[推荐]非标准分析

jzkyllcjl

下面引用由zighouse在 2012/12/15 08:15pm 发表的内容：
斗胆地问一句，怎么理解“无穷集合不是完成了的整体”？

定义3.1(自然数的标准序列)  将自然数按照从小到大的顺序排列，得到的序列
0，1，2，3，…， 11，…，n，n+1，……           (1)
叫做自然数的标准序列。
定义3.2(全能近似自然数集合序列) 根据式(1)，可以提出以集合为元素的如下无穷序列
{0},{0,1},{0,1,2},…,{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}，……     (2)
含有足够多自然数的集合叫做足够大自然数集合；序列(2)叫做全能近似自然数集合序列。
公理3.1(理想自然数集合)  全能近似自然数集合序列(2)有且只有一个理想性质的极限集合，这个集合叫做理想自然数集合。理想自然数集合可以表示为
{0，1，2，3，…，9，10，11，…，99，100，101，…… }      (3)
这个集合是使用极限思想构造的；但它又是不能构造完毕的理想集合。依照习惯，可以用符号 表示这个集合。
显然，理想自然数集合是元素个数无限增加着的、具有动态性质的、且无上界的、人们不能写完其所有元素的、不能被人们构造完毕的理想集合。
定义3.3(有穷集合)  可以用自然数表示其元素个数的集合，叫做有穷集合。
定义3.4(无穷集合)  使用序列极限公理方法给出理想集合的元素个数，是这个序列中各个集合元素个数序列的极限。若这个极限是非正常理想实数 ，则称这个理想集合的元素个数为理想无穷大，并称具有这种性质的集合为无穷集合。
根据这个定义，理想自然数集合是一个无穷集合。由于无穷集合的元素个数是非正常理想实数 ，它与有穷集合之间有许多不同的性质（例如无穷集合可以与其真子集对等），所以我们又称无穷集合为一类非正常集合。

zighouse

下面引用由jzkyllcjl在 2012/12/12 05:07pm 发表的内容：
你说“没有伦次”就没有伦次了？！你不讲理！
我说：“实际上随着n的无限变大时，数列{1/n}中的1/n可以小于任何确定的正数。”你怎么反对这个事实？

在讲述超越数时引入的符号 [1/n] 并不是您所说的数列{1/n}中的 1/n。这有本质的区别。
如果您能理解数列 {1/n} 中的 1/n 可以任意地小的话，您也可以试着去理解 {1/n^2}中的 1/n^2 也可以任意地小，于是您可以进一步理解 1/n^2 比 1/n 更小。如果把 {1/n} 中的最后一个数（权当假设有最后一个数的话－－当然也是确定的正数）与 {1/n^2} 中的最后一个数进行比较或者参与运算的话，你对实数就会有新的理解了。

zighouse

下面引用由jzkyllcjl在 2012/12/15 09:00pm 发表的内容：
定义3.1(自然数的标准序列)  将自然数按照从小到大的顺序排列，得到的序列
0，1，2，3，…， 11，…，n，n+1，……           (1)
叫做自然数的标准序列。
定义3.2(全能近似自然数集合序列) 根据式(1)，可以提出 ...

“定义3.1”就是一个不能理解的定义。由于您的理论是一个全新的理论，所以有必要增加新的定义以明确这三个概念才能理解“定义3.1”：“自然数”、“从小到大的顺序”、“序列”。

jzkyllcjl

下面引用由zighouse在 2012/12/15 09:05pm 发表的内容：
在讲述超越数时引入的符号  并不是您所说的数列{1/n}中的 1/n。这有本质的区别。
如果您能理解数列 {1/n} 中的 1/n 可以任意地小的话，您也可以试着去理解 {1/n^2}中的 1/n^2 也可以任意地小，于是您可以进一步　...

但是，{1/n} 中没有最后一个数！

jzkyllcjl

下面引用由zighouse在 2012/12/15 09:11pm 发表的内容：
“定义3.1”就是一个不能理解的定义。由于您的理论是一个全新的理论，所以有必要增加新的定义以明确这三个概念才能理解“定义3.1”：“自然数”、“从小到大的顺序”、“序列”。

“自然数”及其“从小到大的顺序”和“序列”都是现行教科书已有的概念。

zighouse

下面引用由jzkyllcjl在 2012/12/13 09:44am 发表的内容：
elimqiu:请问： 随着n的无限变大时，数列{1/n}中的1/n不能小于哪个确定的正数？
小于数列{1/n}中所有的1/n的数不存在！

还是那个您可能能够理解的列子：
考察一下两个数列 {1/n; n=2,3,...} 与 {1/n^2; n=2,3,...}，您会发现对应于相同的 n (n=2,3,...)，第二个集合的中每一项都比第一个集合中的对应项要小，所以，假设（对您来说权当假设一下是可取的策略）这两个数列都拥有最后一个正数的话，理所当然地第二个集合的最后一个正数（姑且记为 [1/N^2]）比第一个集合的最后一个正数（姑且记为 [1/N]）要小。所以最起码地，[1/N^2] 就是一个这样的正数。
* [1/N^2], [1/N] 等只是两个方便的记号，对于研究数学的您，记号应该不是关键所在，您懂的。如果您觉得不方便的话，可以试着换成别的任何记号。

zighouse

下面引用由jzkyllcjl在 2012/12/15 09:16pm 发表的内容：
“自然数”及其“从小到大的顺序”和“序列”都是现行教科书已有的概念。

真不好意思，因为上学时没有用功，教科书上的概念已经忘记了，想来教科书上应该没有“定义3.1”吧？

jzkyllcjl

下面引用由zighouse在 2012/12/15 09:44pm 发表的内容：
真不好意思，因为上学时没有用功，教科书上的概念已经忘记了，想来教科书上应该没有“定义3.1”吧？

不能绝对的说：现行教科书中没有我的定义3.1，但是说明定义3.2，提出定义3.1是需要的。

elimqiu

对jzkyllcjl是没有办法讨论问题的。他教不了别人，自己也不是可以教育好的。拿庸俗的实践来谈数学，到现在还搞不定 0.333....,  说是写不完。基本上就停在那里，不会再长进了。我希望 jzkyllcjl 不要在这里推销他的返祖言论。

jzkyllcjl

下面引用由elimqiu在 2012/12/15 02:58pm 发表的内容：
对jzkyllcjl是没有办法讨论问题的。他教不了别人，自己也不是可以教育好的。拿庸俗的实践来谈数学，到现在还搞不定 0.333....,  说是写不完。基本上就停在那里，不会再长进了。我希望 jzkyllcjl 不要在这里推销　...

你能把无尽小数0.333……中的3写完吗？写不完的事实应当承认。