就是说,自然数既具有用来描述集合(有限)元素多少的基数性质,又具有描述集合元素顺序的序数性质.或者可以进一步说,自然数既是基数,又是序数."自然数"的第三个基本功能是"运算功能".自然数可以做加法运算和乘法运算.在此基础上,随着对运算的深入研究使得我们一步一步地建立起了有理数实数和它们的运算.
我们知道"空集"是集合中一种最主要也是最基本的集合,也是我们在描述周围现象中经常用到的集合,在数学中更是经常要用的.例如:所有不能表示为两个素数之和的偶数集合是空集吗?这就是哥德巴赫猜想.一般地说,集合常常被分为有限集合和无限集合两类.有限集合是含有有限元素的集合.像学校中人的集合,学校中男人的集合,学校中女人的集合,学校中老师的集合和学生的集合,某个一元二次方程解的集合等等都是有限集合;无限集合是含有的元素不是有限的集合.像自然数集合、有理数集合、实数集合、复数集合等等.把"空集"作为一个有限集是很自然的.并且我们很容易理解应该?0"来描述"空集"中含元素的多少.
有了前面这些说明,我们就容易理解这样一个事实:如果把"0"作为一个自然数,那么"所有自然数"就可以完整地完成刻画"有限集合元素多少"的"任务"了.而没有"0"的"所有自然数"总是有"缺陷",因为没有自然数可以表示"空集"所含元素的多少.这样,我们从"自然数的一种基本功能"方面说明了把"0"作为自然数的好处.
我们还必须说明另一个问题:把"0"作为自然数,是否会影响自然数的"序数能"和"运算功能"?回答是不会的.不仅不会,还会使"自然数"的这两功能更加"完整".
先看原来没有"0"的自然数,我们都知道不同自然数有大小之分,8大于5,1000大于999,按这样的大小,所有自然数构成了一个"有顺序"的集合.即若自然数n1大于n2,n2大于n3,则自然数n1大于n3,我们称之为"传递性".另外,对于任何两个自然数n1和n2,或者n1大于n2,或者n2大于n1,或者n1等于n2,即"三歧性".一般地说,我们把具有传递性和三歧性的集合称之为线性序集.
在这里我们不想用非常规范的集合论语言叙述这些性质,这样会增加中学老师和中学生阅读的困难.希望对这部分内容有进一步了解的读者可以选读任何一本"集合论"的著作.我们很容易理解有理数集,实数集都是线性序集(按照通常的顺序).即若有理数(实数)r1大于有理数(实数)r2,而r2大于有理数(实数)r3,则r1大于r3(传递性);另外,对任意两个有理数(实数)r1和r2,则或r1>r2,或r2>r1, 或r1=r2(三歧性).
自然数在"顺序"方面的性质,除了上述性质之外,还有一种它所具有的特殊的性质.在陈述这一基本性质之前,有必要说明一点, 如我们前面所说,"自然数"具有三种基本功能,或说三种基本性质, 我们在有些时候要说明这些性质之间的联系,但有时候常常要单独地讨论一种"功能"的性质,在这种情况下,要学会"排除"其它"功能"的干扰,这样才能较好地理解"一种功能"的"本质".
"自然数反映顺序的性质"中,最基本的性质是"自然数集合的任何一个非空的子集合中,一定有最小的数". 在不包含0的自然数集合中.例如,"所有偶数的集合"中2是最小的;在"既可被5整除又可被7整除的自然数集合"中,35是最小的.
并不是所有有"顺序"性质的集合都具有这种"特殊的性质",例如:无论是有理数,还是实数,都具有"传递性"和"三歧性",但是它们同样不具有自然数所拥有的那种特殊的性质.
例如区间(0,1)是有理数集合或实数集合中的非空子集,然而(0,1)中没有最小的数存在.在这里
好:6
不好:0
原创:7
非原创:0
问问团队GAMEBOY共1人编辑答案2010-08-23 10:41 |
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