判定梅森质数的卢卡斯序列

yangchuanju

蔡家雄 发表于 2023-3-1 07:27
设 d 为非负整数，

若 (10d+3)^2 -2 是素数，则 10 是素数 (10d+3)^2 -2 的原根。

蔡家雄三猜想：设 d 为非负整数，
若 (10d+3)^2 -2 是素数，则 10 是素数 (10d+3)^2 -2 的原根。
若 (10d+5)^2 -2 是素数，则 10 是素数 (10d+5)^2 -2 的原根。
若 (10d+7)^2 -2 是素数，则 10 是素数 (10d+7)^2 -2 的原根。
都不完全正确——
对三系列中的不大于30万的素数比对，内部均有2-3的不是长循环节的，反例循环节长仅为p-1的三分之一或更短：
(10d+3)^2-2中的
(10*30+3)^2-2=91807——循环节长3分之一
(10*57+3)^2-2=32827——循环节长3分之一
(10d+5)^2-2中的
(10*13+5)^2-2=18223——循环节长3分之一
(10*28+5)^2-2=81223——循环节长3分之一
(10*31+5)^2-2=99223——循环节长3分之一
(10d+7)^2-2中的
(10*11+7)^2-2=13687——循环节长3分之一
(10*23+7)^2-2=56167——循环节长3分之一
(10*24+7)^2-2=61007——循环节长59分之一

另对(10d+1)^2-2和(10d+9)^2-2进行计算，
若 (10d+1)^2 -2 是素数，则素数 (10d+1)^2 -2 的循环节长大部分是p-1的2分之一，少量为6分之一；
若 (10d+9)^2 -2 是素数，则素数 (10d+9)^2 -2 的循环节长大部分也是p-1的2分之一，少量为6分之一。

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-3-1 16:31
请验证看看10000 内的d 有多少个反例 ？

若 (10d+5)^2 -2 是素数，则 10 是素数 (10d+5)^2 -2 的原根 ...

269个：

{13,28,31,61,64,77,82,112,169,187,292,295,307,316,343,355,376,384,385,406,430,439,470,475,484,490,532,553,568,586,615,622,637,691,787,790,825,883,937,1030,1039,1060,1090,1123,1144,1165,1198,1286,1351,1394,1414,1462,1480,1489,1501,1546,1569,1573,1597,1615,1648,1660,1669,1699,1774,1786,1828,1867,1881,1912,1972,1987,1996,2059,2077,2080,2110,2113,2119,2155,2176,2191,2194,2203,2211,2212,2257,2266,2281,2308,2332,2408,2413,2428,2434,2476,2551,2593,2602,2635,2680,2686,2689,2695,2752,2882,2896,2908,2964,3010,3016,3031,3069,3100,3136,3142,3169,3193,3244,3316,3433,3436,3442,3466,3529,3545,3652,3751,3823,3850,3919,3925,3988,4042,4051,4059,4130,4165,4192,4252,4375,4387,4396,4399,4402,4471,4487,4570,4648,4683,4740,4810,4878,4903,4971,4984,4987,5020,5033,5073,5113,5125,5179,5194,5229,5284,5374,5411,5458,5494,5536,5584,5596,5626,5722,5752,5755,5764,5794,5830,5845,5851,5873,5907,6034,6055,6133,6139,6214,6235,6236,6391,6457,6511,6517,6520,6628,6637,6643,6658,6700,6721,6751,6776,6832,6844,6951,6979,7029,7040,7048,7068,7096,7108,7146,7166,7213,7255,7281,7374,7420,7486,7546,7657,7754,7845,7931,7939,7978,7986,8063,8107,8242,8263,8287,8391,8401,8433,8443,8518,8548,8587,8653,8713,8746,8779,8995,9064,9094,9178,9241,9295,9317,9329,9334,9397,9421,9442,9460,9511,9586,9595,9598,9658,9673,9721,9799,9814,9922}

蔡家雄

设 d 为非负整数，

若 3^(4d+2) -2 是素数，则 10 是素数 3^(4d+2) -2 的原根。

4d+2=2, 6, 22, 90, 102, 786, ......


若 5^(2d+2) -2 是素数，则 10 是素数 5^(2d+2) -2 的原根。

2d+2=2, 14, 26, 50, 126, 144, 260, 624, 1424.


若 7^(4d+2) -2 是素数，则 10 是素数 7^(4d+2) -2 的原根。

4d+2=2, 98, 238, 302, ......

蔡家雄

由 10 是素数 p=(2k+1)^2 -2 的原根，则 10 是素数 p^(4d+2) -2 的原根。

由 10 是素数 7=3^2 -2 的原根，则 10 是素数 7^(4d+2) -2 的原根。

由 10 是素数 23=5^2 -2 的原根，则 10 是素数 23^(4d+2) -2 的原根。

由 10 是素数 47=7^2 -2 的原根，则 10 是素数 47^(4d+2) -2 的原根。

由 10 是素数 167=13^2 -2 的原根，则 10 是素数 167^(4d+2) -2 的原根。

由 10 是素数 223=15^2 -2 的原根，则 10 是素数 223^(4d+2) -2 的原根。

由 10 是素数 727=27^2 -2 的原根，则 10 是素数 727^(4d+2) -2 的原根。

由 10 是素数 1087=33^2 -2 的原根，则 10 是素数 1087^(4d+2) -2 的原根。

由 10 是素数 1223=35^2 -2 的原根，则 10 是素数 1223^(4d+2) -2 的原根。

由 10 是素数 1367=37^2 -2 的原根，则 10 是素数 1367^(4d+2) -2 的原根。

由 10 是素数 1847=43^2 -2 的原根，则 10 是素数 1847^(4d+2) -2 的原根。

由 10 是素数 2207=47^2 -2 的原根，则 10 是素数 2207^(4d+2) -2 的原根。

蔡家雄

定义：形式 m*(m+1)/2 的数，叫：三角数。

一个三角数表为两个不同的三角数之和的通解公式。

一个五边形数 m*(3m -1)/2 表为两个不同的三角数之和的通解公式。

一个七边形数 m*(5m -3)/2 表为两个不同的三角数之和的通解公式。

一个九边形数 m*(7m -5)/2 表为两个不同的三角数之和的通解公式。

一个四边形数 m*(1m -0) 表为两个不同的三角数之和的通解公式。

一个六边形数 m*(2m -1) 表为两个不同的三角数之和的通解公式。

一个八边形数 m*(3m -2) 表为两个不同的三角数之和的通解公式。

白新岭

素数7        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12
1        2        3        4        5        6        0        1        2        3        4        5
2        4        2        2        4        1        0        1        4        2        2        4
3        1        6        1        6        6        0        1        1        6        1        6
4        2        4        4        2        1        0        1        2        4        4        2
5        4        5        2        3        6        0        1        4        5        2        3
6        1        1        1        1        1        0        1        1        1        1        1
统计        2        1        2        1        3        0        6        2        1        2        1
现学现卖，通过计算，3,5,10,12是7的原根，原根有什么特性（除了定义外）？

蔡家雄

如下两问题的相同点

蔡氏完全循环节问题

设 n>=3,

设 P 和 2^n*P+1 都是素数，

且 10^(2^n) -1 不能被 2^n*p+1 整除，

若 2^n*P+1 ≡ 17或33（mod  40），

则 10 是 2^n*P+1 的原根，

则 1/(2^n*p+1) 具有最大循环节长d= 2^n*p .

蔡氏完全循环节问题

若 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数，

则 10 是素数 3^(2n)+2^(2n+1) 的原根。


此时，素数 2^n*P+1 = 40k+17=a^2+b^2 或 40k+33=a^2+b^2 ，

以及，素数 3^(2n)+2^(2n+1)= 40k+17=a^2+b^2 或 40k+33=a^2+b^2 .

Treenewbee

一个七边形数 m*(5m -3)/2 表为两个不同的三角数之和的通解公式。

\[m>1\]

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-3-3 19:05
请 Treenewbee 判断，

10 是素数 763040848953891663257299797617 的原根，

10 是素数 763040848953891663257299797617 的原根，

10 是素数
16670496835796178077278844364441251400631901282986103788741294845546711525076107880537224705954641389711217  的原根

蔡家雄

连续素数原根猜想

大于10的两个连续素数有一个相同的原根g .

三个连续素数原根猜想

大于30的三个连续素数有一个相同的原根g .