细说哥猜中的“哈代_李特伍德公式”

白新岭

下面是复制大傻的回帖：
白先生的每个帖子下都有链接如下：
g(m)=2*∏(1+Pi/((Pi-1)^m-1))∏(1-1/(Pk-1)^m)*n^(m-1)/(LN(n))^m　，2ㄧm；2ㄧn,n≥3m。
G(m)=2*∏{1-Pi/[(Pi-1)^m+1]}*∏(1+1/(Pk-1)^m)*n^(m-1)/(LN(n))^m，m为奇数；n为奇数,n≥3m。
（Pi≥3,Piㄧ根号n,是素数，且小于根号n；Pk≥3,是素数，且小于根号n）
按照我的理解是推广的哈代_李特伍德公式，即上面一个公式是偶数可以表为2n个素数和的个数，下面一个公式是奇数可以表为2n+1个素数和的个数。我不知道这两个公式书上本来就有还是白先生用类比的方法推导出来的。我发现把2、3分别代入上面两个公式后和哈代_李特伍德公式不符。结果如下：
g(2)=2*∏(1+Pi/((Pi-1)))∏(1-1/(Pk-1)^2)*n/(LN(n))^2　，2ㄧm；2ㄧn。
G(3)=2*∏{1-Pi/[(Pi-1)^2]}*∏(1+1/(Pk-1)^3)*n^2/(LN(n))^3，m为奇数；n为奇数。
（Pi≥3,Piㄧ根号n,是素数，且小于根号n；Pk≥3,是素数，且小于根号n）
按照这种写法哈代_李特伍德公式应该如下：
g(2)=2*∏(1+1/((Pi-2)))∏(1-1/(Pk-1)^2)*n/(LN(n))^2　，2ㄧm；2ㄧn。
G(3)=1/2*∏{1-1/[(Pi-1)^2]}*∏(1+1/(Pk-1)^3)*n^2/(LN(n))^3，m为奇数；n为奇数。
（Pi≥3,Piㄧ根号n,是素数，且小于根号n；Pk≥3,是素数，且小于根号n）
可以明显看出∏(1+Pi/((Pi-1)))不等于∏(1+1/((Pi-2)))
同样也可以明显看出2*∏{1-Pi/[(Pi-1)^2]}不等于1/2*∏{1-1/[(Pi-1)^2]}
即使把前一个连乘积里的分子Pi换成1也不相等。
不知道白先生如何解释这种情况？当然我水平有限，提的意见仅供参考，有不当之处敬请谅解。

白新岭

非常欢迎大傻先生，大傻一直关注我的帖子，而且提出了疑问，从这一点上看，大傻还是非常细心的。你说每个帖子都有一个连接，那是数学中国网站给大家提供的一个：“自我签名”的小程序，在“我的资料中”。以前有的网友有这种签名，我不会使用，主要是没有可签的。现在在熊一兵再次提出哈代-李特伍公式后，就顺藤摸瓜写出这两个式子。
最早我是用下面一个普通公式来求任意元和条件的方程正整数解的组数的：调节系数*（限制范围前符合条件的元素个数）^m/n,m为未知数的个数，n为限制范围.单调节系数=周期值*某类的合成比例，综合调节系数=所有单调节系数的积。这里用到的周期，合成比例，调节系数都是顾名思义。（也是自己的杜撰吧，好像不符合数学专用术语）。
这样，用素数定理代替n前符合条件的元素个数，就顺理成章的出现了哈代-李特伍公式，只是没有修正值无穷大项。
另外用哈代李特伍公式推广的话，还需要一些技巧和变通能力，我无法用哈代-李特伍公式类推出来，偶数元公式和奇数元公式，我是用素数定理代替素数个数后，把普通公式整理，简化出上面两个公式的（即我的签名）。
至于书上有没有，我就不知道了，我这里最深的书是高三的一本微积分，仅此一本，其他书已被我的侄子弄着玩了或是卖掉了。
就我现在看到的网络上，也只有哈代-李特伍偶数元公式，还没有更多元的公式。
至于公式的对错，还需要实际数据核对，不过，我想是不会错的，因为它都是出自一个模版-普通近似值公式，一种理论模型不可能在这儿能用，行得通；而，在那儿，就不能用，行不通；如果真是这样，岂不自相矛盾，模棱两可。
当m=2时，会得到哈代-李特伍公式，只不过没有*（1+无穷大项）而已。三元的也对，只是
有两种表示形式而已，一种以最小调节系数为基础，一种以最大调节系数为基础。
如果真的不对，那是自己在打自己的脸（自己问什么要用一个错误的表达式做为自己的签名呢？）

白新岭

例如，当m=2时，g(m)=2*∏(1+Pi/((Pi-1)^m-1))∏(1-1/(Pk-1)^m)*n^(m-1)/(LN(n))^m　，2ㄧm；2ㄧn,n≥3m。变为g(2)=2*∏(1+Pi/((Pi-1)^2-1))∏(1-1/(Pk-1)^2)*n^(2-1)/(LN(n))^2　，2ㄧ2；2ㄧn,n≥6.→→g(2)=2*∏(1+Pi/(Pi^2-2Pi))∏(1-1/(Pk-1)^2)*n/(LN(n))^2　.→→g(2)=2*∏(1+1/(Pi-2))∏(1-1/(Pk-1)^2)*n/(LN(n))^2　.→→g(2)=2*∏((Pi-1)/(Pi-2))∏(1-1/(Pk-1)^2)*n/(LN(n))^2　,形式完全与熊一兵提供的哈代-李公式一致。
只是，大傻不知怎么简化的，可能是把第一个连乘积的形式Pi/((Pi-1)^m-1)部分中的m-1看成一整体了，算术的四则运算顺序是先括号，后乘方开方，在乘除，最后加减，同一个运算级别自左到右。
三元的就留给读者吧。
需做点说明，这里用最大调节系数，非最小的，Pi仍然是能整除n的，Pk为所有√n前素数（不包括2）。
这两个公式有很好的对称性。（在连乘积的式子中的加减号上）

白新岭

下面是引用大傻的（在我的《最短间隔出现最多素数一定是素数式顺序》
<http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=5697&start=12&show=0&man=
g(m)=2*∏(1+Pi/((Pi-1)^m-1))∏(1-1/(Pk-1)^m)*n^(m-1)/(LN(n))^m　，2ㄧm；2ㄧn,n≥3m
应该是：
g(m)=2*∏{1+Pi/[((Pi-1)^m-1]}∏(1-1/(Pk-1)^m)*n^(m-1)/(LN(n))^m　，2ㄧm；2ㄧn,n≥3m
另外哈代_李特伍德公式三元的系数是1/2并不是2，如何解释？

白新岭

下面引用由大傻8888888在 2009/11/16 10:50am 发表的内容：
g(m)=2*∏(1+Pi/((Pi-1)^m-1))∏(1-1/(Pk-1)^m)*n^(m-1)/(LN(n))^m　，2ㄧm；2ㄧn,n≥3m
应该是：
g(m)=2*∏{1+Pi/}∏(1-1/(Pk-1)^m)*n^(m-1)/(LN(n))^m　，2ㄧm；2ㄧn,n≥3m
另外哈代_李特伍德公式三元的系数是 ...



大傻先生用大中小括号把我的公式变一下表示形式很好，这样可以一目了然。
“三元的公式是1/2，不是2，如何解释”，这个问题我还没有考对，没有做实际研究，如果真是那样，我的公式就全泡汤了。
但是它源于组合数学，即排列组合知识，哪里边有组合数C(T+m-1,m-1),如果“/(m-1)!”中的分母(m-1)!要是存在的话，还需有一项：1/（m-1)!。至于前边的2，是分类周期2，是不能去掉的，在偶数元中，合成奇数的比例为0；在奇数元中，合成偶数元的概率为0；对应的另一种合成比例为1，所以周期2*1=2，这是前边常数值2的来源，所以不论偶数元或奇数元都从素数3开始（没有包括2）。

白新岭

下面是引用大傻的（在我的《最短间隔出现最多素数一定是素数式顺序》
三元的公式即使不管系数并且用大中小括号变一下表示形式，前一个连乘积得出的结果也和哈代_李特伍德公式前一个连乘积不符，如下：
∏{1-Pi/[((Pi-1)^m+1]}=∏{1-Pi/[((Pi-1)^3+1]}=∏{1-Pi/[(Pi^3-3Pi^2+3Pi]}=
∏{1-1/[(Pi^2-3Pi+3]}≠∏{1-1/[(Pi-1)^2]}

白新岭

确实如此，不过这不说明此公式不对，我已经说了，除了2元的不能用两种形式表示外，大于2元的都有两种表示方法（在调节系数上），因为2元的最大合成比例系数是没有极限的，所以不能有，以最大调节系数作为主式。
前后两个连乘积是一种数学原理，两种不同形式，看以问题那一方面做参考（作为基数），那个方面又是被调节的。
在3元数中，能整除的占（Pi^2-3Pi+2）种方法，不能整除的其余各类每类各占（Pi^2-3Pi+3），当以最小合成比例为基础时，即得到你说的哈代前一部分。如果用最大合成比例，则得到我写公式的前一部分。仅是参考对象不同，本质上不变，前后的乘在一起，可以得到一样的结果，除前边的常数2以外。（还有，无穷大项，不知有没有）。
我现在要寻找前边的常数问题（与未知数的个数一定有关）。

白新岭

对条件3，5在4元数，和5元数中的研究，基本上可以得到结论：公式前边的常数为：
1/(m-1)!,即4元数为：1/6；5元数为：1/24；6元数为：1/120.......。
多谢大傻提出来的疑问。
不过条件2参与时会是什么样的，有待进一步的研究和证明。

白新岭

下面是引用大傻的（在我的《最短间隔出现最多素数一定是素数式顺序》
公式前边的常数为：
1/(m-1)!,即4元数为：1/6；5元数为：1/24；6元数为：1/120.......。
上面的式子是怎么得出来的？如果是凑出来的，我也凑凑热闹如下：
公式前边的常数为：
（1/2）^(2m-5),即2元数为：2；3元数为：1/2；4元数为：1/8；5元数为：1/32；6元数为：1/128.......。
另外3元的式子已经在1937年由依·维诺格拉朵夫证明为定理，即：
G(3)=1/2*∏{1-1/[(Pi-1)^2]}*∏(1+1/(Pk-1)^3)*n^2/(LN(n))^3，
（n为奇数，√n≥Pi≥3,Piㄧn,Pi是素数，；，√n≥Pk≥3,Pk也是素数，）
凡是与上面式子不同的3元的式子一定是不对的式子。

白新岭

数学原理是有的，绝不是凑热闹，m个未知数，其和为n,则方程的正整数解为：C（n-1,M-1),这个问题很好理解，把n个物体排成一排，则物体与物体之间有n-1个空隙，从这n-1个空隙之间，放m-1个挡板，自然把n个物体分成m堆有序组合，所以，就有了1/（m-1)!这个常数，此常数绝不是凑热闹，或无中生有。
只是，到现在我还不知道素数2参与时，前边的常数到底还需要何种改变。
今天对2-6元的，在条件2，3，5的作用下，实际解的组数与用调节系数*(符合条件的元素个数)^m/n，理论计算值与统计值的比值是一种线性相关的数据，即比值接近常数：1/（m-1)!.
所以，对大傻提供的3元哈代公式有疑问。不知与实际数据是否相符。
待，进一步的探讨。