指数幂计算问题，到底指数幂与根式之间是怎么转化的

春风晚霞

波斯猫猫 发表于 2022-12-29 20:43
背景是二次根式，但是有限制条件的。正规教材就频出问题，何况当下的参考书难保不出问题。。

没人否定“背景是二次根式，但是有限制条件的”。只不过这个限制条件也并没有否定代数运算的顺序和运算法则，并且复数域中的指数概念，并无“底非负”这个限制条件。由于复数域对代数运算封闭，所以代数运算的顺序和运算法则依然成立。虽然“正规教材就频出问题，何况当下的参考书难保不出问题”，但也不能证明不依代数运算顺序，不讲代数运算法则的创新见解就是正确的。

春风晚霞

波斯猫猫 发表于 2022-12-29 21:25
（一2）＾（1／2）＝？，（一2）＾（2／4）＝？

【解】：本题已用括号指明代数运算的优先顺序。所以（-2）＾（1／2）＝\(\sqrt 2\)i;（一2）＾（2／4）=\(\sqrt 2\)i(i为虚数单位).

春风晚霞

波斯猫猫 发表于 2022-12-29 20:46
搞笑哦。

我不感到这是搞笑，我实在为小学生都知道的代数运算顺序和运算法则被忽视而感到悲哀！

春风晚霞

永远 发表于 2022-12-29 20:54
我突然想到小学课本要求背诵的文言文：两小儿辩日！一些约定俗成的东西基本都思维定势了，至于为什么，教师 ...

数学的基本特征(1、高度的抽象性和严密的逻辑性;2、应用的广泛性与描述的精确性;3、研究对象的多样性与内部的统一性)决定了数学论述不能像文学那样讲究发散思维。文学家可以用一个感叹词从天上讲到地下，但数学家要从天上讲到地下必须讲清具体过程。所以，任何数学创新，都应兼容前人公认的且证明是正确的基本原理和基本法则。

波斯猫猫

一不小心，数学也羊了，咋个办哦？

天山草

mathematica 是一个国际流行的通用计算软件，具有很高的权威性。

对于形如 \(a^\frac{p}{q}\) 的指数函数，当底数 \(a\) 是一个实数且 \(a<0\) ，指数中的

\(p\) 和 \(q\) 均为有理数时：

① 直接算\(a^\frac{p}{q}\) 的值，如果得到 x，那么：

② 先算出指数 \(\frac{p}{q}=r\)  的值，再算 \(a^r\) ，将得到相同的 x ;

③ 先算出 \(a^\frac{1}{q}=c1\)  的值，再算 \(c1^p\) ，也得到相同的 x ;

④ 先算出 \(a^p=c2\)  的值，再算 \(c2^\frac{1}{q}\)，结果就得不到上述 x。

由此可见，按 ④ 的计算次序是不对的。至于为什么不对，可以讨论。

估计是要涉及复变函数论的知识，中学生是不学这个东西的。


举两个例子说明上述结论。

例 1：\(a=-π,\quad p=6.17,\quad q=2.43\)




例 2：\(a=-2,\quad p=6,\quad q=2\)



另外，不能把底数为正数时的运算规则随意推广到底数为负数的情况。事实上，当底数为正数时，上面按 ②③④ 的计算次序都是对的，例子见 16# 楼。

春风晚霞

第一、确实mathematica 软件国际流行通用，具有很高的权威性。不过在使用mathematica软件计算\((-2)^\frac{6}{2}\)时应该注意以下两点：
1、mathematica系统有自动化简，约去分子分母中公因数的功能。如：
In[1]:=6/9
Out[1]=\(\frac{2}{3}\)
In[2]:=6/2
Out[2]=3
In[3]:=10/4
Out[3]=\(\frac{5}{2}\)
……
2、N[\((-2)^\frac{6}{2}\)]的mathematica 系统执行代码为N[(-2)^(6/2)]。从执行代码看，mathematica 系统计算\((-2)^\frac{6}{2}\)的过程也就是手算\((-2)^{(6/2)}\)的过程。
第二、楼上“对于形如\(a^\frac{p}{q}\)的指数函数，当底数a<0是一个实数”的提法欠妥，如\((-2)^\frac{3}{2}=\sqrt{-8}=2\sqrt   2\)i(用mathematica 软件计算，结果与此相同)就不是实数。其实，楼上①的计算是添加括号(系统自动添加的)改变运算优先级别的方法;②是①的重复计算；③的计算有迁就①的计算结果之嫌。从实质看，楼上分析中列举的①②③④四种方法中，只有④是遵从代数运算顺序(括号优先;次算乘方、开方;再次乘、除;最后才是加、减)和同级运算依次运算这一法则的。
第三、因为实数域是复数域的子域，并且复数域中负数允许开偶次方，所以复数域中指数幂(或根式)再无“底非负”这个限制条件。复数的基础知识，也是中学学段的学习内容(参见人教版《高中数学选修教材》2)。由于复数域对代数运算(加、减、乘、除、乘方、开方)封闭。所以，实数域上代数运算顺序(括号优先;次算乘方、开方;再次乘、除;最后才是加、减)和同级运算依次运算法则仍然适用。

风卷浪起

在高中，分数指数幂的底数通常大于0。

春风晚霞

风卷浪起 发表于 2022-12-31 14:08
在高中，分数指数幂的底数通常大于0。

高中复数是选修课，2010年前属于可选，2010至2022年部分属必选(如复数三角式仍属可选)，按2023年高考大纲，必选课要求较低，可选课不作要求。分数指数幂是高中必学内容，是在实数集(严格说应该是实数域)内研究的高考必考内容。所以，无论是学生、教师还是数学爱好者都知道“在高中，分数指数幂的底数通常大于0。”不过当复数知识上升到必学内容时，“分数指数幂的底数通常大于0”中的“通常”也就有“异常”情形了。说句题外话，我对中学阶段必考必讲，选学可讲可不讲的教育现状是持保留意见的。好些知识极易造成中学与大学脱节。如复数基础知识，中学不讲，大学也不讲。这就是造成人们对复数域中分数指数幂(或根式)不再要求“底非负”认识不足的原因。

天山草

@ 春风晚霞
（一） 56# 楼中，“对于形如 \(a^\frac{p}{q}\) 的指数函数，当底数 \(a<0\) 是一个实数，.......”
这句话，确实容易引起误解。应该改为：
“对于形如 \(a^\frac{p}{q}\) 的指数函数，当底数 \(a\) 是一个实数且\(a<0\) ，.......

   56# 楼中已按上面说的更正。

（二）对于\(a^\frac{p}{q}\) 的指数函数，其实是多值的，mathematica 计算时，只给出了它的 "主值"，
具体计算方法是 \(a^\frac{p}{q}=e^{\frac{p}{q}\ln|z|}(cos\frac{p}{q}\pi)+i sin\frac{p}{q}\pi)\)