请教陆老师一个关于射影几何的问题

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/04/13 01:43pm 第 1 次编辑]

下面引用由天茂在 2012/04/13 00:04pm 发表的内容：
既然射影变换不能将直线变成曲线，说明射影变换只会发生缩放、平移、旋转、倾斜，而不会发生扭曲。那么，说射影变换只能将平面截线变成平面截线，而不会变成非平面截线，这难道还有问题吗？
陆老师能否举出一例：通过射影变换，使平面图形变成立体图形。

射影平面本来就是一个平面，射影变换就是在这个平面中的变换。
所以，射影变换只能把平面变成平面，不能把平面变成立体图形。
只有通过拓扑变换，才能把射影平面变成立体的闭曲面。
实际情况如下图所示：
【射影平面】→→→→射影变换→→→→【另一个射影平面】
      ↓                                     ↓
    拓扑变换                              拓扑变换
      ↓                                     ↓
【立体闭曲面】                      【另一个立体闭曲面】
从间接来说，也可以认为射影变换将一个立体闭曲面变成了另一个立体闭曲面。

天茂

欧氏平面——二维；
射影平面——四维；
射影平面的表示法——三维。
请问陆老师：我们应该如何来定义平面？

天茂

下面引用由luyuanhong在 2012/04/13 01:25pm 发表的内容：
射影平面本来就是一个平面，射影变换就是在这个平面中的变换。
所以，射影变换只能把平面变成平面，不能把平面变成立体图形。
只有通过拓扑变换，才能把射影平面变成立体的闭曲面。
实际情况如下图所示：
...

既然射影变换不能将平面图形变成立体图形，那么，说“射影变换只能将平面截线变成平面截线”应该是有道理的了。

luyuanhong

下面引用由天茂在 2012/04/13 07:47pm 发表的内容：
欧氏平面——二维；
射影平面——四维；
射影平面的表示法——三维。
请问陆老师：我们应该如何来定义平面？

下面是我从维基百科（Wikipedia）查到的结果：

luyuanhong

下面引用由天茂在 2012/04/13 10:10pm 发表的内容：
既然射影变换不能将平面图形变成立体图形，那么，说“射影变换只能将平面截线变成平面截线”应该是有道理的了。

射影平面，在未作拓扑变换以前，是一个非立体的平面。
射影变换，是在这样一个未作拓扑变换的、非立体的射影平面中的变换。
射影变换，只能把一个非立体的平面，变成另一个非立体的平面。
而要得到平面截线，必须通过拓扑变换，把一个非立体的射影平面，变成一个立体的
闭曲面图像，然后用一个空间平面，与这个拓扑变形的立体的闭曲面图像相交，才能
截得一条平面截线。
由此可见，平面截线，是拓扑变形后的得到的东西，是在立体的闭曲面图像上的曲线，
对于只在未作拓扑变换的、非立体的射影平面中作变换的射影变换来说，不可能用它
去处理拓扑变形后的、立体的闭曲面上的平面截线。
所以，说“射影变换只能将平面截线变成平面截线”，是没有道理的。

天茂

请教陆老师：严格说来，射影平面应该属于二维、三维还是四维？

luyuanhong

下面引用由天茂在 2012/04/14 11:30pm 发表的内容：
请教陆老师：严格说来，射影平面应该属于二维、三维还是四维？

射影平面本身，是一个二维的平面。
它可以在三维空间中，拓扑变形成为一个封闭的、有自相交的闭曲面。
它也可以在四维空间中，拓扑变形成为一个封闭的、没有自相交的闭曲面。
严格说来，拓扑变形后的射影平面，已经不是射影平面了，只不过是
射影平面的示意图而已。就像地球表面，本来是球面，我们将它变形后，
画到平面的地图上，严格说来，平面地图上的地球面，不是地球表面，
只不过是地球表面的示意图而已。

天茂

下面引用由luyuanhong在 2012/04/14 11:54pm 发表的内容：
射影平面本身，是一个二维的平面。
它可以在三维空间中，拓扑变形成为一个封闭的、有自相交的闭曲面。
它也可以在四维空间中，拓扑变形成为一个封闭的、没有自相交的闭曲面。
严格说来，拓扑变形后的射影平面，　...

您的这个说法，很令人信服。
再请教陆老师一个问题：严格说来，莫比乌斯带是一个二维图形呢，还是三维图形？

luyuanhong

下面引用由天茂在 2012/04/15 04:59pm 发表的内容：
您的这个说法，很令人信服。
再请教陆老师一个问题：严格说来，莫比乌斯带是一个二维图形呢，还是三维图形？

莫比乌斯带是一个在三维空间中的二维曲面。

天茂

下面引用由luyuanhong在 2012/04/15 05:24pm 发表的内容：
莫比乌斯带是一个在三维空间中的二维曲面。

那么，把莫比乌斯带的（一条）边以恰当的方向黏合，得到的射影平面，至少也应该是三维空间中的二维曲面，对吧？