三等分任意角

bua1s2d3

bua1s2d3 发表于 2025-10-4 07:01
2025年上海书展的书架上有一本书， 书名是《伽罗瓦——智性与激情(数学家传记丛书)》  上海科学技术出版 ...

在李尚志的“李尚志：关于百家争鸣的对话”这一网络文章中，关于”三等分任意角“的讨论，李尚志是这样教训刘培杰数学工作室的编辑的：

【哈工大有个游宏教授是懂行的】【你还是可以请教他】

【如果觉得他们的权威性不够，就去请教中科院或北京大学的专家】

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现在看一看哈工大的游宏教授在关于”三等分任意角“的讨论中有什么说法。

有一本书的书名是《代数学》    科学出版社出版发行   作者是游宏 和刘文德  

              （P276）

这里讲述Galois理论章节中的尺规作图部分。

例 7.6.3（三等分角）

【cos α = cos(3θ) = 4( cosθ )^3-3( cosθ)】

【令cos α =a/2  ，cos θ=x/2 】

【即    x^3-3x-a=0】

【取  α =π/3. 那么a=1.】

【但 x^3-3x-1】

【（即x）不能用尺规作出】

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【取  α =π/3. 那么a=1.】---------也就是说，cos （π/3）=cos60° =1/2  。

观察cos60° =1/2 这个等式。可以看到， 数cos60°  依照1/2 这一数学结构的身份参与了方程x^3-3x-1=0的讨论。

那么，方程x^3-3x-1=0中的根x是不是也应该被展示相应的数学结构，以供读者识别根x是否可能用尺规作出？

很遗憾，游宏作者和刘文德作者没有告诉读者。所以根x是一个神秘的数。

游宏作者和刘文德作者用一个神秘的数（根x）的身份判断：“【（即x）不能用尺规作出】”。

  这些内容希望李尚志能够满意。

bua1s2d3

有李尚志的数学导师-----------曾肯成。

一个介绍是：【例如，讲《抽象代数》时，他（ 曾肯成）从三等分角、五次方程求根公式这样有名而又有趣的故事开始； 】

有范德瓦尔登 著作的《代数学Ⅰ》一书，丁石孙、曾肯成和郝鈵新翻译，万哲先校注  科学出版社出版。

（P185-----P187）

8.9 圆规与直尺作图

【逆定理   如果线段x 可以由已知线段a，b，.......用圆规与直尺作出，那么x 就可以由a，b，.......经有理运算与平方根表示。】

【利用关系   cos(3φ ) = 4( cosφ )^3-3( cosφ )】

【化成解方程   4x^3-3x=α          {α=cos(3φ )}】

【在什么时候元素x可以由已知元素a，b，.......通过有理运算与平方根表示？】

【我们已经看到，三等分角的问题化成方程   4x^3-3x-α=0    这里α是不定元。】

【三等分角不能用圆规与直尺来作】

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比较{α=cos(3φ )}与（cosφ=x）。

显然{α=cos(3φ )}中的α作为“已知线段a，b，.......”这样的元素参与了“方程 4x^3-3x-α=0  ”的讨论。

作为“方程 4x^3-3x-α=0  ”求解的结果“根x”应该怎么样去体现“在什么时候元素x可以由已知元素a，b，.......通过有理运算与平方根表示”？或者是不可能？

在“方程 4x^3-3x-α=0  ”中，α是元素，根x也是元素。根x长什么样子，讨论中没有给出。所以根x是一个神秘的数。

也就是说，“三等分角不能用圆规与直尺来作”这个结论是用一个神秘的数“根x”给出的。

这样的“故事”真的是很有趣！

bua1s2d3

下面是数学课中，数学老师应该不会提到的内容。

因为数学老师可能说的是：“三等分角问题已经解决了，这已经是成为‘定论’了的数学内容。”


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有：

【三倍角公式    cos(3θ) = 4( cosθ )^3-3( cosθ)】

三倍角公式与三等分角问题的讨论有关联。

三等分角的讨论把数cosθ分成规矩数（作图可能数）和“不是规矩数”（不是作图可能数）两类。（-1≤ cosθ≤1）

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也有：

【二倍角公式          cos(2θ) = 2( cosθ )^2-1】

二倍角公式与二等分角问题的讨论也应该有关联。

在二等分角的讨论中，因为几何证明了可以尺规二等分一任意角。（这是中学生都有能力操作证明的）

二等分角的讨论不可能把数cosθ分成规矩数（作图可能数）和“不是规矩数”（不是作图可能数）两类。

并且，“ cos(2θ) = 2( cosθ )^2-1”中的cosθ就是规矩数（作图可能数）。（-1≤ cosθ≤1）

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需要讨论的是：

cosθ应该就是规矩数（作图可能数）呢？

cosθ还是应该分成规矩数（作图可能数）和“不是规矩数”（不是作图可能数）两类呢？

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所以，三等分角的讨论还没有可以结束的可能。并且，三等分角的讨论还会冲击相应的数学基础。

bua1s2d3

有《数学之美》一书，作者是邵勇  北京大学出版社出版   

（P279）

菲利克斯·克莱因（1849——1925）在总结前人研究成果的基础上，于1895年的一篇论文中，给出了几何三大作图问题不可能用尺规来实现的简明证法，从而使这三个延续了两千多年的问题尘埃落定。于是后人便把这三个问题称为三大尺规作图不能问题，即加了“不能”两字。


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有《初等几何的著名问题》一书，作者是Felix  Kiein  译者是沈一兵  高等教育出版社出版   

【前言】

【由现代数学发展起来的更精确定义和更严格证明方法，在中学教师看来，既深奥难懂又极其抽象，因而只对少数专家来说有意义。为了应对这种倾向，..............在一系列讲座中，向比以往更多的听众讲解了现代科学如何看待初等几何作图的可能性。】

【F·KLEIN】【Göttingen      1895年 复活节】

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（P11）【倍立方问题】

（P11）【该问题的方程显然是   x^3=2】

（P11）【在x^3=2的情况，我们涉及的是数量，考虑的问题是³√2能否取有理数值】

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（P12）【方程   x^3=cosΦ+isinΦ】

的根是  x₁=cos（Φ/3）+isin（Φ/3）

（P13）   x₂ =cos（“Φ+2π”/3）+isin（“Φ+2π”/3）

  （P13） x₃=cos（“Φ+4π”/3）+isin（“Φ+4π”/3）

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（P13）【方程 x^3=cosΦ+isinΦ】是三等分角问题的解析表达式。

（P13）【根x₁，x₂，x₃被作了循环置换】

（P13） 【角的三等分不可能仅用直尺和圆规来作出。】

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作为比较。

在倍立方问题上，菲利克斯·克莱因告诉了人们：

方程 x^3=2中，x^3有2这样的数学结构。并且在“考虑的问题是³√2能否取有理数值”中，以³√2这样的数学结构参与了尺规作图是否可能的讨论。


在三等分角问题的讨论中，菲利克斯·克莱因告诉人们的是：

方程 x^3=cosΦ+isinΦ和“根x₁，x₂，x₃被作了循环置换”。

方程 x^3=cosΦ+isinΦ中的根  x₁=cos（Φ/3）+isin（Φ/3）以什么样的数学结构去参与尺规作图是否可能的讨论，菲利克斯·克莱因没有告诉人们。

所以，根  x₁=cos（Φ/3）+isin（Φ/3）是一个神秘的数。

菲利克斯·克莱因以一个神秘的数 x₁=cos（Φ/3）+isin（Φ/3）为依据，“更严格证明”了“角的三等分不可能仅用直尺和圆规来作出”。


从1895年到如今，一群人，以神秘的数为依据，“更严格证明”了“角的三等分不可能仅用直尺和圆规来作出”。



【（Göttingen  ）为“哥廷根”，（³√2）是指立方根号2，（x₁）是指X下标1，（x₂）是指X下标2，（x₃）是指X下标3。因无法修改，请原谅！】