请春风晚霞计算一个极限

elim

从我的\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}na_n=\lim_{n\to\infty}(2+a_n/3+O(a_n^2))\) 可以得出 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}na_n=\lim_{n\to\infty}(2+\sqrt{a_n}).\)  按你的jzkyllcjl 的逻辑，\(n(na_n-2)=n\sqrt{a_n}\) 就趋于无穷．所以你还是在玩狗屎堆逻辑．你不能从我的 \(\tau_n, \;\ln n\) 同阶的推导找到错误，幻想有算法得出\(n(na_n-2)\) 有界，太低估标准分析了．

jzkyllcjl

elim 网友。第一，你的可以推出的极限无根据，我不会从你无根据的论述出发，计算推出A（n）分子极限。
第二，你使用a(n+1)= a(n)-1/2 a^2(n)+1/3 a^3(n)+O(a^3(n)), 后，把n作为分子X(n)，1/a(n)作为分母Y(n)，应用施篤兹（O.Stolz）定理中的公式得到计算极限之前：你将na(n) )替换为(2+1/3a(n）+O((a(n))^2) 后求极限的做法， 所以将这个替换代入A(n)的分子的后计算，A(n)的分子的极限lim n（na(n)-2）=lim n（1/3a(n）+O((a(n))^2)=2/3.也是正确的。 于是得到A(n)的极限为0，不是你算的2/3。

elim

吃狗屎的jzkyllcjl 没算对过极限，这个不是新闻．

jzkyllcjl

elim 网友： 施笃兹公式使用之前，需要证明τ（n）的极限。根据你算出的极限lim（na(n)-2）=lim （1/3a(n）+O((a(n))^2)=0.。 可知τ（n）的极限是一个0/0型的极限计算，于是极限limτ（n）=lim （1/3a(n）+O((a(n))^2)）/a(n）=1/3,  所以 根据商的极限运算法则，得到
  limτ（n）/ln n=0  而不是你算的 1/3.。你的计算违背了菲赫金哥尔茨叙述的施笃兹定理中公式的使用条件，你算错了这个极限值。

elim

我用定理\(\star\)证明了\(\tau_n\)趋于无穷. 接着不用Stolz公式也证明了A(n)趋于2/3. 以及全能近似的破产．

jzkyllcjl

elim 发表于 2021-2-14 14:59
我用定理\(\star\)证明了\(\tau_n\)趋于无穷. 接着不用Stolz公式也证明了A(n)趋于2/3. 以及全能近似的破产 ...

elim 网友：你的τ（n）的极限的计算是错误的。事实上，根据你算出的极限lim（na(n)-2）=lim （1/3a(n）+O((a(n))^2)=0.。 可知τ（n）的极限是一个0/0型的极限计算，于是极限limτ（n）=lim （1/3a(n）+O((a(n))^2)）/a(n）=1/3,  所以 根据商的极限运算法则，得到
  limτ（n）/ln n=0  而不是你算的 1/3.。你的计算违背了菲赫金哥尔茨叙述的施笃兹定理中公式的使用条件，你算错了这个极限值。

elim

jzkyllcjl 的 limτ（n）=lim （1/3a(n）+O((a(n))^2)）/a(n）=1/3 只有吃狗屎的根据。这个大家早就知道了

春风晚霞

        \(\Large{小议施篤兹定理的应用}\)
一、施笃兹定理
1、定理：
        若数列｛\(x_n\)｝、｛\(y_n\)｝满足下列条件：
1）{\(y_n\)} 严格单调递增 ；2）\(\lim\limits_{n\to\infty}y_n\)=∞；3）\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\({x_{n+1}-x_n\over y_{n+1}-y_n}\)=L(其中L可以为有限实数或\(\pm\)∞)
则 \(\lim\limits_{n\to\infty}\)\({x_n\over y_n}\)=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(x_{n+1}-x_n\over y_{n+1}-y_n\)。
2、应用范围
        O'Stolz定理是处理数列不定式极限的有力工具，一般用于*/∞型的极限(即分母趋于正无穷大的分式极限，\(\color{red}{分子趋不趋于无穷大无所谓}\))。
二、春风晚霞与elim先生计算一致性
1、预备知识
        首先我们根据数列｛\(a_n\)｝的通项公式\(a_{n+1}\)=ln（1+\(a_n\)）推导两个必要的基础公式，以备后用。
        ∵对任意x∈（0，∞）都有1+x>1;∴\(ln(1+x)\over x\)>0；又 ∵\(\lim\limits_{x\to\infty}\)\(ln(1+x)\over x\)=0；\(\lim\limits_{x\to 0^+}\)\(ln(1+x)\over x\)=1（罗必达法则）；∴   0<\(ln(1+x)\over x\)<1   ①在①式中令x=\(a_n\)；则ln(1+x)=\(a_{n+1}\)；所以0<\(a_{n+1}\over a_n\)<1；\(a_{n+1}\)<\(a_n)\)；所以数列｛\(a_n\)｝单调递减，且\(\lim\limits_{x\to\infty }a_n \)=0；所以若令\(c_n\)=n；\(d_n\)=\(1\over a_n\)；则1）数列｛\(d_n\)｝单调递增；2）\(\lim\limits_{x\to ∞}d_n=∞；同时na_n\)=\(c_n\over d_n\)。由于\(\lim\limits_{x\to\infty}\)\(c_{n+1}-c_n\over d_{n+1}-d_n\)=\(\lim\limits_{x\to\infty}\)\(a_{n+1}a_n\over a_n-a_{n+1}\)=\(\lim\limits_{x\to\infty}\)\(a_n^2\over a_n^2/2\)=2；所以\(\lim\limits_{x\to\infty}\)\(na_n\)=2；因此我们得到如下预备知识①\(\color{red}{\lim\limits_{x\to\infty}na_n=2}\)，②\(\color{red}{\lim\limits_{x\to\infty}a_n=0}\)。
2、解题思路及技巧
         对于已知\(a_1=ln(1+1\over 2)\)；\(a_{n+1}=ln(1+a_n)\)；求\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(n(na_n-2)\over lnn\)（0<\(a_{n+1}=ln(1+a_n\)））一题解题思路及技巧如下：在\(n(na_n-2)\over lnn\)中，令\(x_n\)=\(n(na_n-2)\);\(y_n\)=ln n。由对数函数性质不难验证：1）、{\(y_n\)} 严格单调递增 ；2）、\(\lim\limits_{n\to\infty}y_n\)=∞；3)：因为\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(x_{n+1}-x_n\over y_{n+1}-y_n\)=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\((n+1)[(n+1)a_{n+1}-2]-n(na_n-2)\over ln(n+1)-lnn\)【等量代换】=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\((n+1)a_{n+1}[(n+1)-2/a_{n+1}-na_n(n-2/a_n)\over ln(1+1/n)\)=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(2[(n+1)-2/a_{n+1}-n+2/a_n]\over ln(1+1/n)\)【\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(na_n\)=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\((n+1)a_{n+1}\)=2】=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(2[1-2/a_{n+1}+2/a_n)]\over ln(1+1/n)\)【合并同类项】=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(2(a_{n+1}a_n+2a_{n+1}-2a_n)\over a_na_{n+1}ln(1+1/n)\)【化繁分式为普通分式】=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(2[a_n^2-a_n^3/2+2a_n-a_n^2+2a_n^3/3-2a_n]\over a_{n+1}a_nln(1+1/n)\)=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(2[2a_n^3/3-a_n^3/2]\over a_na_{n+1}ln(1+1/n)\)=\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(a_n^3/3\over a_na_{n+1}ln(1+1/n)\)【把\(a_{n+1}\)幂级数展开并扬弃O\((a_n)^4)\)并合并同类项】=\(1\over 3\)\(\times\)\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(a_n\over ln(1+1/n)\)【当n趋向于无穷时\(a_{n+}a_n=a_n^2\)，并约去\(a_n^2\)】=\(1\over 3\)\(\times\)\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(na_n\over nln(1+1/n)\)【分子分母同乘以n，分式的值不变】=\(1\over 3\)\(\times\)\(\lim\limits_{n\to\infty}\)\(2\over ln(1+1/n)^n\)【当n趋向无穷时\(na_n\)=2】=\(2\over 3\)。
三、jzkyllcjl先生为什么会计算岀错
1、jzkyllcjl先生无中生有，作茧自缚。
        应用施篤兹定理求解*/∞型极限问题，根本无需预判*是否趋向无穷。毕竟施篤兹定理不是菲赫金哥尔茨定理，因此菲赫金哥尔茨关于介绍施篤兹定理必要的论述，不能作为应用施篤兹定理的必须步骤（参见陈兆斗《施篤兹定理应用举例》视屏讲座）。
2、jzkyllcjl先生断章取义，唯我所用
        jzkyllcjl先生无论何时，引用谁的文章，总是掐头去尾，断章取义。就本例而言，jzkyllcjl先生只对分子进行施篤兹变换，得出分子的极限为\(1\over 3\)【未必正确？】。再把分子的极限值代入原分式，求得原分式的极限值为0；其实这种做法不是有意而为，就是没把罗必达法则、施篤兹定理真正读懂。须知用罗必达法则和施篤兹定理解题时，分子分母必须同步实施相同的变换，否则必然岀错。
3、jzkyllcjl先生不讲数理，拒谏饰非
        jzkyllcjl先生批评春风晚霞和elim先生的一句口头禅是：“春风晚霞和elim都是形式主义者”，因此我们有必要强调数学必须坚持数理逻辑。“数理逻辑，是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科，属形式逻辑形式上符号化、数学化的逻辑，本质上仍属于知性逻辑的范畴。数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。”（参见《百度百科》）由于jzkyllcjl先生不讲数理，拒谏饰非。所以，在对例的讨论中从未认识自己的谬误之处。当然，靠他老先生自查也得不出正确的结果。

jzkyllcjl

春风晚霞网友：第一，我请你计算的那个分子 极限，你仍然没有算。如果分子的极限有限，根据商的极限运算法则，A(n) 极限就是0. 所以你没有解决，我对他的计算疑问。
第二，你 费心费力地 按照elim 的思路 验证了他的计算结果。 我看过之后，提出如下的意见，请你指教。（1） ln(1+x) 的级数展开式的收敛区间是（-1，}}，不是（0,∞）;  (2) a(n+1）不等于a(n），你写的a(n+1）a(n）=(a(n）)^2 是错误的，所以你的na(n)的极限为2的计算过程有问题。（3）根据elim 算出的，lim（na(n)-2）=lim（1/3a(n）+O((a(n))^2)=0，（na(n)-2）是无穷小量，它前边乘n 的计算是 无穷乘0的不定式，根据不定式的计算需要使用无穷来源的有限与0来源的非零数乘积的极限计算方法，我得到，A(n) 分子的极限为2/3 为什么不对.。（4）对ZFC形式语言公理化 的数理逻辑中的无穷公理，我提出它违背了“无穷集合不是完成了的整体的实无穷”。为什么不可以。（5），实践是检验真理的唯一标准，数理逻辑下的实数理论存在着三分律反例与连续统假设的 大难题，你为什么还要坚持听它。

elim

分子的极限我不用 Stolz 公式严格论证了 \(n(na_n-2)\) 与 \(\ln n\) 是同阶无穷大。
jzkyllcjl 的错误是明显的，低级的：
\(\lim(na_n-2)=\lim (a_n/3)\), 推不出\(\lim n(na_n-2)=\lim\small\dfrac{na_n}{3}\)
前一式因 \((na_n-2),\; (a_n/3)\) 均趋于0而成立，后一式成立要求它们是同阶小量.
jzkyllcjl 花了三年没证明它们同阶。事实上它们分别与\(\ln n/n,\;1/n\) 同阶, 因而两
者不同阶.
jzkyllcjl 不是可以教育好的。吃上了狗屎，没治了。