最密孪生素数串的可能结构和跨距

yangchuanju · 发表于 2025-8-13 14:25

将8个不同的与510510互素的孪13串互素数表达式还原到30030、2310、210、30互素数系数都变成两个完全相同的互素数表达式。

yangchuanju · 发表于 2025-8-14 10:46

业已用与510510互素的互素数系统（总基数22275个）计算出可能存在21137种与510510互素的孪13串组，最小跨距182，最大跨距392，它们都能通过素数19和23的联合检验；
其中跨距最小182的有8种；跨距194的有6种；跨距200的用36种；……。

8种跨距182的最密孪13串（与510510互素的）互素数表达式——
序号 6544 6546 10476 10478 11785 11787 15717 15719
p1 150041 150077 240131 240167 270161 270197 360251 360287
p2 150043 150079 240133 240169 270163 270199 360253 360289
p3 150047 150089 240137 240179 270167 270209 360257 360299
p4 150049 150091 240139 240181 270169 270211 360259 360301
p5 150077 150107 240167 240197 270197 270227 360287 360317
p6 150079 150109 240169 240199 270199 270229 360289 360319
p7 150089 150119 240179 240209 270209 270239 360299 360329
p8 150091 150121 240181 240211 270211 270241 360301 360331
p9 150107 150131 240197 240221 270227 270251 360317 360341
p10 150109 150133 240199 240223 270229 270253 360319 360343
p11 150119 150149 240209 240239 270239 270269 360329 360359
p12 150121 150151 240211 240241 270241 270271 360331 360361
p13 150131 150167 240221 240257 270251 270287 360341 360377
p14 150133 150169 240223 240259 270253 270289 360343 360379
p15 150149 150179 240239 240269 270269 270299 360359 360389
p16 150151 150181 240241 240271 270271 270301 360361 360391
p17 150167 150191 240257 240281 270287 270311 360377 360401
p18 150169 150193 240259 240283 270289 270313 360379 360403
p19 150179 150209 240269 240299 270299 270329 360389 360419
p20 150181 150211 240271 240301 270301 270331 360391 360421
p21 150191 150221 240281 240311 270311 270341 360401 360431
p22 150193 150223 240283 240313 270313 270343 360403 360433
p23 150209 150251 240299 240341 270329 270371 360419 360461
p24 150211 150253 240301 240343 270331 270373 360421 360463
p25 150221 150257 240311 240347 270341 270377 360431 360467
p26 150223 150259 240313 240349 270343 270379 360433 360469

间距式
序号 6544 6546 10476 10478 11785 11787 15717 15719
p1 0 0 0 0 0 0 0 0
p2 2 2 2 2 2 2 2 2
p3 6 12 6 12 6 12 6 12
p4 8 14 8 14 8 14 8 14
p5 36 30 36 30 36 30 36 30
p6 38 32 38 32 38 32 38 32
p7 48 42 48 42 48 42 48 42
p8 50 44 50 44 50 44 50 44
p9 66 54 66 54 66 54 66 54
p10 68 56 68 56 68 56 68 56
p11 78 72 78 72 78 72 78 72
p12 80 74 80 74 80 74 80 74
p13 90 90 90 90 90 90 90 90
p14 92 92 92 92 92 92 92 92
p15 108 102 108 102 108 102 108 102
p16 110 104 110 104 110 104 110 104
p17 126 114 126 114 126 114 126 114
p18 128 116 128 116 128 116 128 116
p19 138 132 138 132 138 132 138 132
p20 140 134 140 134 140 134 140 134
p21 150 144 150 144 150 144 150 144
p22 152 146 152 146 152 146 152 146
p23 168 174 168 174 168 174 168 174
p24 170 176 170 176 170 176 170 176
p25 180 180 180 180 180 180 180 180
p26 182 182 182 182 182 182 182 182

邻距式
序号 6544 6546 10476 10478 11785 11787 15717 15719
p1 0 0 0 0 0 0 0 0
p2 2 2 2 2 2 2 2 2
p3 4 10 4 10 4 10 4 10
p4 2 2 2 2 2 2 2 2
p5 28 16 28 16 28 16 28 16
p6 2 2 2 2 2 2 2 2
p7 10 10 10 10 10 10 10 10
p8 2 2 2 2 2 2 2 2
p9 16 10 16 10 16 10 16 10
p10 2 2 2 2 2 2 2 2
p11 10 16 10 16 10 16 10 16
p12 2 2 2 2 2 2 2 2
p13 10 16 10 16 10 16 10 16
p14 2 2 2 2 2 2 2 2
p15 16 10 16 10 16 10 16 10
p16 2 2 2 2 2 2 2 2
p17 16 10 16 10 16 10 16 10
p18 2 2 2 2 2 2 2 2
p19 10 16 10 16 10 16 10 16
p20 2 2 2 2 2 2 2 2
p21 10 10 10 10 10 10 10 10
p22 2 2 2 2 2 2 2 2
p23 16 28 16 28 16 28 16 28
p24 2 2 2 2 2 2 2 2
p25 10 4 10 4 10 4 10 4
p26 2 2 2 2 2 2 2 2

从间距式和邻距式都容易看出，第1,3,5,7号孪13串完全相同，第2,4,6,8号孪13串也完全相同，已展示出在向下还原后将变成2种。

yangchuanju · 发表于 2025-8-14 10:49

6种跨距194的次密孪13串（与510510互素的）互素数表达式——
序号 6542 6548 10480 11783 15715 15721
p1 149999 150107 240197 270119 360209 360317
p2 150001 150109 240199 270121 360211 360319
p3 150011 150119 240209 270131 360221 360329
p4 150013 150121 240211 270133 360223 360331
p5 150041 150131 240221 270161 360251 360341
p6 150043 150133 240223 270163 360253 360343
p7 150047 150149 240239 270167 360257 360359
p8 150049 150151 240241 270169 360259 360361
p9 150077 150167 240257 270197 360287 360377
p10 150079 150169 240259 270199 360289 360379
p11 150089 150179 240269 270209 360299 360389
p12 150091 150181 240271 270211 360301 360391
p13 150107 150191 240281 270227 360317 360401
p14 150109 150193 240283 270229 360319 360403
p15 150119 150209 240299 270239 360329 360419
p16 150121 150211 240301 270241 360331 360421
p17 150131 150221 240311 270251 360341 360431
p18 150133 150223 240313 270253 360343 360433
p19 150149 150251 240341 270269 360359 360461
p20 150151 150253 240343 270271 360361 360463
p21 150167 150257 240347 270287 360377 360467
p22 150169 150259 240349 270289 360379 360469
p23 150179 150287 240377 270299 360389 360497
p24 150181 150289 240379 270301 360391 360499
p25 150191 150299 240389 270311 360401 360509
p26 150193 150301 240391 270313 360403 360511

间距式
序号 6542 6548 10480 11783 15715 15721
p1 0 0 0 0 0 0
p2 2 2 2 2 2 2
p3 12 12 12 12 12 12
p4 14 14 14 14 14 14
p5 42 24 24 42 42 24
p6 44 26 26 44 44 26
p7 48 42 42 48 48 42
p8 50 44 44 50 50 44
p9 78 60 60 78 78 60
p10 80 62 62 80 80 62
p11 90 72 72 90 90 72
p12 92 74 74 92 92 74
p13 108 84 84 108 108 84
p14 110 86 86 110 110 86
p15 120 102 102 120 120 102
p16 122 104 104 122 122 104
p17 132 114 114 132 132 114
p18 134 116 116 134 134 116
p19 150 144 144 150 150 144
p20 152 146 146 152 152 146
p21 168 150 150 168 168 150
p22 170 152 152 170 170 152
p23 180 180 180 180 180 180
p24 182 182 182 182 182 182
p25 192 192 192 192 192 192
p26 194 194 194 194 194 194

邻距式
序号 6542 6548 10480 11783 15715 15721
p1 0 0 0 0 0 0
p2 2 2 2 2 2 2
p3 10 10 10 10 10 10
p4 2 2 2 2 2 2
p5 28 10 10 28 28 10
p6 2 2 2 2 2 2
p7 4 16 16 4 4 16
p8 2 2 2 2 2 2
p9 28 16 16 28 28 16
p10 2 2 2 2 2 2
p11 10 10 10 10 10 10
p12 2 2 2 2 2 2
p13 16 10 10 16 16 10
p14 2 2 2 2 2 2
p15 10 16 16 10 10 16
p16 2 2 2 2 2 2
p17 10 10 10 10 10 10
p18 2 2 2 2 2 2
p19 16 28 28 16 16 28
p20 2 2 2 2 2 2
p21 16 4 4 16 16 4
p22 2 2 2 2 2 2
p23 10 28 28 10 10 28
p24 2 2 2 2 2 2
p25 10 10 10 10 10 10
p26 2 2 2 2 2 2

从间距式和邻距式都容易看出，第1,4,5号孪13串完全相同，第2,3,6号孪13串也完全相同，已展示出在向下还原后将变成2种。

yangchuanju · 发表于 2025-8-14 10:50

对8种跨距182的最密孪13串（与510510互素的）向下还原到与30030,2310,210,30互素数系统时其表达式分别为（都只剩2种）——
—— 还原到30030 还原到2310 还原到210 还原到30互素数系统都变成2个完全相同的——
序号 1357# 2468# 1357# 2468# 1357# 2468# 1357# 2468#
p1 29921 29957 2201 2237 101 137 11 17
p2 29923 29959 2203 2239 103 139 13 19
p3 29927 29969 2207 2249 107 149 17 29
p4 29929 29971 2209 2251 109 151 19 31
p5 29957 29987 2237 2267 137 167 47 47
p6 29959 29989 2239 2269 139 169 49 49
p7 29969 29999 2249 2279 149 179 59 59
p8 29971 30001 2251 2281 151 181 61 61
p9 29987 30011 2267 2291 167 191 77 71
p10 29989 30013 2269 2293 169 193 79 73
p11 29999 30029 2279 2309 179 209 89 89
p12 30001 30031 2281 2311 181 211 91 91
p13 30011 30047 2291 2327 191 227 101 107
p14 30013 30049 2293 2329 193 229 103 109
p15 30029 30059 2309 2339 209 239 119 119
p16 30031 30061 2311 2341 211 241 121 121
p17 30047 30071 2327 2351 227 251 137 131
p18 30049 30073 2329 2353 229 253 139 133
p19 30059 30089 2339 2369 239 269 149 149
p20 30061 30091 2341 2371 241 271 151 151
p21 30071 30101 2351 2381 251 281 161 161
p22 30073 30103 2353 2383 253 283 163 163
p23 30089 30131 2369 2411 269 311 179 191
p24 30091 30133 2371 2413 271 313 181 193
p25 30101 30137 2381 2417 281 317 191 197
p26 30103 30139 2383 2419 283 319 193 199

yangchuanju · 发表于 2025-8-14 10:52

将跨距182的与30互素的孪生互素数补齐为19对孪生互素数
各去掉其中的6个特定的孪生互素数对才能变成孪13串的与30互素的互素数表达式——
序 1357# 2468#
1.1 11 17
1.2 13 19
2.1 17 29
2.2 19 31
3.1 去29 去41
3.2 去31 去43
4.1 去41 47
4.2 去43 49
5.1 47 59
5.2 49 61
6.1 59 71
6.2 61 73
7.1 去71 去77
7.2 去73 去79
8.1 77 89
8.2 79 91
9.1 89 去101
9.2 91 去103
10.1 101 107
10.2 103 109
11.1 去107 119
11.2 去109 121
12.1 119 131
12.2 121 133
13.1 去131 去137
13.2 去133 去139
14.1 137 149
14.2 139 151
15.1 149 161
15.2 151 163
16.1 161 去167
16.2 163 去169
17.1 去167 去179
17.2 去169 去181
18.1 179 191
18.2 181 193
19.1 191 197
19.2 193 199

将跨距182的与210互素的孪生互素数补齐为15对孪生互素数
各去掉其中的2个特定的孪生互素数对才能变成孪13串的与210互素的互素数表达式——
序 1357# 2468#
1.1 101 137
1.2 103 139
2.1 107 149
2.2 109 151
3.1 137 167
3.2 139 169
4.1 149 179
4.2 151 181
5.1 167 191
5.2 169 193
6.1 179 去197
6.2 181 去199
7.1 191 209
7.2 193 211
8.1 去197 去221
8.2 去199 去223
9.1 209 227
9.2 211 229
10.1 去221 239
10.2 去223 241
11.1 227 251
11.2 229 253
12.1 239 269
12.2 241 271
13.1 251 281
13.2 253 283
14.1 269 311
14.2 271 313
15.1 281 317
15.2 283 319

将跨距182的与210互素的15对孪生互素数组加上2100并去掉2对与11不互素的互素数对就变成与2310互素的孪13串——
——
序 1357# 2468#
1.1 2201 2237
1.2 2203 2239
2.1 2207 2249
2.2 2209 2251
3.1 2237 2267
3.2 2239 2269
4.1 2249 2279
4.2 2251 2281
5.1 2267 2291
5.2 2269 2293
6.1 2279 去2297
6.2 2281 去2299
7.1 2291 2309
7.2 2293 2311
8.1 去2297 去2321
8.2 去2299 去2323
9.1 2309 2327
9.2 2311 2329
10.1 去2321 2339
10.2 去2323 2341
11.1 2327 2351
11.2 2329 2353
12.1 2339 2369
12.2 2341 2371
13.1 2351 2381
13.2 2353 2383
14.1 2369 2411
14.2 2371 2413
15.1 2381 2417
15.2 2383 2419

yangchuanju · 发表于 2025-8-14 10:53

类似地对6种跨距194的次密孪13串（与510510互素的）向下还原到与30030,2310,210,30互素数系统时其表达式分别为（都只剩2种）——
—— 还原到30030 还原到2310 还原到210 还原到30互素数系统都变成2个完全相同的——
序号 145# 236# 145# 236# 145# 236# 145# 236#
p1 29879 29987 2159 2267 59 167 29 17
p2 29881 29989 2161 2269 61 169 31 19
p3 29891 29999 2171 2279 71 179 41 29
p4 29893 30001 2173 2281 73 181 43 31
p5 29921 30011 2201 2291 101 191 71 41
p6 29923 30013 2203 2293 103 193 73 43
p7 29927 30029 2207 2309 107 209 77 59
p8 29929 30031 2209 2311 109 211 79 61
p9 29957 30047 2237 2327 137 227 107 77
p10 29959 30049 2239 2329 139 229 109 79
p11 29969 30059 2249 2339 149 239 119 89
p12 29971 30061 2251 2341 151 241 121 91
p13 29987 30071 2267 2351 167 251 137 101
p14 29989 30073 2269 2353 169 253 139 103
p15 29999 30089 2279 2369 179 269 149 119
p16 30001 30091 2281 2371 181 271 151 121
p17 30011 30101 2291 2381 191 281 161 131
p18 30013 30103 2293 2383 193 283 163 133
p19 30029 30131 2309 2411 209 311 179 161
p20 30031 30133 2311 2413 211 313 181 163
p21 30047 30137 2327 2417 227 317 197 167
p22 30049 30139 2329 2419 229 319 199 169
p23 30059 30167 2339 2447 239 347 209 197
p24 30061 30169 2341 2449 241 349 211 199
p25 30071 30179 2351 2459 251 359 221 209
p26 30073 30181 2353 2461 253 361 223 211

yangchuanju · 发表于 2025-8-14 10:54

本帖最后由 yangchuanju 于 2025-8-14 13:54 编辑

将跨距194的与30互素的孪生互素数补齐为20对孪生互素数
各去掉其中的7个特定的孪生互素数对（不一定都与7不互素）才能变成孪13串的与30互素的互素数表达式——
序 145# 236#
1.1 29 17
1.2 31 19
2.1 41 29
2.2 43 31
3.1 去47 41
3.2 去49 43
4.1 去59 去47
4.2 去61 去49
5.1 71 59
5.2 73 61
6.1 留77 去71
6.2 留79 去73
7.1 去89 留77
7.2 去91 留79
8.1 去101 留89
8.2 去103 留91
9.1 107 101
9.2 109 103
10.1 留119 去107
10.2 留121 去109
11.1 去131 留119
11.2 去133 留121
12.1 137 留131
12.2 139 留133
13.1 149 去137
13.2 151 去139
14.1 留161 去149
14.2 留163 去151
15.1 去167 留161
15.2 去169 留 163
16.1 179 167
16.2 181 169
17.1 去191 去179
17.2 去193 去181
18.1 197 去191
18.2 199 去193
19.1 209 197
19.2 211 199
20.1 221 209
20.2 223 211

从与210互素的孪生互素数对级数中截取59,61——251,253；167,169——359,361两段跨距194的孪生互素数串，分别含15个孪生互素数对；
再各去掉其中的2个特定的孪生互素数对就能变成孪13串的与210互素的互素数表达式——
59 61 167 169
71 73 179 181
101 103 191 193
107 109 去197 去199
137 139 209 211
149 151 去221 去223
167 169 227 229
179 181 239 241
191 193 251 253
去197 去199 269 271
209 211 281 283
去221 去223 311 313
227 229 317 319
239 241 347 349
251 253 359 361

由210互素数系统向2310,30030互素数系统扩展更为复杂！

yangchuanju · 发表于 2025-8-14 12:12

在与30互素的互素数系统中每个周期共有8个与30互素的互素数：1,7,11,13,17,19,23,29；
在与210互素的互素数系统中每个周期共有48个与210互素的互素数：
1 7 11 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 —— 53 59
61 67 71 73 —— 79 83 89
—— 97 101 103 107 109 113 ——
121 127 131 —— 137 139 —— 149
151 157 —— 163 167 169 173 179
181 187 191 193 197 199 —— 209
其中与30互素但与210不互素的49,77,91,119,133,143,161,203共八数已去掉；
还有互素数中的1,121,169,187,209不是素数。
在与2310互素的互素数系统中每个周期共有480个与2310互素的互素数：
在与30030互素的互素数系统中每个周期共有480*12=5760个与30030互素的互素数：
在与17#=510510互素的互素数系统中每个周期共有5760*16=92160个与17#互素的互素数：
在与19#=9699690互素的互素数系统中每个周期共有92160*18=1658880个与19#互素的互素数：
在与23#=223092870互素的互素数系统中每个周期共有1658880*22=36495360个与23#互素的互素数：
……

在与30互素的互素数系统中每个周期共有3个与30互素的互素数对：11,13；17,19；29,31；
在与210互素的互素数系统中每个周期共有15个与210互素的互素数对：
11,13；17,19；29,31；41,43；59,61；71,73；101,103,；107,109；137,139；149,151；167,169；179,181；191,193；197,199；209,211；
其中167,169；209,211不是孪生素数对。
在与2310互素的互素数系统中每个周期共有135个与2310互素的互素数对：
在与30030互素的互素数系统中每个周期共有1485=3*5*9*11个与30030互素的互素数对：
在与17#=510510互素的互素数系统中每个周期共有22275=1485*15个与17#互素的互素数对：
在与19#=9699690互素的互素数系统中每个周期共有22275*17=378675个与19#互素的互素数对：
在与23#=223092870互素的互素数系统中每个周期共有378675*21=7952175个与23#互素的互素数对：
……
在6以内共有3个素数，1个孪生素数对：3,5；
在30以内共有10个素数，4个孪生素数对：3,5；5,7；11,13；17,19；（29,31不计入30以内）
在210以内共有46个素数，15个孪生素数对；
在2310以内共有343个素数，69个孪生素数对；（2309,2310不计入2310以内）
在30030以内共有3248个素数，468个孪生素数对；
在510510以内共有42331个素数，4636个孪生素数对；
在19#以内共有646029个素数，57453个孪生素数对；
在23#以内共有12283531个素数，896062个孪生素数对；
在29#以内共有300369796个素数，18463713个孪生素数对；
……

yangchuanju · 发表于 2025-8-14 12:13

A000849-19
Number of primes <= product of first n primes, A002110(n).
0, 1, 3, 10, 46, 343, 3248, 42331, 646029, 12283531, 300369796, 8028643010, 259488750744, 9414916809095, 362597750396740, 15397728527812858, 742238179058722891, 40068968501510691894, 2251262473052300960826, 139566579945945392719413
1 1
2 3
3 10
4 46
5 343
6 3248
7 42331
8 646029
9 12283531
10 300369796
11 8028643010
12 259488750744
13 9414916809095
14 362597750396740
15 15397728527812858
16 742238179058722891
17 40068968501510691894
18 2251262473052300960826
19 139566579945945392719413

A000882-15
Number of twin prime pairs <= product of first n primes.
0, 1, 4, 15, 69, 468, 4636, 57453, 896062, 18463713, 425177757, 11997649372, 385088898632, 13280323588034, 509456736126003
1 0
2 1
3 4
4 15
5 69
6 468
7 4636
8 57453
9 896062
10 18463713
11 425177757
12 11997649372
13 385088898632
14 13280323588034
15 509456736126003

A002110-350
Primorial numbers (first definition): product of first n primes. Sometimes written prime(n)#.
1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410, 32589158477190044730, 1922760350154212639070, 117288381359406970983270, 7858321551080267055879090
0 1
1 2
2 6
3 30
4 210
5 2310
6 30030
7 510510
8 9699690
9 223092870
10 6469693230
11 200560490130
12 7420738134810
13 304250263527210
14 13082761331670030
15 614889782588491410
16 32589158477190044730
17 1922760350154212639070
18 117288381359406970983270
19 7858321551080267055879090
20 557940830126698960967415390
……
350

yangchuanju · 发表于 2025-8-19 19:26

在各种连续素数序列中存在有许多只含孪生素数对的素数串（或称孪生素数族、孪生素数群等）。
最小的含三对孪生素数的素数串是5,7,11,13,17,19，笔者简单称其为孪3串。
在研究孪生素数串时常采用与k生素数像类似的方法，用与某数（30,210,2310等）互素的互素数对表示；
在与6互素的孪生互素数系统中，只有一个序列——5,7；11,13；17,19；29,31；41,43；……
可根据首尾孪生素数的不同截取成各种孪串；该序列常常被忽略。

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