请证明mk是梅森素数

yangchuanju

太阳 发表于 2024-10-26 19:43
已知:\(a^2+ab+b^2=cm\)，\(a=tv\)，\(c=2^k-1\)，\(c=mt\)
整数\(a＞0\)，\(b＞0\)，\(c＞0\)，\(m＞0\) ...

6、44楼  太阳贴
已知：a^2+ab+b^2=c，c=2^k-1，c=mt，整数a>0，b>0，m>1，t>1，奇数c>0，素数k>0，p>0，y>0，
求证：m=p，t=y
k=37，67，101，103，139，269，271，281
373，379，457，881，1063，1637，4243
估计这个命题是正确的，没有找到反例

太阳先生给出的这些个例都是2合数吗？
是的，它们都是二合数！

status        n        digits        number
FF        37        12        137438953471<12> = 223 · 616318177
FF        67        21        147573952589676412927<21> = 193707721 · 761838257287<12>
FF        101        31        2535301200456458802993406410751<31> = 7432339208719<13> · 341117531003194129<18>
FF        103        32        10141204801825835211973625643007<32> = 2550183799<10> · 3976656429941438590393<22>
FF        139        42        696898287454081973172991196020261297061887<42> = 5625767248687<13> · 123876132205208335762278423601<30>
FF        269        81        2^269-1<81> = 13822297 · 6862598850...63<74>
FF        271        82        2^271-1<82> = 15242475217<11> · 2489277578...91<72>
FF        281        85        2^281-1<85> = 80929 · 4800921529...19<80>
FF        373        113        2^373-1<113> = 25569151 · 7524403464...41<105>
FF        379        115        2^379-1<115> = 180818808679<12> · 6809649408...53<103>
FF        457        138        2^457-1<138> = 150327409 · 2475539419...19<130>
FF        881        266        2^881-1<266> = 26431 · 6099757718...21<261>
FF        1063        320        2^1063-1<320> = 1485761479<10> · 6651755792...33<311>
FF        1637        493        2^1637-1<493> = 81679753 · 7481496656...07<485>
FF        4243        1278        2^4243-1<1278> = 101833 · 1829713380...79<1273>

42楼太阳又给出当k=457时m和t都是素数，好似一大奇迹，其实2^457-1是一个二合数，它的两个因子肯定是素数呀！
有什么稀奇的呀！

同时46、47、49楼都是二合数2^4243-1的个例，也没有什么稀奇的。

yangchuanju

太阳先生绕来绕去，不就是想说明对于不定方程
a^2+ab+b^2=2^k-1
只有当梅森数2^k-1是某些二合数时才有2组以上整数解吗？

只是因为对于不定方程
a^2+ab+b^2=p，式中p是梅森合数的素因子，
一般梅森合数的素因子p没有整数解，只要少数梅森合数素因子p才有整数解；
两个素因子p1和p2同时都有整数解的几率不大，但有一些；
三个素因子p1、p2和p3同时都有整数解的几率要小的多，我俩到现在都没有找到一个实例。

当2^k-1是梅森素数时，它们都是2组整数解；
当2^k-1不是素数时，它们一般都没是整数解，上面的一些个例除外。

yangchuanju

太阳先生不是要找几个大素数吗？
直接查一查梅森数分解表就是了，不必绕这么大一个圈子呀！

yangchuanju

太阳 发表于 2024-10-26 20:21
方程a^2+37*(2^4243-1)/101833a+(37*(2^4243-1)/101833)^2=(2^4243-1)*(2^4243-1)/101833
a=5470843007228 ...

49楼的素数a应等于
182971338034414220355980390160783669008554633748871637373987430202751705560326340930862341939739593029595153602964218344
313370979500587079469956533560674829362880611448174704919844195771244907265994653866539231580495855839791497501699639559
327998919971811477879379679323092312348226732868802884619354247611307331660126455849953688654469627814548427921736728580
576103344324033677124065483791812927826395277743201749644661749377625902695956082937218447969805321953042748018313935439
871363552939637814001870526389028578476642055498926516868222099327019356487870995285953473854830043294871424169289454063
949642071326407236378959728583796578546599775111628659482475910994917857709506583059608953962616933892793828961558411068
335530775889522795729378232790200410717994547893841222425353189124875303604949035210871820662191686811478184282466182036
466921035952383163387427725586616988237065824379154260585284898151007611081636726755940221249561336968175911959094325588
540312251906595433513173953356766153573905336976050312373827886619672978399048495214701715471738362880132059077389305376
969095805432850100906165912881368386852665568857008303104588955308432116412615476424635550538704123477047222766436675535
5162582934390973464056056516521698496810619306605105397213810847503999879

yangchuanju

2的4243次方减1正整数解4组

不定方程a^2+ab+b^2=2^4243-1共有24组整数解，其中正整数4组——
a = 45231655435339843958594691894938155834256853319456583559139966211727991794106770589789501691699023571471444702326579578394506635062184589576628673627095046206753907564653365166180876862629844843452435833948273448516723927377028100883022979969462026642013286989038952431352755592578115733638512210035529023257662453184632004715208279551410910603177446403526916267647870388442881163655893175593537152145662819737031806255046678010885579927819798870976913337407835227525974806184471686898469068230892752582945547506006297961757212799877757503020714923993393881551110630465250306307054704377495823323202175443791333324061068691417338128003174——638位
b = 407257148486369975188836296151602291470331359173266836436160509300525108890326316199445790189850360761294859101433850080406151558242191492136720420852085285670556591006103630740682944112583221716454896550669757110240936430700280474341320793890811936621459120840724658428729747712295900781069409327132710000125115141376890870712226336282140016410671820640699921733987829093345733188156126876122897949228086268867830093387409426930614084470122073073908088844669943367609472924367595830134538731559040931022778100575164078033146173667074722976609233108038080292712173924602884347125170618539026018346737515187217292926508456439991570418281263——639位

a = 54861131582133742732696678495052685315115296341632892659446168338996188463066094198792429051357475308032253734574988993684928488437992156944629647473602002093199327476916517847290277414532737844994284398219158181388023142443496233713187798452298815919902864139657564731925403770629908817255312769604502769019090463483355359935330811283955833603545191285319721193193431584189352043608384442377787404273927877406727525221616915214915582791626344825956526003229147414614299413942290342894395318644032051289840317332934643889695466038603221625892533419268491022522808474045033071508089165072370488763646990765820820776414052272001716898187649——638位
b = 401600779033213874019166940243188559980000336736618390303224740176948672106827374929905487977011616670370163402176122975046580926259236810832367092907601672212849281356852991449259626938000892441533464244413001196286614214606118878206436577679633791108620046388471520809653215790385162481559068211039438807732969239264412427409697668036093943530140846088087770179297286847655286513790332793429157249946443959402008828545628799407616933181618385449959434475612700145902472800440562194407797800214000051624869834204385695306971420189839135389473503503726881499668956136169405651975586596745028773922665206344513357777331034588719171550125658——639位

a = 401600779033213874019166940243188559980000336736618390303224740176948672106827374929905487977011616670370163402176122975046580926259236810832367092907601672212849281356852991449259626938000892441533464244413001196286614214606118878206436577679633791108620046388471520809653215790385162481559068211039438807732969239264412427409697668036093943530140846088087770179297286847655286513790332793429157249946443959402008828545628799407616933181618385449959434475612700145902472800440562194407797800214000051624869834204385695306971420189839135389473503503726881499668956136169405651975586596745028773922665206344513357777331034588719171550125658——639位
b = 54861131582133742732696678495052685315115296341632892659446168338996188463066094198792429051357475308032253734574988993684928488437992156944629647473602002093199327476916517847290277414532737844994284398219158181388023142443496233713187798452298815919902864139657564731925403770629908817255312769604502769019090463483355359935330811283955833603545191285319721193193431584189352043608384442377787404273927877406727525221616915214915582791626344825956526003229147414614299413942290342894395318644032051289840317332934643889695466038603221625892533419268491022522808474045033071508089165072370488763646990765820820776414052272001716898187649——638位

a = 407257148486369975188836296151602291470331359173266836436160509300525108890326316199445790189850360761294859101433850080406151558242191492136720420852085285670556591006103630740682944112583221716454896550669757110240936430700280474341320793890811936621459120840724658428729747712295900781069409327132710000125115141376890870712226336282140016410671820640699921733987829093345733188156126876122897949228086268867830093387409426930614084470122073073908088844669943367609472924367595830134538731559040931022778100575164078033146173667074722976609233108038080292712173924602884347125170618539026018346737515187217292926508456439991570418281263——639位
b = 45231655435339843958594691894938155834256853319456583559139966211727991794106770589789501691699023571471444702326579578394506635062184589576628673627095046206753907564653365166180876862629844843452435833948273448516723927377028100883022979969462026642013286989038952431352755592578115733638512210035529023257662453184632004715208279551410910603177446403526916267647870388442881163655893175593537152145662819737031806255046678010885579927819798870976913337407835227525974806184471686898469068230892752582945547506006297961757212799877757503020714923993393881551110630465250306307054704377495823323202175443791333324061068691417338128003174——638位

yangchuanju

4个a都不是素数！

yangchuanju

4个b也都不是素数。

太阳

yangchuanju 发表于 2024-10-27 06:35
太阳先生绕来绕去，不就是想说明对于不定方程
a^2+ab+b^2=2^k-1
只有当梅森数2^k-1是某些二合数时才有2组 ...

a^2+ab+b^2=2^k-1，k=13×17，2^221-1分成4素数乘积，有正整数解
如果k是素数，2^k-1分成三素数乘积，找不到正整数解

太阳

已知:\(a^2+ab+b^2＝c\)，\(c＝2^k-1\)，\(c＝mt\)，整数\(a＞0\)，\(b＞0\)
\(m＞1\)，\(t＞1\)，奇数\(c＞0\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)，\(y＞0\)
求证:\(m＝p\)，\(t＝y\)
k=37，67，101，103，139，269，271，281
373，379，457，881，1063，1637，4243
如果这个命题是正确的，快速判断大素数，数学软件。验证k取值5000范围，没有找到一个反例

太阳

已知:\(a^2+ab+b^2＝c\)，\(c＝2^k-1\)，\(c＝mt\)，整数\(a＞0\)，\(b＞0\)
\(m＞1\)，\(t＞1\)，奇数\(c＞0\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)，\(y＞0\)
求证:\(m＝p\)，\(t＝y\)
k=37，67，101，103，139，269，271，281
373，379，457，881，1063，1637，4243
已知:\(a^2+ab+b^2=mt^2\)，\(a=ty\)，\(c=2^k-1\)，\(c=mt\)
整数\(a＞0\)，\(b＞0\)，\(c＞0\)，\(m＞0\)，\(t＞0\)，\(y＞0\)
素数\(k＞0\)，\(p＞0\)，\(w＞0\)
求证:\(m=p\)，\(t=w\)
命题是错误的，找到一个反例，2^577-1分成三素数乘积