[原创] 康托尔的自相矛盾

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/05/03 01:53am 第 1 次编辑]

下面引用由顽石在 2010/05/03 08:05am 发表的内容：
Luyuanhong先生：你创造的“另外二进制对角线法证明”只能算是变相的4进制对角线法证明，符号00,01,10,11，的4个组合，必须看做4个符号。因此，不是真正意义上的二进制，其中只有一半的二进制符号被改变，这样的 ...

顽石至今还不懂反证法。只要找到一个遗漏，[0,1]不可数的证明就完成了。你的附加的游戏高兴玩就玩， 不高兴玩就不玩。已经无关紧要了。不管陆老师用的是什么方法，他找出来的无穷多个二进制数就是不在原排列里。顽石无法否证这点。所以顽石的闹剧就这样落幕了。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/05/03 09:07am 第 2 次编辑]

下面引用由顽石在 2010/05/03 08:05am 发表的内容：
Luyuanhong先生：你创造的“另外二进制对角线法证明”只能算是变相的4进制对角线法证明，符号00,01,10,11，的4个组合，必须看做4个符号。因此，不是真正意义上的二进制，其中只有一半的二进制符号被改变，这样的“新对角线二进制无尽小数”是不是保证不重复？也很难说。即使算是吧，也仍然解决不了这个问题！
康托尔对角线法证明法，必须适用于任何进制方式！假设你的二进制对角线证明作为二进制方式之二，顽石的二进制对角线证明作为二进制方式之一，其它所谓的“二进制方式”还有无穷多个，例如，每10位作为一个符号组合，那就是变相的1024进制对角线法了，其中只有1/10的符号被改变。
但是，不管有多少个变相方法，康托尔对角线法证明，始终都不适用于顽石这个方式，也就已经足够的了！

我举一个具体的例子给你看，假设（0，1）中的实数可以排成一列，将它们从上到下写成下列形式：
a1＝0.0101010101010101……
a2＝0.1010101010101010……
a3＝0.1001001001001001……
a4＝0.1011011011011011……
a5＝0.101101101101101……
a6＝0.1000100010001000……
……
然后，把二进制小数分成两个一节两个一节，按照下列方法构造一个有无穷多位二进制小数的实数：
这个实数的小数的第 1 小节，与数列中 a1 的小数的第 1 个小节不同；
这个实数的小数的第 2 小节，与数列中 a2 的小数的第 2 个小节不同；
这个实数的小数的第 3 小节，与数列中 a3 的小数的第 3 个小节不同；
…………
这个实数的小数的第 n 小节，与数列中 an 的小数的第 n 个小节不同；
…………
例如，我构造出第 1 个实数为：
b1＝0.000001000001…… （每一小节基本上都是 00 ，遇到 an 的第 n 个小节是 00 ，就改为 01 。)
我再构造出第 2 个实数为：
b2＝0.111111110011…… （每一小节基本上都是 11 ，遇到 an 的第 n 个小节是 11 ，就改为 00 。)
我再构造出第 3 个实数为：
b3＝0.110101010101…… （每一小节基本上都是 01 ，遇到 an 的第 n 个小节是 01 ，就改为 11 。)
我再构造出第 4 个实数为：
b4＝0.101110111010…… （每一小节基本上都是 10 ，遇到 an 的第 n 个小节是 10 ，就改为 11 。)
…………
请你看一下，二进制实数 b1,b2,b3,b4 是不是与数列中任何实数 a1,a2,a3,a4,a5,a6,… 都不相同？
请问，你还能坚持说：“在二进制下，只能构造出唯一的一个不在数列中的二进制实数”吗？

zhaolu48

下面引用由luyuanhong在 2010/05/02 08:47pm 发表的内容：
赵录先生没有回答我的问题。我想，赵录先生没有回答，就是完全同意我的下列说法了：
“可以在二进制下，构造出无穷多个不在数列中的实数。”这当然很好，我就不再多说了。

我回答了，我的回答是：
“而您构造的无数个无限小数一定还在2的可数无穷次幂个小数之中。
按康托的观点，这2的可数无穷次幂个小数应该是不能排成一个数列的。”
是否可以排成一个数列，关键就在于2的可数无穷次幂是否是可数无穷了，因此我才提出了
自然数“是否它的位数也可以达到可数无穷呢？”我让你给出明确的结论。
（有事回来再辩）

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/05/03 10:43am 第 2 次编辑]

下面引用由zhaolu48在 2010/05/03 09:58am 发表的内容：
我回答了，我的回答是：
“而您构造的无数个无限小数一定还在2的可数无穷次幂个小数之中。
按康托的观点，这2的可数无穷次幂个小数应该是不能排成一个数列的。”
是否可以排成一个数列，关键就在于2的可数无穷次幂是否是可数无穷了，因此我才提出了
自然数“是否它的位数也可以达到可数无穷呢？”我让你给出明确的结论。
（有事回来再辩）

我前面没有能够理解赵录先生的意思，现在看来，赵录先生回答了我的问题，赵录先生认为：
“不仅可以构造出无穷多个不在数列中的二进制实数，而且，这样构造出的不在数列中二进制数，
数量达到 2 的可数无穷次幂。”
这个说法非常正确！它不仅驳斥了那种“在二进制下只能构造出一个不在数列中的实数”的说法，
而且，还进一步堵住了也许有人想要通过狡辩“推翻”我这种证明的可能。
因为，假如我这种方法构造出来的不在数列中的实数，只有可数无穷多个，有人也许就会狡辩说：
“你只要把这构造出来的可数无穷多个实数，加入到数列中去，实数不就可数了吗？”

而现在，赵录先生正确地指出：构造出来的不在数列中的二进制数，数量达到 2 的可数无穷次幂。
根据现代集合论的理论，我们都知道，2 的可数无穷次幂，是一个不可数的无穷大。
所以，我这种方法构造出来的不在数列中的实数，数量不是可数无穷多，而是达到不可数无穷多个，
这样，就进一步堵住了也许有人想要通过狡辩“推翻”我这种证明的可能。

elimqiu

康托的证明并没有zhaolu48所说的错误。这个证明也不依赖于自然数集的幂集的不可数性。这个证明本身就是在确立[0,1]的不可数。
不过[0,1]的确与 P(N)同势。可以在[0,1]的数的二进制表示和N的无穷子集的特征函数之间建立一一对应...

luyuanhong

楼上 elimqiu 说得很对，“对角线法”的证明是反证法，在反证法中，其实只要找到一个反例，就足够了。
所以，“对角线法”的证明成立与否，并不依赖于自然数集的幂集的不可数性。

zhaolu48

下面引用由luyuanhong在 2010/05/03 10:29am 发表的内容：
我前面没有能够理解赵录先生的意思，现在看来，赵录先生回答了我的问题，赵录先生认为：
“不仅可以构造出无穷多个不在数列中的二进制实数，而且，这样构造出的不在数列中二进制数，
数量达到 2 的可数无穷次幂　...

陆老师，好好看看我的原话是怎么说的：
“而您构造的无数个无限小数一定还在2的可数无穷次幂个小数之中。”
想不到陆老师也会使用这种方法来辩论。可真影响您在我心目中的形象啊！

zhaolu48

下面引用由luyuanhong在 2010/05/02 08:47pm 发表的内容：
一方面，应该说：自然数的位数，确实是没有上界的，我们不可能给出一个具体的数字 n ，
说是自然数最多只有 n 位，再多一位就不是自然数了。
另一方面，又必须指出：在自然数集合 N 中，并不包括位数达到可数无穷大的正整数。
在自然数集 N 中的任何一个正整数，它的位数，都是一个非无穷大正整数，而不是无穷大。

“另一方面，又必须指出：在自然数集合 N 中，并不包括位数达到可数无穷大的正整数。
在自然数集 N 中的任何一个正整数，它的位数，都是一个非无穷大正整数，而不是无穷大。”
这“另一方面”的根据是什么呢？
用  elimqiu   的话来说它符合自然数公理吗？

顽石

[这个贴子最后由顽石在 2010/05/03 06:32pm 第 1 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2010/05/03 09:00am 发表的内容：
我举一个具体的例子给你看，假设（0，1）中的实数可以排成一列，将它们从上到下写成下列形式：
a1＝0.0101010101010101……
a2＝0.1010101010101010……
a3＝0.1001001001001001……
a4＝0.10110110 ...

令人尊敬的陆教授，谢谢！能再次与我耐心讨论这个问题，我受宠若惊！
康托尔对角线法的所谓证明，毛病多多：
（1）将所有的实数都变成无尽小数，例如，将0.125变成0.12499……，这是完全相同的两个小数吗？错！前者是有限小数，后者是所谓的“无尽小数”，两者根本不同！目前大多数人都说是相同的，禁不起质疑和时间考验，后人一定会纠正这个错误的。
（2）这些无尽小数必定是无序乱排列，如果按照二进制小数位数从1位开始的这种有序排列，对角线法又失效！这个对角线小数永远是：0.1100000……，每位皆改变符号后只能变成0.0011111……，它绝不会与已经排列的位数相同的0.0011111……这个无尽小数相交！“对角线”追不上“横线”，这是因为小数数量增速，远大于位数的增速！两个小数必定是重复的！
（3）顽石的二进制对角线法，作为一个反例，已经证明只能产生唯一的新对角线小数，无法视而不见！同样的证明能产生矛盾的结果，例如陆教授的二进制对角线证明方法能产生无穷多个新无尽小数，与顽石的根本不同。这就足以说明此“证明方法”的荒唐！

luyuanhong

下面引用由zhaolu48在 2010/05/03 03:19pm 发表的内容：
陆老师，好好看看我的原话是怎么说的：
“而您构造的无数个无限小数一定还在2的可数无穷次幂个小数之中。”
想不到陆老师也会使用这种方法来辩论。可真影响您在我心目中的形象啊！

如果你认为我误解了你的意思，那么为了弄清你的意思到底是什么，我现在再问一次：
你认为“可以在二进制下，构造出无穷多个不在数列中的实数”这句话，是对的还是错的？
请赵录先生用一个字来正面回答：“对”还是“错”？希望不要用其他的话来回避，糊弄。