一个定积分的计算问题

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-9-16 08:13
春风晚霞：你将区间[1，4]十等分，得到积分的取值区间，但这个区间大，你还需要进行百等分，千等分，万等分 ...

曹老头:
我把【区间[1，4]十等分，得到积分的取值区间】，以进一步确定\(\int_1^4\)\(\sqrt{1+{\tfrac{1}{x^4}}}dx\)的取值范围。其解题思想是根据你把区间[1，2]分为十等分，判定\(\int_1^2\)\(\sqrt{1+{\tfrac{1}{x^4}}}dx\)的取值范围是一致的。为什么你把区间[1，2]十等分就可以，我把区间[3，4]十等分就不行？由于我计算\(\int_1^4\)\(\sqrt{1+{\tfrac{1}{x^4}}}dx\)是用的牛顿-莱布尼兹公式，先求出\(\int_1^4\)\(\sqrt{1+{\tfrac{1}{x^4}}}dx\)的原函数(超超函数)\(F_{|x|≥1}\)(x)\(=x+\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞{(-1)^{n-1}}\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(-4n+1)}x^{-4n+1}\)。只要|x|≥1 直接代值计算就可以了。F(4)-F(1)=3.150183837100627… 具体过程，已写出过多次，本帖从略。
你用把[1，2]十等分法判断【elim 使用他这个方法得到的这个区间上的定积分为1.132的结果小了】也是错误的。错误之处我已察觉，你还是仔细分析一下自酌吧！

jzkyllcjl

春风晚霞：你的计算只有结果，没有过程。请你把你的F(4)-F(1)=3.150183837100627… 具体过程写出来，把这个无穷级数第一项，第二项，第三项，……写出来。 这个工作是你做了的，希望你你写出来，让我看看。诶别是（-1）！！等于什么？请你说说。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-9-16 14:54
春风晚霞：你的计算只有结果，没有过程。请你把你的F(4)-F(1)=3.150183837100627… 具体过程写出来，把这个 ...

Jzkyllcjl先生:
      应用公式前作两点说明:
       ①、公式F(x)=F(x)=\(x+\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞{(-1)^{n-1}}\dfrac{(2n-3)!!)}{2n!!(-4n+1)}x^{-4n+1}\)的表示形式是根据吉林师大《数学分析讲义》下册P134，\(\sqrt{1+x}\)二项式展开而成的。使用时可默认(-1)!!=1；1!!=1。
       ②、因为在\(\sqrt{1+x}\)二项式展开式中虽然1在其收敛域内，但因收敛十分缓慢(如要留小数点后四位有效数，就需计算上万项，参见华东师大《数学分析》下册P62例9) ，所以应用宜将公式改写以下恒等形式，以确保F(4)与F(1)取舍同步!
      在明上述两点后，你可极为方便地根据公式具体地写出这个无穷级数第一项，第二项，第三项，…… 注意计算结果必须加上……，不然就得讨论余项。
附:F(4)-F(1)的计算过程(根据公式，用计算器计算)
F(4)-F(1)\(=\left(4+\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞{(-1)^{n-1}}\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(-4n+1)}4^{-4n+1}\right)-\)\(\left(1+\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞{(-1)^{n-1}}\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(-4n+1)}1^{-4n+1}\right)\)=\(3+\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞{(-1)^n}\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(4n-1)}(4^{-4n+1}-1)\)
即F(4)-F(1)\(=3+\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞{(-1)^n}\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(4n-1)}(4^{-4n+1}-1)\)=3.150183837100627……

jzkyllcjl

春风晚霞：对于你得到F(4)-F(1)=3.150183837100627…。仍然存在着：F(4)-F(1)永远算不到底实，你的无尽小数3.150183837100627…表达式有问题，事实上，根据笔者将区间积分区间[1，2]十等分后得到的这个积分区间上的定积分介于1.166与1.205 之间的事实，elim 使用你这个方法得到的这个区间上的定积分为1.132的结果小了，你的无尽小数3.150183837100627…表达式也小了；不仅如此，还需指出：你的无尽小数表达式不满足现行无你小数表达式的定义；事实上，现行无尽小数1.4142……表达式中的写出四位小数1.4142表示了这个数都是准确1/10^4的 的有效数字，但你的无尽小数3.150183837100627…表达式中小数点后第二位数字5就不是有效数字，这个数字5应当是7，或者8。春风晚霞提出的无穷级数表达式不仅也具有永远算不到底的事实，而且缺乏误差界与有效数字的说明。如果你能把你的计算改进到这个结果，你的原函数表达式还有希望，否则你的原函数原函数表达式就是无效的。但你坚持他的计算是有严格逻辑推导过程的，是正确的。为此，需要研究你的具体计算过程：对你的无穷级数的的第二项涉及（-1）！！，这个数，在《数学手册》（人民教育出版社1979年）23页指出：（-1）！！=0；但你的计算中使用的是：（-1）！！=+1，两者不同。进一步查看菲赫金哥尔茨《微积分学教程二卷二分册》（人民教育出版社1954年第一版）366页表达式，也应当是（-1）！！=+1，这说明：不同的地方，可以 有不同的结果；但继续查看这个二项式无穷级数展开式的推导过程，可以发现：它用到了 在x=0处的各阶导数都是常数，但现在对被积函数 在x=0处的各阶导数都是都是无穷大，无法得到它的马克劳林级数展开式。所以，春风晚霞代入二项式公式得到它的原函数无穷级数表达式不合理。此外，春风晚霞，要求笔者计算出这个定积分的确切值，笔者不能接受，因为：“定积分表示的实数与π、√2一样都具有无法绝对准算出的性质；即使对初等函数表示的定积分，由于初等函数的无穷级数表达式的前n项和数列达不到其极限值，它们的定积分值也无法绝对准算出”；现行教科书中π=3.1415926……与无穷项相加的无穷级数和等于实数的等式都是违背事实的等式。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-9-17 12:00
春风晚霞：对于你得到F(4)-F(1)=3.150183837100627…。仍然存在着：F(4)-F(1)永远算不到底实，你的无尽小数 ...

曹先生：
       既然那个笔者那么利害，还是请笔者先完成下列两题的计算：①\(\int_{3\sqrt 2}^{5\sqrt 3}\)\(\sqrt{1+{\tfrac{1}{x^4}}}dx\)；②I=\(\int_{10}^{100}\tfrac{Ln(1+x)}{x}dx\)；只可惜那位笔者是弹花匠的女—会弹不会纺。那位笔者下笔千言离题万里，何足于信。春风晚霞对也罢，错也罢，我觉得对现行教科书的知识，你不学我学总可以吧？

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-9-17 04:18
曹先生：
       既然那个笔者那么利害，还是请笔者先完成下列两题的计算：①\(\int_{3\sqrt 2}^{5\sqrt ...

春风晚霞：第一，我根据事实指出了定积分与圆周率一样具有算不到底的事实，它们绝对准数值算不到；所以我拒绝 接受你的计算到确切指的要求；第二，我仅仅根据事实指出你的的无尽小数3.150183837100627…表达式中小数点后第二位数字5就不是有效数字，这个数字5应当是7，或者8。并指出√ （1+x）在x=0的各阶导数是常数，而现在的被积函数x=0的各阶导数是无穷大， 所以，你代入二项式公式得到它的原函数无穷级数表达式不合理。

elim

jzkyllcjl 发表于 2022-9-17 03:05
春风晚霞：第一，我根据事实指出了定积分与圆周率一样具有算不到底的事实，它们绝对准数值算不到；所以我 ...

jzkyllcjl 认为合理的，无非就是吃狗屎．他死活都拿不出精度可控的算法．

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-9-17 18:05
春风晚霞：第一，我根据事实指出了定积分与圆周率一样具有算不到底的事实，它们绝对准数值算不到；所以我 ...

曹老太婆：
       第一、数学中“事实”不能代替逻辑演译。因为“事实”参杂观察者个人因素太多，不能反映被研究数学对象的本质，“春雨如膏，农夫喜其润泽；行人恶其泥泞”就是这个道理。其实圆周率是算得到底的，它的底就是圆的周长与直径的比值。你【根据事实指出了定积分与圆周率一样具有算不到底的事实】，这个“事实”不能作为否定无穷级数的依据，更不能作为你用估值的方法代替确切计算的理由。因为在数学的近似处理过程中，问题的关键不在于算不算得到底，而在如何去算，能不能把不能计算的问题转化成可以计算的问题。对于①\(\int_{3\sqrt 2}^{5\sqrt 3}\)\(\sqrt{1+{\tfrac{1}{x^4}}}dx\)；②I=\(\int_{10}^{100}\tfrac{Ln(1+x)}{x}dx\)两道题春风晚霞从未要求你把它算到底，只要求结果保留到小数点后十位有效数字就行。你的【它们绝对准数值算不到；所以我拒绝 接受你的计算到确切指的要求】，老太太，你算不出它们的前十位有效值，并不等于它们就没有前十位有效值。你不会计算就不会算嘛，何必要以此为借口呢？
       第二、你说你【仅仅根据事实指出你的的无尽小数3.150183837100627…表达式中小数点后第二位数字5就不是有效数字，这个数字5应当是7，或者8】，你在哪里根什么”事实”指出了我计算结果的F(4)-F(1)\(\approx\)3.150183837100627…【小数点后第二位数字5就不是有效数字，这个数字5应当是7，或者8】了？你算出过F(4)-F(1)精确到\(10^{-10}\)的值了吗？同时春风晚霞也用你的估算思想验证了3.150183837100627……在你的估算范围之内，你始终(在多个主题下，多个帖子中)说春风晚霞算错了，错在哪里，为什么是错的？你能说出个子午卯酉吗？老太婆，你毕竟是大学数学教授，听以你应该知道数学计算答案必然唯一的道理。从“数字5应当是7，或者8”这种叙述看老太婆对数学相当外行。老太太，你说话还是严谨一点好吗？
       笫三、曹老太，你认为【√ （1+x）在x=0的各阶导数是常数，而现在的被积函数x=0的各阶导数是无穷大， 所以，你代入二项式公式得到它的原函数无穷级数表达式不合理。】曹老太婆，你还是先去认真阅读一下教材，重点阅读二项式定、泰勒级数、麦克劳林级数，以及无穷级数的应用等章节。不要开黄腔，惹人笑话。

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-9-17 15:04
曹老太婆：
       第一、数学中“事实”不能代替逻辑演译。因为“事实”参杂观察者个人因素太多，不 ...

春风晚霞：第一，多次要求笔者计算出定积分 的确切值，笔者没有接受，笔者曾回答说 “因为：定积分表示的实数与π、√2一样都具有无法绝对准算出的性质；即使对初等函数表示的定积分，由于初等函数的无穷级数表达式的前n项和数列达不到其极限值的性质，它们的定积分值也无法绝对准算出；现行教科书中π=3.1415926……与无穷项相加的无穷级数和等于实数的等式都是违背事实的等式，不需计算这个确切值”；但是，后来想到：可以使用圆周率是有尽十进小数为项的无穷数列3.1，3.14，3.141，……的趋向性极限与现行教科书提出特殊函数、无穷级数是其前n项和无穷数列极限的做法，提出如下的定义与说明。
双曲线弧长函数定义：、双曲线 的弧长是√ （1+1/x^4） 的原函数；这个函数可以记作：L(x)。需要说明的是：第一，这个原函数需要使用以1或-1为起点或终点的前述以x为自变数的变上限或变上限的定积分表示，第二，原函数的函数值计算，需要使用把积分区间等分为n=0.1,2,3,……的10^n 个小区间，依照“定积分值小于积分区间内被积函数最大值与积分区间长度乘积，大于积分区间内被积函数最小值与积分区间长度乘积”的法则计算定积分取值区间，当n趋向于无穷大 时，这个取值区间的趋向性极限就是原函数在x的理想函数值，但需注意：n可以趋向于+∞，但达不到+∞，所以原函数数值的实际计算只能做到满足一定误差界的足够准。第二，第三已经回答过，不再重复。

elim

jzkyllcjl 四则运算缺乘除二法，根本算不了任何积分。确切值？确切地说，jzkyllcjl 是具有不住吃狗屎啼猿声性质的学渣。