数学是什么？

elimqiu

下面引用由jzkyllcjl在 2009/04/29 05:32pm 发表的内容：
我说的是：“0.33333...的真实意义是无穷数列，它的极限是1/3”这有什么不妥？你不要断章取义！

elimqiu在560楼对你断章取义了？哪里？
“0.33333...的真实意义是无穷数列，它的极限是1/3”只是你的一相情愿，没有什么真实可言。真实的是你在扭曲数学：把一种小数弄得不成为数，还主张自在自为的变量，把芝諾悖论合法化，你的永远增长着的自然数集使极限的概念成为不可能：如果自然数还在不断生成中，“n趋于无穷”就没有明确的意义，或者说任何极限运算都成为永远不能完结的过程，所以你连‘它的极限是1/3’也没有资格说。更不用谈你的集合序列的极限了，根本就是不知所云。 还要问‘有何不妥’？

林梦启

数学是一种思想

顽石

[这个贴子最后由顽石在 2009/05/01 06:59am 第 1 次编辑]

《无穷小包含无穷大》
与传统观点不同，我不承认“线段由无穷多个点组成”的观点，而认定“线段由无穷多个缝隙组成的”。这个观点认为：线段中的任意一个点，皆为缝隙的分割点，缝隙无限可分，可比喻为“一尺之棰日皆取半万世不竭”，请您注意其中的“日皆取半”四个字，表示整个木棰的全面细分。
与此相类似，1至0线段中的1/2，1/4，1/8，1/16，…，1/2^n，皆为庄子的“一尺之棰日取其半万世不竭”无穷分割点，是集中一处的无限细分。
上述“缝隙细分两方式”是不同的，但是其实质都是缝隙永远可分。
我们能利用庄子分割点来证明越来越小趋向于0的线段，可放大为无穷长直线。这个用几何作图方法构造出来的事实，证明越来越小线段永远可分无法消灭。现几何作图步骤如下：
一.作由下而上的无穷多个正方形连续而成的长方形，在这个长方形的左边无穷多个长度单位依次标示数字序：1，2，3，4，5，…，其中，3，5，9，17，33，…，1+2^n等等的点与1分别形成长度，这些长度分别与底边这个宽度可组成无穷多个长方形。
二.第一个正方形的四个直角标号依次为1，2，0，A,其中1至0就是这个正方形对角线。用各纵线通过对角线上的庄子分割点，可对第一个正方形分割出无穷多个纵向小长方形。
三.因为这些小长方形与上述的无穷多个大长方形皆一一对应和相似。因此，以A点为中心作无穷多个放射线，依次通过庄子分割点，那么必定就有：A点与1/2点连线延伸交于左边的2；A与1/4连线延伸交于4；A与1/8连线延伸交于8；A与1/16连线延伸交于16；…；A与1/2^n连线延伸交于2^n；n趋向无穷大。
四.因为，1至0是边长为1的正方形对角线，因此，对角线上两个庄子分割点之间的长度是单位长度的2^0.5倍。也因此，相邻两条放射线皆夹着一个小线段2^（-n+0.5）和一个大线段2^（n-1），其实大线段是小线段的放大，大线段长度是小线段长度2^（-n+0.5）的2^（2n-1.5）倍，并且，大线段长度2^n和小线段长度2^（-n+0.5）相乘的积是一个常数2^-0.5
五.上述几何作图本身就是一个证明，即证明以下三点：
    1.缝隙的客观存在。n越大，小线段（缝隙）就越小，而其放大的倍数，就越大。
    2.无穷小等于0导致荒谬。假设：当n→∞时，2^-n = 0，那么，就可推出2^（-n+0.5） = 2^-n×2^0.5 = 0×2^0.5 = 0，从而，2^（-n+0.5）放大到2^（2n-1.5）倍而得2^（n-1）就是0×2^（2n-1.5）= 2^（n-1）的荒谬结果！
3.无穷小包含无穷大。按潜无穷观点，凡是被一段一段地分割去的线段，即1至2^-n点之间的各线段皆一一对应着有限个单位长度，而2^（-n+0.5）长度的线段，即1至0对角线中的2^-n点与端点0之间的无穷小缝隙，对应着2^n点至无穷远处的直线。在这个无穷长直线中，包含着无穷多个单位长度，即最后一个待分割的无穷小缝隙，可放大到无穷长直线！其中，A与0连线延伸不与无穷长长方形左边直线相交！等同于无穷小线段（缝隙）包含无穷多个单位长度无疑。
与上述相类似，我们以1至0的线段表示无穷长笔直铁轨，在这条铁轨上停着一列火车，火车头正好处在线段的1/2点上，火车尾在1处。火车开始往前方即线段的0端点处奔跑，当火车头到达1/4处时，火车尾正好到达1/2处，当火车头到达1/8处时，火车尾正好到达1/4处，…，当火车头到达1/2^n处时，火车尾正好到达1/2^（n-1）处，n趋向无穷大。在线段上看起来，火车尾的速度总是火车头速度的两倍，但是火车尾永远追不上火车头。这其实就是所谓的“勇士追不上乌龟”的悖论！我认为不是悖论，而是庄子的“一尺之棰日取其半万世不竭”的真理。火车头与尾的长度永远保持不变！绝对不会缩成0
对于这个两千多年前的真理，实无穷论者观点认为“竭”，火车尾能追上火车头；而潜无穷论者观点认为“不竭”，火车尾永远追不上火车头！其证据是：
实无穷观点：数列1/2^n的极限是0，当n趋向无穷大时，1/2^n = 0
潜无穷观点：数列1/2^n的极限是0，当n趋向无穷大时，1/2^n ＞ 0
把其中的2改为10就有：
实无穷观点：数列1/10^n的极限是0，当n趋向无穷大时，1/10^n = 0
潜无穷观点：数列1/10^n的极限是0，当n趋向无穷大时，1/10^n ＞ 0
因此就有：
实无穷观点认为：
当n趋向无穷大时，
（10^n-1）/10^n = 0.99999…99
（10^n/10^n）-（1/10^n ） = 1 - 0 = 1
0.99999…99 = 1两边同除以3就有：0.33333…33 = 1/3
潜无穷观点认为：
当n趋向无穷大时，
（10^n-1）/10^n = 0.99999…99
1 ＞（10^n/10^n）-（1/10^n ） = 1 - （1/10^n ） = 0.99999…99
1 ＞ 0.99999…99，两边同除以3就有：
1/3 ＞ 0.33333…33

elimqiu

传统观点不认为点是由对线段的分割产生的：线段的点和数一一保序对应。 从而也不认为线段作为一维空间是空空如也。于是不论对线段划分与否，线段或子线段都充满了点，从不‘漏风’（空空如也）。 如果子线段空空如也，那么原线段亦然，用划分线段不会从‘充满’得出‘空空如也’。 实无穷观点的标准定义并不能推出：“数列1/2^n的极限是0，当n趋向无穷大时，1/2^n = 0”，说实无穷观点如此是歪曲捏造。 事实上没有像样的思辨素养的人才说类似“当n趋向无穷大时，1/2^n = 0”的话。 正确的说法是， lim 1/2^n = 0 而对任意正整数n, 恒有 1/2^n > 0。 但后半句无人否认，近乎废话。 n→∞ 分清 lim 与 “当n趋向无穷大时” 的区别就不会绕一大圈把自己给骗了。 n→∞ 现行的数学根本不用片语“当n趋向无穷大时”。 而用“令n趋于无穷大”或“对XX取(n→∞)的极限等等。用“当n趋向无穷大时”来推理不能达到数学的严格性。没有认真对待的必要。 现行的数学对无限小数的定义导致 0.33333...=1/3 任何使0.33333...<1/3的理论必然出于对无限小数的不同定义。所以0.33333...<1/3顶多也不过是顽石实数的性质，与实数理论无关。 顺便指出，顽石的 0.33333...<1/3 至少说0.33333...与 1/3 是可比较大小的，但是如果定义 0.33333...为数列，这种比较在现行数学中也是很滑稽的：数列的集合与数集的并是一个全序集吗？如何定义这里的序关系？ [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=- 看来顽石无法停止歪曲‘实无穷观点’。于是他的真理也不过是捏造而已。

顽石

[这个贴子最后由顽石在 2009/05/01 05:25am 第 2 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2009/04/30 02:50pm 发表的内容：
传统观点不认为点是由对线段的分割产生的：线段的点和数一一保序对应。 从而也不认为线段作为一维空间是空空如也。于是不论对线段划分与否，线段或子线段都充满了点，从不‘漏风’（空空如也）。
如果子线段　...

“lim 1/2^n = 0
  n→∞
而对任意正整数n, 恒有 1/2^n > 0。 但后半句无人否认,近乎废话。”我首先反对这样的说法：“外文符号深刻，难以用中文准确翻译过来”
lim 1/2^n = 0
n→∞
上述一组符号是外文，用中文翻译过来就是：
（1）“无穷数列1/2^n的极限等于0”；
（2）“1/2^∞ = 0 ”；
（3）“n趋向无穷大时，1/2^n = 0”。
这样的三个翻译，只有（1）的意思与上述一组外文符号本身完全相同！而（2）和（3）被人们包括e1在内，正在实际使用和认可，而不认可“1/2^n 的极限是0，而1/2^n 不等于0”。
但是，上述翻译与e1翻译“而对任意正整数n, 恒有 1/2^n > 0。但后半句无人否认,近乎废话。”意思完全不同。那么e1翻译的意思是不是这样：“数列1/2^n的极限等于0，但是，数列1/2^n中的每个数，包括n趋向无穷大时的1/2^n，都大于0”如果e1认可了，那么，包括e1在内的认可（2）和（3）的人们中，就应该排除e1了！
e1直接说理，不要再东拉西扯说废话！

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/04/30 06:07pm 第 2 次编辑]

（2）作为一个不常用的表达式，稍加说明还可以理解，不过我不推荐。因为这有将∞看成数的危险（误导）。
（3）纯粹是顽石扯出来的胡话。
至于东拉西扯则是顽石的习惯。他人无能为力。
说“（2）和（3）被人们包括e1在内，正在实际使用和认可”是捏造。顽石的强项。[br][br][color=&#35;990000]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
el没有做什么翻译。说
“lim 1/2^n = 0 而对任意正整数n, 恒有 1/2^n > 0。 但后半句无人否认，近乎废话。”
n→∞
是对顽石的捏造（下面后半句）：
“实无穷观点：数列1/2^n的极限是0，当n趋向无穷大时，1/2^n = 0”
所作的纠正。是不该把两件事弄到一个句子里，不过为了对应顽石的句子，也没有太多选择。

顽石

[这个贴子最后由顽石在 2009/05/01 01:27pm 第 1 次编辑]

“n→∞”和“当n趋向无穷大时”，意思相同。
“lim 1/2^n = 0 ”与“1/2^n 这个数列的极限是 0 ”，意思也相同。
组合起来：
lim 1/2^n = 0
n→∞
就是：
n趋向无穷大时数列1/2^n 的极限是 0
上述属于“无穷数列A的极限是B”n1理解为A = B,不是我捏造，而是我的客观反映事实。证据是n1不承认线段中有缝隙存在，例如1/3 = 0.33333…是常识，两者之间没有缝隙。
顽石认为：
0.33333…，不是一个小数，而是代表一个递增数列（10^n-1）/（3×10^n）当n趋向无穷大时就有：0.3，0.33，0.333，0.3333，…这个数列的极限是1/3，而数列本身不是极限，不是1/3。因此两者不能用等号相连接。小数、分数、自然数，都是指一个确定的数，而无限循环是无穷过程，两者不能混为一体。

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/05/01 10:04am 第 1 次编辑]

下面引用由顽石在 2009/05/01 00:56pm 发表的内容：
上述属于“无穷数列A的极限是B”n1理解为A = B,不是我捏造，而是我的客观反映事实。证据是n1不承认线段中有缝隙存在，例如1/3 = 0.33333…是常识，两者之间没有缝隙。

既然缝隙就是线段，为什么不承认缝隙？不同的点之间有距离（>0）也当然承认。但子线段与原线段一样充满了点。不应该承认的是“线段即空空如也”。
所以顽石还是在捏造。
现行的数学仅在取极限时使用 n→∞ （作为自变量的取向状语），而“当n趋向无穷大时”是一个过程态，这个状态会延续多久？不知道。按顽石喜欢的庄子的截捶的例子，这个状态似乎不会完结。注意极限作为一种运算结果是即刻得到的（根本不在乎过程），所以我认为“ n→∞”与“当n趋向无穷大时”不同。前者的意义是“命n趋于∞”，仅此而已。 尤其在需要格外严格的争论中，我反对使用状语“当n趋向无穷大时”。理由是上面指出的不确定性。
我知道如果把0.33333...定义为数列，那么它就不等于任何常数，所以也不等于1/3。问题在于我不接受这样的定义。所以顽石用这个定义来证明他要的不等跟我没有关系。我已经说了，这是顽石无穷小数的事。滑稽的是顽石硬要把他的无穷小数定义塞给别人，于是一旦别人说0.33333...=1/3，他就可以逻辑地证明他人的荒谬逻辑“（A的极限是B） => （A=B）”不是他的捏造而是客观反映事实。 所以必须指出，假定别人也接受无穷小数的数列定义是顽石的基本捏造。
令我百思不得其解的是： 为什么对现行数学的某观点的反对可以建筑在对该观点的无知上面？ 如果顽石真懂现行数学的无穷小数定义，他应该知道为什么按那定义必然有0.33333...=1/3。 如果顽石不懂那定义，他就不该对他人的主张作任何评论。如果顽石不接受那定义，那么他应该做的是说出对定义的反对意见而不是去偷换概念。

顽石

下面引用由elimqiu在 2009/05/01 04:56pm 发表的内容： 既然缝隙就是线段，为什么不承认缝隙？不同的点之间有距离（>0）也当然承认。但子线段与原线段一样充满了点。不应该承认的是“线段即空空如也”。
所以顽石还是在捏造。
现行的数学仅在取极限时使用 n　...

e1先生的“…子线段与原线段一样充满了点”，和“一尺之棰本来就是满的懂了吧，你以为是你填满的？”这两句话，就完全暴露了e1始终搞不清楚“满”和“空”到底是怎样一回事？ 点不能填满空间，千真万确！点没有长度，怎么能填满空间呢？！空间是被更小的空间“填满”的！就像一尺之棰，本来就是由更小的木棰组成（填满）的那样！而不可能由刀口组成（填满）的！我曾经多次问e1先生所说的“一尺之棰本来就是满的懂了吧，你以为是你填满的？”究竟是指无穷多个刀口填满的还是由木头物质填满的？要求直截了当地回答，而e1先生始终不肯正面回答这个问题，而是东拉西扯废话一大堆！来分散人们的注意力。 线段是由缝隙组成的，线段和缝隙本来都是一维空间，因此，线段空空如也！完全是无法辩驳的真理！我十分欢迎e1先生不断地把我的这个重要观点拿出了，让我得到反复论述和宣传的机会！让越来越多的朋友们能思考这个观点，线段是不是空空如也？正确不正确？在这个问题上e1先生是没有办法否定的，只能是无可奈何！ 其它的问题都是，老生常谈！我不想再一一辩驳。

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/05/01 05:28pm 第 1 次编辑]

顽石说
[e1先生的“…子线段与原线段一样充满了点”，和“一尺之棰本来就是满的懂了吧，你以为是你填满的？”这两句话，就完全暴露了e1始终搞不清楚“满”和“空”到底是怎样一回事？]
elimqiu 说
不错‘满’和‘空’是问题的症结。有人搞不懂这区别。
顽石说
点不能填满空间，千真万确！点没有长度，怎么能填满空间呢？！
elimqiu 说
顽石的空间是空空如也，空空如也被空空如也填满是什么意思？被填满就不是空空如也，于是就不是顽石空间了。elimqiu当然搞不懂顽石的“满”和“空”了。顽石举起空空如也的手臂要人看上面的伤口也是elimqiu之流不能懂的。点能不能填满空间的问题要看什么是空间了。‘顽石空间’点是填不满的，填了就不是空空如也了，也就不是顽石空间了。顽石的麻烦就是他从来不尊重传统数学，谈数学空间不屑了解空间的定义，或者临时搞个空空如也的定义充分暴露了顽石还没有学会数学思考，数学论证。 可惜数学空间恰恰跟顽石空间相反，数学空间是靠其所含的点确定的。没有长度的点如何构成有长度的线段的学问叫做测度论，目前的确不是顽石的能力所及的。我就不费口舌了。
顽石说
空间是被更小的空间“填满”的！就像一尺之棰，本来就是由更小的木棰组成（填满）的那样！而不可能由刀口组成（填满）的！我曾经多次问e1先生所说的“一尺之棰本来就是满的懂了吧，你以为是你填满的？”究竟是指无穷多个刀口填满的还是由木头物质填满的？要求直截了当地回答，而e1先生始终不肯正面回答这个问题，而是东拉西扯废话一大堆！来分散人们的注意力。
elimqiu说
把刀口扯进数学叫数学议论，谈现行数学空间叫东拉西扯废话一大堆，这就是顽石的数学素养了。基本上我们可以认为，只要正经谈数学，就是在分散顽石的注意力。
就算是顽石的乡亲，父辈，对顽石的“线段空空如也论”也只能是无可奈何！这叫言论自由，也包括犯傻自由。数学无法禁止犯傻，但也不会把抽风当成定理，公理等等。
elimqiu无需奈何顽石，‘顽石数学’要暴晒，顽石也就是这点乐趣了。