偶数M表为两个素数和的表法数变化的主要因素——素因子系数 K(m)

愚工688

愚工688 发表于 2019-7-10 13:42
波动系数的实质就是在偶数素对计算值区域下限位置向上的波动幅度。

在小偶数区域，因为相对误差值分布不 ...

这里偶数的下界计算式例：
inf( 20190710000 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190710000 /2 -2)*p(m) ≈ 34484658.8
inf( 20190710002 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190710002 /2 -2)*p(m) ≈ 25913327.4
inf( 20190710004 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190710004 /2 -2)*p(m) ≈ 52015965.8
这里采取的下界计算值相对误差修正值μ=0.1535，适用范围在150亿-250亿之间的偶数。
采取通用的下界计算值相对误差修正值μ=0.21，则计算精度就没有这么高了。可以计算M≥6的任意偶数

愚工688

这里再举一些与波动系数有关的偶数的素数对数据，可以体现出波动系数 K(m)的作用：
M=2×3×5×7=210，k(210)=3.2 ;
M= 200     S(m)= 8     S1(m)= 6    Sp(m)≈ 6.5        δ(m)≈-.1923  K(m)= 1.3333
M= 202     S(m)= 9     S1(m)= 6    Sp(m)≈ 4.9        δ(m)≈-.456   K(m)= 1
M= 204     S(m)= 14    S1(m)= 10   Sp(m)≈ 9.9        δ(m)≈-.2936  K(m)= 2
M= 206     S(m)= 7     S1(m)= 5    Sp(m)≈ 5          δ(m)≈-.2865  K(m)= 1
M= 208     S(m)= 7     S1(m)= 6    Sp(m)≈ 5.5        δ(m)≈-.2139  K(m)= 1.0909
M= 210     S(m)= 19    S1(m)= 17   Sp(m)≈ 16.3       δ(m)≈-.1422  K(m)= 3.2
M= 212     S(m)= 6     S1(m)= 5    Sp(m)≈ 5.1        δ(m)≈-.1429  K(m)= 1
M= 214     S(m)= 8     S1(m)= 7    Sp(m)≈ 5.2        δ(m)≈-.351   K(m)= 1
M= 216     S(m)= 13    S1(m)= 12   Sp(m)≈ 10.5       δ(m)≈-.1936  K(m)= 2
M= 218     S(m)= 7     S1(m)= 6    Sp(m)≈ 5.3        δ(m)≈-.2441  K(m)= 1
M= 220     S(m)= 9     S1(m)= 9    Sp(m)≈ 7.9        δ(m)≈-.1209  K(m)= 1.4815
可以发现偶数210的 S1(m)= 17是邻近K(m)= 1的偶数的S1(m)值的3.2倍上下。

同样波动系数的偶数有420、630、840等。
M= 830     S(m)= 22    S1(m)= 19   Sp(m)≈ 19.6       δ(m)≈-.1078  K(m)= 1.3333
M= 832     S(m)= 22    S1(m)= 18   Sp(m)≈ 16.1       δ(m)≈-.2682  K(m)= 1.0909
M= 834     S(m)= 33    S1(m)= 28   Sp(m)≈ 29.6       δ(m)≈-.1035  K(m)= 2
M= 836     S(m)= 18    S1(m)= 16   Sp(m)≈ 17.4       δ(m)≈-.0308  K(m)= 1.1765
M= 838     S(m)= 17    S1(m)= 15   Sp(m)≈ 14.9       δ(m)≈-.1256  K(m)= 1
M= 840     S(m)= 51    S1(m)= 47   Sp(m)≈ 47.7       δ(m)≈-.0651  K(m)= 3.2
M= 842     S(m)= 18    S1(m)= 15   Sp(m)≈ 14.9       δ(m)≈-.1703  K(m)= 1
M= 844     S(m)= 17    S1(m)= 14   Sp(m)≈ 13.9       δ(m)≈-.1801  K(m)= 1
M= 846     S(m)= 32    S1(m)= 28   Sp(m)≈ 27.9       δ(m)≈-.1268  K(m)= 2
M= 848     S(m)= 15    S1(m)= 14   Sp(m)≈ 14         δ(m)≈-.0663  K(m)= 1
M= 850     S(m)= 25    S1(m)= 22   Sp(m)≈ 20         δ(m)≈-.2014  K(m)= 1.4222

M=2×3×5×7×11=2310，k(2310)≈3.56 ;

M= 2300    S(m)= 49    S1(m)= 44   Sp(m)≈ 40.9       δ(m)≈-.1654  K(m)= 1.3968
M= 2302    S(m)= 32    S1(m)= 30   Sp(m)≈ 29.3       δ(m)≈-.0843  K(m)= 1
M= 2304    S(m)= 68    S1(m)= 62   Sp(m)≈ 58.7       δ(m)≈-.1374  K(m)= 2
M= 2306    S(m)= 34    S1(m)= 31   Sp(m)≈ 29.4       δ(m)≈-.1367  K(m)= 1
M= 2308    S(m)= 34    S1(m)= 32   Sp(m)≈ 29.4       δ(m)≈-.1359  K(m)= 1
M= 2310    S(m)= 114   S1(m)= 107  Sp(m)≈ 104.5      δ(m)≈-.0829  K(m)= 3.5556
M= 2312    S(m)= 35    S1(m)= 31   Sp(m)≈ 31.4       δ(m)≈-.1031  K(m)= 1.0667
M= 2314    S(m)= 40    S1(m)= 35   Sp(m)≈ 32.1       δ(m)≈-.1967  K(m)= 1.0909
M= 2316    S(m)= 66    S1(m)= 59   Sp(m)≈ 59         δ(m)≈-.1066  K(m)= 2
M= 2318    S(m)= 38    S1(m)= 35   Sp(m)≈ 31.2       δ(m)≈-.1778  K(m)= 1.0588
M= 2320    S(m)= 48    S1(m)= 45   Sp(m)≈ 40.8       δ(m)≈-.1493  K(m)= 1.3827
显然，偶数2310的 S1(m)值 107÷30≈3.567，与2310的K(m)值比较接近的。
而107÷59=1.81，与2316的 K(m)之比：3.56/2=1.78 也是很接近的。
这里拿 S1(m)做基准，是因为偶数素对中的S2(m)部分是不具有计算特性的，排除在外。

M=2×3×5×7×11×13=30030，k(30030)≈3.88 ;
M= 30020   S(m)= 318   S1(m)= 310  Sp(m)≈ 326.2      δ(m)≈ .0258  K(m)= 1.4301
M= 30022   S(m)= 240   S1(m)= 237  Sp(m)≈ 243.3      δ(m)≈ .0139  K(m)= 1.0667
M= 30024   S(m)= 470   S1(m)= 461  Sp(m)≈ 459.6      δ(m)≈-.0221  K(m)= 2.0146
M= 30026   S(m)= 223   S1(m)= 216  Sp(m)≈ 228.2      δ(m)≈ .0231  K(m)= 1
M= 30028   S(m)= 237   S1(m)= 233  Sp(m)≈ 228.2      δ(m)≈-.0373  K(m)= 1
M= 30030   S(m)= 905   S1(m)= 891  Sp(m)≈ 885.1      δ(m)≈-.022   K(m)= 3.8788
M= 30032   S(m)= 225   S1(m)= 220  Sp(m)≈ 228.2      δ(m)≈ .0142  K(m)= 1
M= 30034   S(m)= 224   S1(m)= 219  Sp(m)≈ 228.2      δ(m)≈ .0188  K(m)= 1
M= 30036   S(m)= 466   S1(m)= 457  Sp(m)≈ 456.5      δ(m)≈-.0205  K(m)= 2
M= 30038   S(m)= 232   S1(m)= 230  Sp(m)≈ 239.1      δ(m)≈ .0306  K(m)= 1.0476
M= 30040   S(m)= 313   S1(m)= 308  Sp(m)≈ 304.3      δ(m)≈-.0277  K(m)= 1.3333
而30030的 S1(m)值891，÷216=4.13；÷233=3.82；÷220=4.05，都在其 K(m)值3.88的上下不远。

M=2×3×5×7×11×13×17=510510，k(510510)≈4.137 ;
M= 510500  S(m)= 3072  S1(m)= 3058 Sp(m)≈ 3245.4     δ(m)≈ .0565  K(m)= 1.3333
M= 510502  S(m)= 2321  S1(m)= 2312 Sp(m)≈ 2434.1     δ(m)≈ .0487  K(m)= 1
M= 510504  S(m)= 4717  S1(m)= 4692 Sp(m)≈ 4944.9     δ(m)≈ .0483  K(m)= 2.0315
M= 510506  S(m)= 2279  S1(m)= 2265 Sp(m)≈ 2434.1     δ(m)≈ .0681  K(m)= 1
M= 510508  S(m)= 2499  S1(m)= 2488 Sp(m)≈ 2652.9     δ(m)≈ .0616  K(m)= 1.0899
M= 510510  S(m)= 9493  S1(m)= 9442 Sp(m)≈ 10070.8    δ(m)≈ .0609  K(m)= 4.1374
M= 510512  S(m)= 2267  S1(m)= 2253 Sp(m)≈ 2434.1     δ(m)≈ .0737  K(m)= 1
M= 510514  S(m)= 2365  S1(m)= 2356 Sp(m)≈ 2488.2     δ(m)≈ .0521  K(m)= 1.0222
M= 510516  S(m)= 4908  S1(m)= 4880 Sp(m)≈ 5080       δ(m)≈ .035   K(m)= 2.087
M= 510518  S(m)= 2310  S1(m)= 2296 Sp(m)≈ 2434.2     δ(m)≈ .0537  K(m)= 1
M= 510520  S(m)= 3077  S1(m)= 3062 Sp(m)≈ 3245.6     δ(m)≈ .0548  K(m)= 1.3333
偶数510510的 S1(m)= 9442，9442÷4.1374=2282，与邻近的 K(m)= 1的偶数的 S1(m)值相差不大。

因此，波动系数 K(m)值是影响偶数素数对数量的主要因素。
当然即使对偶数的全部素数对S(m)，波动系数 K(m)值的作用也是基本相似的，各位可以自行计算一下。

重生888@

预计偶数30060的素数对真值在570左右；偶数510540的素数对真值在5700左右。只有这样才回到相差2  4  6  8   10.....等的和谐次序，不会是905  与9493与其他相差那么多。

愚工688

重生888@ 发表于 2019-8-6 01:56
预计偶数30060的素数对真值在570左右；偶数510540的素数对真值在5700左右。只有这样才回到相差2  4  6  8   ...

M= 30060   S(m)= 616   S1(m)= 609  Sp(m)≈ 612.8      δ(m)≈-.0052  K(m)= 2.6828
M= 30062   S(m)= 231   S1(m)= 227  Sp(m)≈ 228.4      δ(m)≈-.0111  K(m)= 1
M= 30064   S(m)= 231   S1(m)= 227  Sp(m)≈ 228.4      δ(m)≈-.0111  K(m)= 1

231× 2.6828=619.7 ，与 616是否很接近？
你的570的相对误差；δ(30060）≈-0.07468；没有连乘式的好。

G(510540) = 6310；
与你的5700的差距还是比较大的。δ(510540)≈-0.09667，

愚工688

愚工688 发表于 2019-8-6 11:59
M= 30060   S(m)= 616   S1(m)= 609  Sp(m)≈ 612.8      δ(m)≈-.0052  K(m)= 2.6828
M= 30062   S ...

我对他的公式没有读懂，我认为他的公式只是根据尾数来确定系数而不是依据含有的素因子确定系数有比较大的片面性。
当然，我不是拿他的计算值与哈李公式比较，而是与真值比较，才能得到真实的相对误差。
因为哈李公式的计算值也是有一定的相对误差的。与哈李公式比较没有多大的意思。

愚工688

对于素因子系数比较大的偶数，与素对数其邻近偶数素对低位值之比，接近其波动系数值：
M=2×3×5×7×11×13×17×19=9699690，k(9699690)≈4.3807 ;
G(9699690) = 124180
G(9699692) = 28588
G(9699694) = 28853
G(9699696) = 56629
G(9699698) = 31437
count = 5, algorithm = 2, working threads = 2, time use 0.004 sec （与筛选10个连续偶数的时间相同）
124180/28853=4.304 ，与4.3807之比=0.9825，相差稍微大些。
（ 9699692 = 2 * 2 * 109 * 22247 ，素因子系数=108/107=1.0093，4.304*1.0093=4.344，与4.3807之比=0.9916，相差就比较小了）

M=2×3×5×7×11×13×17×19×23=223092870，k(223092870)≈4.5894 ;
G(223092860) = 610119
G(223092862) = 447410
G(223092864) = 921617
G(223092866) = 446055
G(223092868) = 445835
G(223092870) = 2044847
G(223092872) = 446240
G(223092874) = 446073
G(223092876) = 895055
G(223092878) = 451829
count = 10, algorithm = 2, working threads = 2, time use 0.040 sec
2044847/445835=4.587，与4.5894 很接近。

M=2×3×5×7×11×13×17×19×23×29=6469693230，k(6469693230)≈4.7593 ;
G(6469693220) = 12254201
G(6469693222) = 9229368
G(6469693224) = 18386086
G(6469693226) = 9475530
G(6469693228) = 9191850
G(6469693230) = 43755729
G(6469693232) = 9193332
G(6469693234) = 9191350
G(6469693236) = 18860135
G(6469693238) = 9453440
count = 10, algorithm = 2, working threads = 2, time use 1.755 sec
43755720/9191850=4.760；几乎与4.7593相同。

重生888@

愚工688 发表于 2019-8-6 21:42
对于素因子系数比较大的偶数，与素对数其邻近偶数素对低位值之比，接近其波动系数值：
M=2×3×5×7×11× ...

我看出你的K（m）有预测功能，（发帖没回），4.304*107/108=4.344
9699690符合，9699720可能也符合：但我计算是70228，加10/100  是78031，您的K（m）应不是4点几。

重生888@

重生888@ 发表于 2019-8-6 23:58
我看出你的K（m）有预测功能，（发帖没回），4.304*107/108=4.344
9699690符合，9699720可能也符合：但 ...

我的公式不用分解质因数，不用知道素数个数，大小、前后，见什么算什么；精确度，正如愚工先生说的，在百分之十左右。但优于哈-李公式！我一再说计算不是证明哥猜，证明哥猜靠0+0=1的理论证明！

愚工688

重生888@ 发表于 2019-8-6 15:58
我看出你的K（m）有预测功能，（发帖没回），4.304*107/108=4.344
9699690符合，9699720可能也符合：但 ...

看不懂是什么意思。

白新岭

愚工688先生对哈代公式的理解不是常人可以比的，所以能够找到和提出：素数因子系数k（m）。
不知道愚工688是否知道造成偶数素数对与哈代公式的计算值不符的原因。
从哈代公式反推可以得到哈代公式的另一种形式：系数*偶数前素数个数的平方/偶数，这里的系数与哈代公式中的一样，把素数定理带进去可以互相转化（声明：愚工688一直认可是陈君佐的Zuo(N) ~ C(N)* π(N)^2/N ）的，在愚工提到的陈君佐的式子里可以看出，偶数素数对与偶数前素数个数的平方成正比例关系，与偶数本身成反比例关系，实际上陈君佐的式子比较客观的反应了偶数的素数对（只是比实际值大的情况比较多），它可以从一个侧面反应哈代公式计算值偏小，因为素数定理给出的素数个数比实际值要少，这是主要原因，还有一个原因就是，它采用了拉曼纽扬系数，为一个极限值，是比相对偶数本身含的因数大的多，而具体问题需要具体分析，就像愚工688那样，取到根号前（实际根号后的因子对偶数素数对不影响），而哈代公式是取所有素数因子（包括素数2在内），这样哈代公式中的系数与实际偶数素数对中的系数是偏小的。所以可以根据具体范围适当调高系数值，以保证偶数素数对与实际偶数素数对达到完美一致（这只是一种数学措施，并不能改变素数出现的完美性，即不会改变素数模任何一个奇素数的不同余数数量一致，素数2只有一种余数，那就是1，没有比较性；其余奇素数都有可比性，如模3的余数1或2，至始至终都不能保证它们的数量完全一致，虽然没有人知道它们的数量比是多少，但是可以确定它们正负偏差不会超过5%，永远不会是1，但是理论上只能按1:1去分析）。