梅森数探索点滴 广义梅森素数表

大傻8888888

yangchuanju 发表于 2022-1-25 07:48
以2为原根的素数p，素因子p第一次出现在2^(p-1)-1中，以后指数每增大p-1，又出现一次；
非以2为原根的素数 ...

我在28楼的回复不准确。
任何素数或者素因子p第一次出现在2^[(p-1)/2]-1中，以后指数每增大(p-1)/2，又出现一次。只不过为什么是这样，具体成立不成立我暂时还不能证明。不知哪位先生可以证明？

yangchuanju

大傻8888888 发表于 2022-1-27 10:47
我在28楼的回复不准确。
任何素数或者素因子p第一次出现在2^[(p-1)/2]-1中，以后指数每增大(p-1)/2，又 ...

仍不全对，有的素数第一次出现及循环出现周期是（p-1），这些素数都是以2为原根的素数；
其余素数第一次出现及循环出现周期是（p-1）/k，k是不同的正整数；
素数23,47之k=2,
素数31之k=6（素数31第一次出现在n=5=（31-1）/6，以后n每增加5又循环出现一次；
素数89之k=8（素数89第一次出现在n=11=（89-1）/8，以后n每增加11又循环出现一次；
素数127之k=18（素数127第一次出现在n=7=（126-1）/18，以后n每增加7又循环出现一次；……

yangchuanju

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第一次出现在2^n-1中的素数p及其循环出现之周期分数k值:               
指数n        素数p        周期分数k=(p-1)/n
2        3         1
3        7         2
4        5         1
5        31         6
7        127         18
8        17         2
9        73         8
10        11         1
11        23         2
11        89         8
12        13         1
13        8191         630
14        43         3
15        151         10
16        257         16
17        131071         7710
18        19         1
19        524287         27594
20        41         2
21        337         16
22        683         31
23        47         2
23        178481         7760
24        241         10
25        601         24
25        1801         72
26        2731         105
27        262657         9728
28        29         1
28        113         4
29        233         8
29        1103         38
29        2089         72
30        331         11
31        2147483647         69273666
32        65537         2048
33        599479         18166
34        43691         1285
35        71         2
35        122921         3512
36        37         1
36        109         3
37        223         6
37        616318177         16657248
38        174763         4599
39        79         2
39        121369         3112
40        61681         1542
41        13367         326
41        164511353         4012472
42        5419         129
43        431         10
43        9719         226
43        2099863         48834
44        397         9
44        2113         48
45        631         14
45        23311         518
46        2796203         60787
47        2351         50
47        4513         96
47        13264529         282224
48        97         2
48        673         14
49        4432676798593         90462791808
50        251         5
50        4051         81
51        103         2
51        2143         42
51        11119         218
52        53         1
52        157         3
52        1613         31
53        6361         120
53        69431         1310
53        20394401         384800
54        87211         1615
55        881         16
55        3191         58
55        201961         3672
56        15790321         281970
57        32377         568
57        1212847         21278
58        59         1
58        3033169         52296
59        179951         3050
59        3203431780337         54295453904
60        61         1
60        1321         22

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2022-1-27 14:37
仍不全对，有的素数第一次出现及循环出现周期是（p-1），这些素数都是以2为原根的素数；
其余素数第一 ...

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不同素数在2^n-1第一次出现n值及循环出现之周期分数k:               
素数p        指数n        周期分数k=(p-1)/n
3         2        1
5         4        1
7         3        2
11         10        1
13         12        1
17         8        2
19         18        1
23         11        2
29         28        1
31         5        6
37         36        1
41         20        2
43         14        3
47         23        2
53         52        1
59         58        1
61         60        1
67         66        1
71         35        2
73         9        8
79         39        2
83         82        1
89         11        8
97         48        2
101         100        1
103         51        2
107         106        1
109         36        3
113         28        4
127         7        18
131         130        1
137         68        2
139         138        1
149         148        1
151         15        10
157         52        3
163         162        1
167         83        2
173         172        1
179         178        1
181         180        1
191         95        2
193         96        2
197         196        1
199         99        2
211         210        1
223         37        6
227         226        1
229         76        3
233         29        8
239         119        2
241         24        10
251         50        5
257         16        16
263         131        2
269         268        1
271         135        2
277         92        3
281         70        4
283         94        3
293         292        1
307         102        3
311         155        2
313         156        2
317         316        1
331         30        11
337         21        16
347         346        1
349         348        1
353         88        4
359         179        2
367         183        2
373         372        1
379         378        1
383         191        2
389         388        1
397         44        9
401         200        2
409         204        2
419         418        1
421         420        1
431         43        10
433         72        6
439         73        6
443         442        1
449         224        2
457         76        6
461         460        1
463         231        2

白新岭

yangchuanju 发表于 2022-1-27 14:37
仍不全对，有的素数第一次出现及循环出现周期是（p-1），这些素数都是以2为原根的素数；
其余素数第一 ...

证明2^n-2模2^K-1只有k种余数
http://www.mathchina.com/bbs/for ... 6&fromuid=37263
(出处: 数学中国)
以前对这类问题做了尝试性分析，也有些自己的体会。

大傻8888888

yangchuanju 发表于 2022-1-27 14:37
仍不全对，有的素数第一次出现及循环出现周期是（p-1），这些素数都是以2为原根的素数；
其余素数第一 ...

我在51楼的回复确实仍然不准确。
1.如果2^n-1是梅森素数，则这个梅森素数的素因子p第一次出现在2^(2n)-1中，以后指数每增大n又出现一次。
2.如果p不是梅森素数，则素因子p第一次出现在2^[(p-1)/2]-1中，以后指数每增大(p-1)/2，又出现一次。

yangchuanju

大傻8888888 发表于 2022-1-27 15:58
我在51楼的回复确实仍然不准确。
1.如果2^n-1是梅森素数，则这个梅森素数的素因子p第一次出现在2^(2n)-1 ...

梅森素数2^3-1=7，素因子7先后出现在n=3,6,9,12……的2^n-1之中，应该认为素因子7第一次出现在n=3的2^n-1中，7是7的一个因子；
2^11-1=2047=11*89，不是梅森素数；素因子23和89第一次出现在n=11的2^n-1中，素因子23和89第一次出现在2^[(23-1)/2]-1和2^[(89-1)/8]-1中，以后指数每增加2^[(23-1)/2]-1和2^[(89-1)/8]-1又出现一次。

yangchuanju

蔡家雄 发表于 2022-1-26 19:44
在10^7内有664579个素数p，

仅有38个素数p，使 2^p -1 是素数，占比 38/664579=0.000057，

蔡家雄在46楼帖子中询问：有能力分解 2^(521*607) -1 吗？
2^3-1=7、2^5-1=31是两个小梅森素数，2^(3*5)-1=2^15-1=32767=7*31*151；三因子位数分别是1,2,3位，总位数5位。
2^521-1=7、2^607-1=31是两个较大的梅森素数，2^(521*607)-1=（2^521-1)*(2^607-1)*D=6864797660...51<157>*5311379928...27<183>*D
2^(521*607)-1是一个95200位大数，减157，再减183等于94860，余因子D应是一个94860或94861位的数字，这种余因子最难分解。

大傻8888888

yangchuanju 发表于 2022-1-27 16:25
梅森素数2^3-1=7，素因子7先后出现在n=3,6,9,12……的2^n-1之中，应该认为素因子7第一次出现在n=3的2^n-1 ...

56楼应该增加如下：
3.如果2^n-1是若干个素数之积，其中所有大于等于2n+1的素数在指数每增加n这所有素数的素因子都会再次出现。
或者干脆把56楼改为：
1.如果2^n-1是梅森素数，则这个梅森素数的素因子p第一次出现在2^(2n)-1中，以后指数每增大n又出现一次。
2.如果2^n-1是若干个大于等于两个素数之积，其中所有大于等于2n+1的素数在指数每增加n时，这所有素数的素因子都会再次出现。
当然如果还有反例出现，则2有可能不成立。

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