如图，已知 AB=BC ，BD=AC ，∠BCD=50°，求 ∠B

shuxuestar

    

shuxuestar

  拓展再拓展，用几何方法试着大伸拳脚，大练武：

shuxuestar

用纯几何方法一样证的干脆爽快！

shuxuestar

用此方法，无论这个已知角50度还是n度，都可以求出顶角其角度。

luyuanhong

谢谢楼上 shuxuestar 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

任在深

开拓，开拓，再开拓！
《中华单位论》是结构数学的基础理论！
咱们就用结构数学证明求解：AB線段等於BC線段，BD線段等於AC線段，角BCD=50度，求角B。
        解：
            由结构数学的理论知：
                 (1) ∠B+∠C+∠D=180°   ---------------这是三角形三内角的结构关系。
            令:∠D=10°,20°,30°,40°,----------经分析其中1°-9°不合题意，50°之后也不符合题意BD=AC.
       已知：∠C=50°,50°,50°,50°
       所以：∠B=120°,110°,100°,90°。
       因此
                (2) ∠B=180°-∠C-∠D
                          =180°-50°-∠D
                          =130°-∠D
     显然(2)式的定义域是：(130°-40°)＜∠B＜(130°-10°)
                                  即：90°＜∠B＜120°
           又(3) C'=(180°-∠B)/2
           所以C '的值域是：(180°-120°)/2＜∠C'＜(180°-90°)/2
                                 即： 30°＜C'＜45°
                              因此： ∠C'=40°
                              因为：∠C'+∠C'=2∠C'=2x40°=80°
                              所以：∠B=180°-2∠C'
                                             =180°-80°
                                             =100°
              ∠B=100°符合定义域，90°＜∠B＜120°
          因此经过结构数学的计算求得∠B=100°正确！


                    欢迎教授，老师和广大网友们批评指正！

                                                                                                                                          谢谢！
      
            

任在深

看来陆老师出的这道题确实很好！
即能用三角函数证明，也能用几何证明，更能用结构数学证明！


                                       谢谢陆老师转载此好题！

王守恩

王守恩 发表于 2017-4-26 11:40
一，等腰三角形ABC，B为顶角，  A,C为底角。
    在等腰线段BA上取BD=AC，则有：
    1，BD在BA内部；

一，等腰三角形ABC，B为顶角，  A,C为底角。
    在等腰线段BA上取BD=AC，则有：
    1，BD在BA内部；
    2，BD=BA；
    3，BD在BA的延长线上。
不管是那种情况，D点都是唯一确定的，D点的位置与底角A,C的角度有关。
二，联系本题，BD在BA的延长线上
    已知：AC=AB+AD
    恒有：sin(2a)≡sin(90 - a)+sin(2a )sin(a - 40)/sin(130 - 2a)
    整理：1=sin(90 - a)/sin(2a)+sin(a - 40)/sin(2a+50)
三，一般地，我们有：
    1≡1/2cosA+sinB/sin(A - B)
   注意：第1个加数是A，第2个加数只是把A分成B与（A - B）,和还是A。
           当A确认后，答案是唯一的。

jzkyllcjl

shuxuestar 的解法比我的设算法好，他使用的是： 做两个辅助圆的逻辑推导方法。但一楼只是特殊的命题。
希望shuxuestar与其他网友使用这个方法，扩充到AB=BC,D在直线AB上， BD==AC的 一般的情形，讨论角BCD在什么情形有解，及其解如何逻辑推出的问题。
例如，在角B等于60度时，角BCD 只能在60度时有解，其它情形都无解，在角B 大于60度时，角BCD必须大于（90度减二分之一角B）而且不能大于90度时，才有解，当角 小于（90度减二分之一角B）时无解；当角B 小于60度时，……；有解时，可以使用shuxuestar 的做辅助圆的解法 去解出 角B与角BCD的关系。

jzkyllcjl

shuxuestar 发表于 2017-4-29 15:10
用此方法，无论这个已知角50度还是n度，都可以求出顶角其角度。

你对50度的研究方法好，对其n度，我在59楼希望你研究，得到好结果。