春风晚霞： 请继续研究

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-23 07:28
春风晚霞：第一，47楼我要求你检查你的计算错误，但你没有回答。
第二，你又在求永远哪个积分的原函数，你 ...

曹老头：
第一、同济大学《高等数学讲义》1954年版P323页收有这个问题的解答。但从y=-\(1\over x\)的图像看你的计算是正确的，确实有x从右方逼近原点时，y=-\(1\over x\)逼近负无穷。不过对这个问题用被函数f(x)>0，以及被积函数的面积等解答是不令人信服的。因为我们是在对原函数求极限，所以只有利用原函数的图像作直观解释才是合理的。
第二、ln∣t+√t^2+1∣ 的级数展开式是引用ln∣t+√t^2+1∣ 泰勒公式得的！这个公式是可以证明的，但本贴不予以证明。
第三、你对永远先生提出的问题，虽然讲得很多，但最多只能算是定性分析，不信你根据你的理论写岀\(\small\int_1^5\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)的“曹托尔”基本数的前五项给我们看看!

jzkyllcjl

春风晚霞：第一，对1/x^2的积分，你改好了就不在说了。对永远的题目，你得到了无穷级数表示的原函数，那么请你计算一下x=1或x=2时的原函数值是什么？

jzkyllcjl

春风晚霞：看了你的应用举例，你的f(1)=√2, ,那么你是如何从你的原函数级数表达式算出的？你的1到2的定积分 在在精确到百分之一的要求下是报多少？，

春风晚霞

曹先生:
第一、因为\(\sqrt 2\)的泰勒展开式为\(\sqrt 2\)\(=1+{(-1)^{n-1}}\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(-4n+1)}\)，由于\(F_{|x|≥1}\)(1)\(=1+{(-1)^{n-1}}\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(-4n+1)}\)，所以\(F_{|x|≥1}\)(1)=\(\sqrt 2\)
第二、关于计算\(\small\int_1^2\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)，精确到百分之一的问题，请参照例3自行解决。

春风晚霞

\(\color{blue}{\mathbf{【关于\small\int_a^b\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx计算举例】}}\)
因为曲线的弧长始终是正值，所以L=\(\small\int_a^b\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)=|F(b)-F(a)|
例1：求\(\small\int_1^2\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)
【解】：\(\small\int_1^2\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)=|\(F_{|x|≥1}\)(2)-\(F_{|x|≥1}\)(1)|
\(=|2+{(-1)^{n-1}}\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(-4n+1)}2^{-4n+1}\)\(-\sqrt 2\)\(=(2-\sqrt 2)+{(-1)^{n-1}}\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(-4n+1)}2^{-4n+1}\)
例2：求\(\small\int_{0.25}^1\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)|
【 解】：\(\small\int_{0.25}^1\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)=|\(F_{|x|≥1}\)(1)\(-F_{0<|x|<1}\)(0.25)|
\(=|\sqrt 2\)\(-4-{(-1)^{n-1}}\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(4n-1)}\)\(0.25^{4n-1}\)
\(=|(\sqrt 2-4)-{(-1)^{n-1}}\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(4n-1)}\)\(0.25^{4n-1}\)|
\(=(4-\sqrt 2)+{(-1)^{n-1}}\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(4n-1)}\)\(0.25^{4n-1}\)

注意：在无穷级数字运算中，若没告诉精确度结果应保留算式。
例3：求\(\small\int_4^5\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)，结果保留10位有效数字
【解】：因为本题告诉了精确度，所以需要讨论余项。为此，我们把\(F_{|x|≥1}\)(x)\(=x+{(-1)^{n-1}}\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(-4n+1)}x^{-4n+1}\)改写成
\(F_{|x|≥1}\)(x)\(=x+{(-1)^{n-1}}\small\displaystyle\sum_{n=1}^N\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(-4n+1)}x^{-4n+1}\)+R(x)，则有：0<|R(x)<|\(\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(-4n+1)}x^{-4n+1}\)|1+\(x^{-4}\)+\(x^{-8}\)+\(x^{-12}\)+…)<\(x^{-4n+1}\)|1+\(x^{-4}\)+\(x^{-8}\)+\(x^{-12}\)+…)
<\(x^{-4n+1}\)，所以当\(5^{-(4n-1)}\)≤\(10^{-10}\)时，\(F_{|x|≥1}\)(5)的余项和|R(5)|<\(10^{-10}\)，解这个关于n的不等式知，需且只需计算\(F_{|x|≥1}\)(5)前五项即符合要求，这时\(F_{|X|≥1}\)(5)\(\approx\)5.00399840127；同理算得符合条件的\(F_{|x|≥1}\)(4)\(\approx\)4.007804885470，所以\(\small\int_4^5\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)
=|\(F_{|x|≥1}\)(5)-\(F_{|x|≥1}\)(4)|\(\approx\)0 .9961935158.

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-8-24 08:18
\(\color{blue}{\mathbf{【关于\small\int_a^b\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx计算举例】}}\)
因为 ...

春风晚霞：由于被积函数在4到5区间上，单调减少，被积函数在x=4 取得最大值1.00195，在x=5 取得最小值1.000799，积分区间长为1，所以这个区间上被积函数的定积分取值，在1.000799与1.00195之间，因此你的例三的计算结果是错误的。 错误原因，请你自己找。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-24 16:21
春风晚霞：由于被积函数在4到5区间上，单调减少，被积函数在x=4 取得最大值1.00195，在x=5 取得最小值1.0 ...

曹先生，你我计算的依据、方法完全不同。两者之间存在差异，为什么就是我的计算是错误的？你凭什么就那么自信，你毫无根据的估算就是正确的？

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-8-24 08:33
曹先生，你我计算的依据、方法完全不同。两者之间存在差异，为什么就是我的计算是错误的？你凭什么就那 ...

春风晚霞：说话需要有根据。第一，我说你错了，原因是：你说过被积函数表示y=1/x 双曲线的弧长微分，因此4倒5的定积分表示这个区间上的弧长，这个长度必然大于它在x轴上的投影长度1，，所以你的计算错了。第二，《吉米多维奇数学分析题解》一书中题目，我不去进行计算，你有兴趣，你自己去研究吧。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-25 10:45
春风晚霞：说话需要有根据。第一，我说你错了，原因是：你说过被积函数表示y=1/x 双曲线的弧长微分，因此 ...

是不去计算，还是不会计算？你如果去做一下，你就会发现你用“狗要吃屎”的认知论证“人不吃屎”的“错误”是根本行不通的。

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-8-25 02:59
是不去计算，还是不会计算？你如果去做一下，你就会发现你用“狗要吃屎”的认知论证“人不吃屎”的“错 ...

春风晚霞：第一，我不是不去计算，再92楼。我已经说了：由于被积函数在4到5区间上，单调减少，被积函数在x=4 取得最大值1.00195，在x=5 取得最小值1.000799，积分区间长为1，将区间长乘上最大值、最小值，就得到：这个区间上被积函数的定积分取值，在1.000799与1.00195之间，即曲线段的长度大于1.000799.
第二，从图形上看，在横坐标取值4到5之间的双曲线长度，一定大于它5-4=1.