求\({2∏{{P_j-3}\over{P_j-4}}}\over{ln(N)}\)的极限值

独舟星海

∏(1-\(1\over P\))=\(e^{-γ}\over{ln(x)}\)推出\({ln(x)}e^γ\)=∏\(P\over{P-1}\),  所以\(({P\over{P-1}})^n\)=\(({ln}(x)e^γ)^n\)=\({ln}^n(x)e^{nγ}\)，而最密四生素数的系数为：\({P^3(P-4)}\over(P-1)^4\)，当P≥5时，为此形式，对于素数2，\({2^3(2-1)}\over(2-1)^4\)=\({1\over 2}{2^4\over(2-1)^4}\),同样素数3，\({3^3(3-2)}\over(3-1)^4\)=\({1\over 3}{3^4\over(3-1)^4}\)，当素数P≥5后，\({P^3(P-4)}\over(P-1)^4\)=\({P^4\over(P-1)^4}{{P-4}\over P}\)=\(({P\over{P-1}})^4{(1-{4\over P})}\),把素数2,3的放进去：\(1\over 6\)∏\(({P\over{P-1}})^4{(1-{4\over P_i})}\)，\(P_i\)≥5. P≥2.

独舟星海

\(C_4\)=\(1\over 6\)∏\(({P\over{P-1}})^4{(1-{4\over P_i})}\)，\(P_i\)≥5. P≥2. 把\(({P\over{P-1}})^4\)替换为\({ln}^4(x)e^{4γ}\)，则\(C_4\)=\(1\over 6\)\({ln}^4(x)e^{4γ}\)\({(1-{4\over P_i})}\)=\(1\over 6\)\(e^{4γ}{ln}^4(x)\)\({(1-{4\over P_i})}\)，此时已经看到n=4的情形，把后半部分用梅腾斯的推广公式代替。

独舟星海

\(C_4\)=\(1\over 6\)\(e^{4γ}{ln}^4(x)\)\({(1-{4\over P_i})}\)=\({1\over 6}e^{4γ}\)*梅腾斯推广公式的n=4的值，1.6771621863714700 *2.47512=4.1511776707317500 与我以前给的系数基本吻合。

独木星空谁

2021年8月28日周六19:30分
设f(m)=1-1/(P-m),证明f（m）=f（m-1）(1-1/(P-m)^2),m≥0.
当n=0时，f(0)=1-1/p
当n=1时，f(1)=1-1/（p-1），f（1）=f（0）*（1-1/（P-1）^2)=(1-1/P）*（1-1/（P-1）^2)=（P-1）/P*（（P-1）^2-1)/(P-1)^2=（（P-1）^2-1)/(P(P-1)
(P^2-2P)/(P^2-P)=(P-2)/(P-1)=(1-1/(P-1))与所给公式一致，假设n=k时，成立，则n=k+1时，f（k+1）=1-1/（P-k-1），
而f（k+1）=f（k）*（1-1/(P-k-1)^2)=(1-1/(P-k))(1-1/(P-k-1)^2)=(P-k-1)/(P-k)*((P-k-1)^2-1)/(P-k-1)^2=((P-k)^2-2(P-k))/(P-k-1)=(P-k)*(P-2k-2)/(P-k)/(P-k-1)
((P-2k-2)/(P-k-1)=(1-1/(P-k-1)),说明当n=k+1时，公式也成立。由数学归纳法，对于一切n值，递推公式皆成立。
这是把天山草先生的递推公式，有用数学归纳法证明了一回。

独舟星海

天山草 发表于 2021-8-26 09:52
主帖中要求的那个极限是 2.4527......

利用天山草先生的结果，推出了k生素数的系数，k=3时，及k=4时，对于其他的k值都可以效仿。只要有梅腾斯公式的推广，其值有了，就可以用其值获得k生素数的系数。

白新岭

[分享]梅滕斯(Mertens)定理
数论学绝对不是代数学的延伸，则只应用纯粹代数理论或函数理论去研究破解质数有关问题是根本行不通的！C_^
而当今经典数论理论皆为纯粹代数理论或函数理论的延伸，则造成数论研究越来越深奥复杂，越来越难以研究，同时也造成一系列质数有关问题长期得不到破解，哪怕就是一个很小的质数基础问题也成了千古之谜！
trx先生发表在30#的内容。
[分享]梅滕斯(Mertens)定理
http://www.mathchina.com/bbs/for ... 9&fromuid=37263
(出处: 数学中国)

白新岭

【旧帖重提】梅腾斯公式推广
http://www.mathchina.com/bbs/for ... 7&fromuid=37263
(出处: 数学中国)
2#给了个公式，3楼给几个\(C_n\)的值，4#给了\(A_n\)的值，可以参考。

独木星空谁

n值        常数
2        0.8198024467614170

白新岭

n值        常数
2        0.819802446761417000
3        0.670891137176445000
4        0.840258827690047000

独舟星海

n值        常数
2        0.819802446761417000
3        0.670891137176445000
4        0.840258827690047000
6        0.913696498927949000
7        0.882170421101332000
8        0.821858222440805000