\(\Huge^\star\color{red}{\textbf{ 狗屎}}\color{darkorange}{\textbf{活活吃傻}}\)

春风晚霞

自然数列发散这是数学人的共识，但自然数列发散并不能说明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)！凡《数学分析》教科书都要讲\(n\to\infty\)，若只把\(\infty\)解读成不存在，那么作为数列\(a_n\)的脚标在\(n\to\infty\)也就不存在，于是无论是数列收敛还是发散在\(n\to\infty\)处讨论\(a_n\)的值都没有意义，当然这也不是《数学分析》所需要的。因此，无论是哪家的《数学分析》，都不会否认\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！其实，这点常识elim还是有的，只不过为了圆【无穷交就是一种骤变】、【1/n永远不等于0】的谎话而拒不承认罢了。

春风晚霞

自然数列发散这是数学人的共识，但自然数列发散并不能说明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)！凡《数学分析》教科书都要讲\(n\to\infty\)，若只把\(\infty\)解读成不存在，那么作为数列\(a_n\)的脚标在\(n\to\infty\)也就不存在，于是无论是数列收敛还是发散在\(n\to\infty\)处讨论\(a_n\)的值都没有意义，当然这也不是《数学分析》所需要的。因此，无论是哪家的《数学分析》，都不会否认\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！其实，这点常识elim还是有的，只不过为了圆【无穷交就是一种骤变】、【1/n永远不等于0】的谎话而拒不承认罢了。

春风晚霞

         任何教科书都支持\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)，及与之逻辑等价的任何命题。现在我们根据Weierstrass 极限定义直接证明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)、……\(\in\mathbb{N}\)!
        〖证明：〗根据Weierstrass极限定义：\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(对\forall \varepsilon>0\iff \exists\)正整数\(N_\varepsilon\)\((=[\tfrac{1}{\varepsilon}]+1)\),当\(n>N_{\varepsilon}\)，有\(|x_n-a|<{\varepsilon}\)，令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(\in\mathbb{N}\)
        同理：
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)\(\in\mathbb{N}\)；
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)\(\in\mathbb{N}\);
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)\(\in\mathbb{N}\);
……      

春风晚霞

elim，任意预先给定的、无论怎样大的自然数\(n_e\)未必就是你所认识的有限数。如\(n_e=\lim 2^n\)它就不是你所认识的有限数！其实陶哲轩所说的每个自然数都是有限数的“限”是指所论自然数都存在并小于它的后继。况且集合\(\{m|m≤n_e\}\)中的数都小于或筹于\(n_e\)，所以\(n_e\)就是它们的限！而集合\(\{m|m>n_e\)中的数只有下界，没有上界故集合\(\{m|m>n_e\}\)中的数是无限数！

春风晚霞

elim，任意预先给定的、无论怎样大的自然数\(n_e\)未必就是你所认识的有限数。如\(n_e=\lim 2^n\)它就不是你所认识的有限数！其实陶哲轩所说的每个自然数都是有限数的“限”是指所论自然数都存在并小于它的后继。况且集合\(\{m|m≤n_e\}\)中的数都小于或筹于\(n_e\)，所以\(n_e\)就是它们的限！而集合\(\{m|m>n_e\)中的数只有下界，没有上界故集合\(\{m|m>n_e\}\)中的数是无限数！

春风晚霞

elim，任意预先给定的、无论怎样大的自然数\(n_e\)未必就是你所认识的有限数。如\(n_e=\lim 2^n\)它就不是你所认识的有限数！其实陶哲轩所说的每个自然数都是有限数的“限”是指所论自然数都存在并小于它的后继。况且集合\(\{m|m≤n_e\}\)中的数都小于或筹于\(n_e\)，所以\(n_e\)就是它们的限！而集合\(\{m|m>n_e\)中的数只有下界，没有上界故集合\(\{m|m>n_e\}\)中的数是无限数！

春风晚霞

         任何教科书都支持\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)，及与之逻辑等价的任何命题。现在我们根据Weierstrass 极限定义直接证明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)、……\(\in\mathbb{N}\)!
        〖证明：〗根据Weierstrass极限定义：\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(对\forall \varepsilon>0\iff \exists\)正整数\(N_\varepsilon\)\((=[\tfrac{1}{\varepsilon}]+1)\),当\(n>N_{\varepsilon}\)，有\(|x_n-a|<{\varepsilon}\)，令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(\in\mathbb{N}\)
        同理：
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)\(\in\mathbb{N}\)；
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)\(\in\mathbb{N}\);
        令\(\varepsilon=(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n)^{-1}\),则\(N_\varepsilon\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)\(\in\mathbb{N}\);
……      

春风晚霞

elim，任意预先给定的、无论怎样大的自然数\(n_e\)未必就是你所认识的有限数。如\(n_e=\lim 2^n\)它就不是你所认识的有限数！其实陶哲轩所说的每个自然数都是有限数的“限”是指所论自然数都存在并小于它的后继。况且集合\(\{m|m≤n_e\}\)中的数都小于或筹于\(n_e\)，所以\(n_e\)就是它们的限！而集合\(\{m|m>n_e\)中的数只有下界，没有上界故集合\(\{m|m>n_e\}\)中的数是无限数！

春风晚霞

elim，任意预先给定的、无论怎样大的自然数\(n_e\)未必就是你所认识的有限数。如\(n_e=\lim 2^n\)它就不是你所认识的有限数！其实陶哲轩所说的每个自然数都是有限数的“限”是指所论自然数都存在并小于它的后继。况且集合\(\{m|m≤n_e\}\)中的数都小于或筹于\(n_e\)，所以\(n_e\)就是它们的限！而集合\(\{m|m>n_e\)中的数只有下界，没有上界故集合\(\{m|m>n_e\}\)中的数是无限数！

春风晚霞

         根据Weierstrass 极限定义:\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)\(\iff\)\(对\forall ε>0，\exists\)正整数\(N_ε\)，\(当n>N_ε，有|x_n-a|<ε\)可得如下定义:
        〖定义1:〗对于任意给定的无穷小量ε，称集合\(\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\)为无穷大.记为\(\infty\).
        〖定义2:〗\(若自然数\forall k\in\{n|n>N_ε，N_ε\in\mathbb{N}\}\)，则称\(k\)趋向于无穷大，记为\(k\to\infty\).
        根据定义1、定义2：\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n≠∞\)(自然数不能和自然数集相等)，但\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\to\infty\) .即\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2^n\)\(\in\mathbb{N}\).
          同样根据定义1和定义2得：     \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)、……\(\in\mathbb{N}\)!
        ……