再谈连乘积（1-1/p）的来历

lusishun

网友可以结合简单倍数含量筛法的缺陷一贴看看

天山草@

以 210 为例子，看看网上流传的连乘积公式为什么误差那么大。



具体程序及其运行结果可看下面链接的帖子：

http://www.mathchina.com/bbs/for ... page%3D1&page=2

上面计算的系数多算了，应该是：

大傻8888888

天山草@ 发表于 2021-6-16 19:56
以 210 为例子，看看网上流传的连乘积公式为什么误差那么大。

    210开平方约等于14.5，所以用连乘积只需要210*1/2*2/3*4/5*6/7*10/11*12/13≈40 即可，同时加上2、3、5、7、11、13这6个素数，减去1，应该是45。误差不大。
    连乘积∏(1-1/p)在数论问题的解决上是绕不开的一个话题。大家都知道欧拉函数，设φ（n）表示不超过n而又与n互素的自然数个数，φ（n）就是所谓欧拉函数，根据欧拉函数φ（n）=n ∏(1-1/p)其中p|n可以求出部分素数，如30 ，根据欧拉函数可以得出φ（30）=8,就是1、7、11、13、17、19、23、29，因为∏(1-1/p)去除了2、3、5，所以30 以内的素数要加上3 ，同时还要减去1就得出30 以内的素数8+3-1=10。但是根据欧拉函数可以计算n以内素数的个数的准确值的例子很少，只可以对n以内素数的个数有一个粗略的估计。要想求n以内|的个数的准确值需要用到“逐步淘汰原则”，举个例子n=31，,31以内素数的个数等于31-|31/2|-|31/3|-|31/5|+|31/6|+|31/10|+|31/15|-|31/30|=9当然和上面欧拉函数一样同时要加上3 ，还要再减去1就得出31以内素数的个数是11。这个方法可以求出任何n以内素数的个数，但是当n越来越大时，计算也就越来越复杂。更不用说当n趋近无限大时根本无法计算。如果把31-|31/2|-|31/3|-|31/5|+|31/6|+|31/10|+|31/15|-|31/30|=9的取整符号换成括号就成了和欧拉函数相似的连乘积31∏(1-1/p)，当然根据这个公式计算n以内素数的个数，即使加上√n以内素数的个数同时再减去1也不能得出准确值。我计算过按这个方法25－168之间的素数个数误差或大或小不超过2，其中30、45、70、105、154误差为零，大于168经过计算182、273的误差也为零，大于273的n误差就不会为零了。经过计算n ∏(1-1/p)随着n越来越大，超过一定值后即使不加上√n以内素数的个数同时也再减去1也比n以内素数的个数要大，并且越来越大，不过n ∏(1-1/p)和n以内素数的个数的比值趋近一个常量。这是因为根据梅滕斯定理当n趋近无限大时n ∏(1-1/p)→(e^-γ)n/ln（n）=0.56145948......n/ln（n）其中n≧p。如果n≧√p，则n趋近无限大时n ∏(1-1/p)→2(e^-γ)n/ln（n）=1.12918967......n/ln（n），根据素数定理n以内素数是n/ln（n），所以用n ∏(1-1/p)表示n趋近无限大时n以内素数的个数为n ∏(1-1/p)/2(e^-γ)。

yangchuanju

lusishun 发表于 2021-6-14 20:33
接续：
和=210的式子共有105个式子，
1，     2，     3，    4，…………………105，（一）

数    字        105        52.5        35        28               
筛    子        用2筛        用3筛        用5筛        用7筛               
理论删除        52.5        17.5        7        4               
理论剩余        52.5        35        28        24               
实际删除        52        18        7        4               
删除素数        2        3        5        7               
105以内共27个素数，用2-7筛后剩余24，去掉不是素数的1，加上已删除的4个素数，24-1+4=27，
前2筛的误差互相抵消，没有误差积累啊！                                               
                                               
数    字        210        105        70        56        48        43.636
筛    子        用2筛        用3筛        用5筛        用7筛        用11筛        用13筛
理论删除        105        35        14        8        4.364        3.357
理论剩余        105        70        56        48        43.636        40.280
实际删除        105        35        14        8        5        2
删除素数        2        3        5        7        11        13
210以内共46个素数，用2-13筛后剩余41（向上进位），去掉不是素数的1，加上已删除的6个素数，41-1+6=46，
用11筛时筛去11,121,143,187,209，共5个；用13筛时筛去13,169，共2个；
前4筛没有误差，后2筛虽有一定误差，但是部分互相抵消的，不会造成过大的积累误差啊！                                               

yangchuanju

数    字        163        81.5        54.333        43.467        37.257
筛    子        用2筛        用3筛        用5筛        用7筛        用11筛
理论删除        81.5        27.167         10.867         6.210         3.387
理论剩余        81.5        54.333         43.467         37.257         33.870
实际删除        81        27        11        7        3
删除素数        2        3        5        7        11
163以内共38个素数，用2-11筛后剩余34（向上进位），去掉不是素数的1，加上已删除的5个素数，34-1+5=38，               
各筛虽都有一定误差，但是部分互相抵消的，不会造成过大的积累误差！
如果单单计算素数的数量，根本不用什么加强筛！

lusishun

要点，
1，大家不要精确，哥猜是一个很弱的命题，
2，抽象是很重要的方法。
3，目标不同，道就不同。
4，我的目标是证明哥猜。孪生素数猜想。

lusishun

1，连乘积（1-1/p）·n标准形式，不是其他的变形。
2，我认为，最早还应是欧拉发现，理由是，有欧拉函数式，这里有定义域，那么，p不是n的约数时，他是不是也思考过。但他认为没有价值，所有只提出p是n的约数的公式，即欧拉函数式（有定义域）
3，后人，感觉这公式计算的结果还怪理想，就爱不释手了，玩起来，没有够了。（欣赏公式的优势，忽略了缺陷）
4，我是在定义了倍数含量的概念，发现重叠规律，进行推导，自然而得，但不会因为有了倍数含量的概念，公式就没有缺陷了，其实还是一样的公式，但使我可以大胆加强了

yangchuanju

大傻8888888 发表于 2021-6-16 21:21
210开平方约等于14.5，所以用连乘积只需要210*1/2*2/3*4/5*6/7*10/11*12/13≈40 即可，同时加上2、 ...

大傻8888888先生：
您好！
在您的帖子中您写到：
根据梅滕斯定理当n趋近无限大时n ∏(1-1/p)→(e^-γ)n/ln（n）=0.56145948......n/ln（n）其中n≧p。
如果n≧√p，则n趋近无限大时n ∏(1-1/p)→2(e^-γ)n/ln（n）=1.12918967......n/ln（n），……

怎么突然冒出了的系数2？
n≧p和n≧√p有这么大的差别吗？
前式的p的取值和后式的p的取值各是多少？

yangchuanju

lusishun 发表于 2021-6-17 04:30
要点，
1，大家不要精确，哥猜是一个很弱的命题，
2，抽象是很重要的方法。

鲁先生：
您好！
在您的点评和帖子中您写到：
追求精准的素数个数，那是大家的愿望，我从来没有追求小于n的素数的精确的个数，
大家不要精确，……

既然不要求“精确”，哪为什么要加强筛？

“在我的心中，这里的105是105个和式，已经抛开数的概念，”又是什么意思？
请不要把“素数定理公式”和哥德巴赫猜想混为一坛。瓜就是瓜，枣就是枣，理清瓜，再说枣也不迟！

yangchuanju

天山草@ 发表于 2021-6-16 19:56
以 210 为例子，看看网上流传的连乘积公式为什么误差那么大。

天山草老师好！
    多次拜读老师的作品，十分欣慰！
    在老师的这个帖子中隐含一个非常大的暗贴（大图片），学生费了很大精力才把它打开！它是一个计算计算某一整数以内素数个数的精确程序，请分成几个较小的明贴，重新贴出来，以便让更多的网友都能看到您的佳作！
    鲁先生根本无意接受老师的教诲，请不要陷入他的泥潭！