可列集的幂集是可列集

珠穆亚纳

    非常值得深入的思考和探索，甚至应该先审慎的探讨一下关于集合可列与不可列的问题和可列的定义。
    赵录先生的思考是很有价值的，而且关于此论题，已有许多深刻的思考者在探索，只要认真深入的探索，科学基础理论的迷雾才有可能得到清理，现有科学体系的基础需要重新夯实，这是毋庸质疑的。

万戈

下面引用由zhaolu48在 2005/11/22 01:49am 发表的内容：
一一映射，即近世代数中的双射，对于两个无限集是否存在一一映射，如何证明这种一一映射，无论是《近世代数》，还是《实数论》都没给出经典的办法，即怎样才算证明了两个无限集的一一映射，没有给出一个标准。
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    本来不想多说什么了，还是忍不住就说几句吧。。。
    谁说没有办法证明两个无限集是否存在一一映射了？事实上，如果要说明存在一一映射，那标准的方法就是构造出一个一一映射来；如果要说明不存在一一映射，那通常的方法是用反证法。
    一一映射f: A--B必须满足三个条件：
    1 A中的每个元a都必须在B中有唯一的“象b”；
    2 B中的每个元b都有唯一的“原象”
请注意，可列集的无限子集是幂集的“元”，请问它们在你的映射里的“象”是什么？

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2005/11/23 09:42am 第 1 次编辑]

>　一一映射f: A--B必须满足三个条件：
>   1 A中的每个元a都必须在B中有唯一的“象b”；
>   2 B中的每个元b都有唯一的“原象”
　　万戈先生：
　　怎么连两三个数都数不过来呀，“须满足三个条件”却给出两个。
　　“一一映射”说明已经是映射，就是说要回答什么样的映射才是一一映射。可先生给出的第一个条件，是这种对应是否为映射的条件，如果不满足你的条件“1”，这样的对应根本就不是映射。即条件“1”回答的是“是不是”映射的问题，而不是“属于是什么映射”的问题。竟不知先生的逻辑是这样的不勘。
　　什么是一一映射。还是用《近世代数》书上的定义吧：
　　对于映射f：A→B，x→y=f(x)
　　1、对任意的x1,x2∈A,如果x1≠x2有f(x1)≠f(x2) (单射)
　　2、对任意的y∈B,存在x∈A,使f(x)=y. (满射)
　　用语言叙述就是：
　　1、A中不同的元素，在B中有不同的元素与之对应；
　　2、B中的每一个元素在A中都有原象。
　　这是一一映射的定义，一一映射也称双射。
　　先生的条件“2”：
　　2 B中的每个元b都有唯一的“原象”
　　只这一个条件就基本上可以了，但为什么“书”不采用这样简单的定义呢？因为这个条件不能单独成立。并且条件本身有含糊的地方，
　　比如A={a(1),a(2)},B={b(1),b(2),b(3),b(4)}，对于对应：
　　b(1),b(2)的原象都是a(1)，b(3),b(4)的原象都是a(2)，这也满足您的条件“2”，即B中的每个元b都有唯一的“原象”。但这种对应不是映射，因此必须同时有您的条件“1”，面条件“1”回答的是“是不是映射”，而不是“是什么样的映射”，因此把先生的两个条件放在一起作为一一映射的定义就有点不伦不类了。
　　先生的“ 一一映射f: A--B必须满足三个条件”，这只能说明这三个条件(不知第三条是什么)是必要条件，是不是充分条件，从“必须满足”四个字还看不出来。
　　从先生这一段话的叙述中看，无论您的知识程度，还是逻辑能力都在一般之下。因此先生还是要好好巩固一下您的知识，认真训练一下自己的逻辑能力，这样在质疑别人的问题时，才会有说服力。
　　在您的知识还没巩固好，逻辑能力还没训练到较强的程度，就不要再摆出一种不平等的方式质疑别人了。
　　即使是是非常博学，逻辑能力也很强，也不要以凌人的态度去质疑别人。圣人也有犯错误的时候，那么以凌人的态度质疑或教训别人，一但质疑或教训错了，会严重损害自己形象的。

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2005/11/23 11:29am 第 1 次编辑] >谁说没有办法证明两个无限集是否存在一一映射了？事实上，如果要说明存在一一映 >射，那标准的方法就是构造出一个一一映射来；如果要说明不存在一一映射，那通常 >的方法是用反证法。 　　“谁说没有办法证明两个无限集是否存在一一映射了？” 　　万先生，我并没有说“没有办法证明两个无限集是否存在一一映射”。我的意思只是说把一一映射的概念直接用在无限集之间上，不加必要有解释(事实上就是增加定义的内涵)，会产生误解，或对定义有不同的理解。 　　“那标准的方法就是构造出一个一一映射来”。构造出的映射如何检验或者证明它是一一映射，那么只能在有限范围内去证明或验证，怎样在无限范围内证明或验证，给出方法了吗？哪本权威性的著作，有在无限范围内作出证明的？没有。都是证明对任意自然数n成立，就推广为在无限范围内成立。我认为这是唯一的办法：用有限去推论无限。 　　既然权威们，认为有限与无限不一样，那么第一个不一样，就应该是： 　　1、两个有限集存在一一映射，这两个集合的元素个数必须相等。 　　2、对两个无限集存在一一映射，讨论这两个集合元素个数是否相等是没有意义的。即使是必须要涉及两集合元素的“个数”时，存在一一映射的两个无限集合的元素“个数”可以不等。 　　既然有限集与无限集不一样，为什么在存在一一映射的条件，非要“认为”这两个无限集的元素个数必须相等呢？ 　　因为那个相等也是“认为”的，而在“认为相等”以后出现了许多不可调和的矛盾。如果改为“认为可以不等”，这些矛盾就都可以解决了。唯一的问题就是康托给出的“势”的概念就没有存在的必要了。 　　这个“势”的概念本身的含义就很不明确。它定义有限集的势就是这个集合元素的个数，“认为”存在一一映射的两个无限集的“势”相同。 　　有的书，为了方便，把可列(即可数)集的势用a表示，连续集的“势”用c表示，并且“证明”了n

万戈

    真不知道你在想什么？我问的是：在你定义的映射里，那些无限子集的“象”是什么？
    请不要东扯西拉地说一大堆，你只要简单回答上面的问题即可。。。
  

zhaolu48

　　与无限子集对应的自然数，也应当是“无限大自然数”。
　　可现在的实数论里还没有“无限大自然数”的概念。
　　令A={a(1),a(2),a(3),…}为可列集，在A的幂集中取一个无限子集：
　　B={b(1),b(2),b(3),…}
　　={{a(1)},{a(1),a(2)},{a(1),a(2),a(3)},…}
　　即b(i)={a(1),a(2),a(3),…,a(i)},i=1,2,3,…,n,…
　　对于映射f：B→N，b(n)→n　(N为自然数集)
　　则f是B到N的一一映射，而A∈B
　　请问万戈先生，A的象是什么？
　　这显然是现在的实数论不能回答的问题，这正是现在实数论的一个不完善的地方。
　　因此，现在的实数论，不只是个别的结论及证明是错误的，而且不完善的地方也太多。这些都是亟待解决的问题。
　　从而也说明了，无限集间的一一映射的定义与有限集的一一映射的定义不能完全相同。
　　万戈先生的这个问题确实是提到了点子上。
　　我回答不出先生的提问，不是我的问题，而是由现在的实数理论不完善造成的。

24601

实变中有明确的证明
任意一个集合,它的所有子集作成的新集合的基数是大于原来的集合的

24601

2、康托用他的对角线法反证出(0,1)区间上的小数全体是不可列的。
　　而这两个“证明”都犯有严重的逻辑错误，并且是比较明显的逻辑错误。
想请教一下你觉得那里有严重的逻辑错误?
康托是无限论大师级人物.
我不是说权威就一定对,但是我自己并没有看出什么明显的逻辑错误?

24601

等势 是一个等价关系
我觉得没有必要对某些抽象的东西去系统化的去理解.

万戈

下面引用由zhaolu48在 2005/11/24 02:24pm 发表的内容：
　　与无限子集对应的自然数，也应当是“无限大自然数”。
　　可现在的实数论里还没有“无限大自然数”的概念。
　　令A={a(1),a(2),a(3),…}为可列集，在A的幂集中取一个无限子集：
　　B={b(1),b(2),b(3),…}
...

    真服了你~~~，怎么冒出来一个“无限大自然数”，呵呵，我不懂这个“无限大自然数”是什么，不跟你多说了，说了也白说。
    最后给你一点忠告：你定义的那个所谓"映射"根本不是什么一一映射，连映射都谈不上。。。所以你的证明是完全错误的。。。