合成方法论群论的兄弟篇

白新岭

a        b        101周        102周        103周        104周
6        -6        600        606        612        618
1        0        101        102        103        104
2        -2        200        202        204        206
6        -4        602        608        614        620
3        -1        302        305        308        311
3        -2        301        304        307        310
4        -2        402        406        410        414
3        0        303        306        309        312
2        -2        200        202        204        206
6        -2        604        610        616        622
2        0        202        204        206        208
2        0        202        204        206        208
4        -2        402        406        410        414
3        0        303        306        309        312
1        -1        100        101        102        103
4        0        404        408        412        416
2        0        202        204        206        208
3        -2        301        304        307        310
2        0        202        204        206        208
2        0        202        204        206        208
3        -1        302        305        308        311
64        -27        6437        6501        6565        6629

白新岭

101周        -6        -2        0        2        4        6
10504        10498        10502        10504        10506        10508        10510
10510        10504        10508        10510        10512        10514        10516
10513        10507        10511        10513        10515        10517        10519
10519        10513        10517        10519        10521        10523        10525
10525        10519        10523        10525        10527        10529        10531
10528        10522        10526        10528        10530        10532        10534
10534        10528        10532        10534        10536        10538        10540
10540        10534        10538        10540        10542        10544        10546
10543        10537        10541        10543        10545        10547        10549
10549        10543        10547        10549        10551        10553        10555
10555        10549        10553        10555        10557        10559        10561
10558        10552        10556        10558        10560        10562        10564
10564        10558        10562        10564        10566        10568        10570
10570        10564        10568        10570        10572        10574        10576
10573        10567        10571        10573        10575        10577        10579
10579        10573        10577        10579        10581        10583        10585
10585        10579        10583        10585        10587        10589        10591
10588        10582        10586        10588        10590        10592        10594
10594        10588        10592        10594        10596        10598        10600
10600        10594        10598        10600        10602        10604        10606
10603        10597        10601        10603        10605        10607        10609
加减量        -6        -2        0        2        4        6
合成量        1        2        2        1        2        1
600        600        1200        1200        600        1200        600
101        101        202        202        101        202        101
200        200        400        400        200        400        200
602        602        1204        1204        602        1204        602
302        302        604        604        302        604        302
301        301        602        602        301        602        301
402        402        804        804        402        804        402
303        303        606        606        303        606        303
200        200        400        400        200        400        200
604        604        1208        1208        604        1208        604
202        202        404        404        202        404        202
202        202        404        404        202        404        202
402        402        804        804        402        804        402
303        303        606        606        303        606        303
100        100        200        200        100        200        100
404        404        808        808        404        808        404
202        202        404        404        202        404        202
301        301        602        602        301        602        301
202        202        404        404        202        404        202
202        202        404        404        202        404        202
302        302        604        604        302        604        302
自然数        统计2
10498        600
10499        0
10500        0
10501        0
10502        1200
10503        0
10504        1301
10505        0
10506        600
10507        200
10508        1402
10509        0
10510        802
10511        400
10512        101
10513        1002
10514        202
10515        200
10516        101
10517        1604
10518        0
10519        1706
10520        0
10521        602
10522        301
10523        1808
10524        0
10525        1206
10526        602
10527        302
10528        1004
10529        604
10530        301
10531        302
10532        1406
10533        0
10534        1408
10535        0
10536        402
10537        200
10538        1410
10539        0
10540        1008
10541        400
10542        303
10543        1004
10544        606
10545        200
10546        303
10547        1608
10548        0
10549        1610
10550        0
10551        604
10552        202
10553        1612
10554        0
10555        1008
10556        404
10557        202
10558        806
10559        404
10560        202
10561        202
10562        1208
10563        0
10564        1309
10565        0
10566        402
10567        100
10568        1410
10569        0
10570        1008
10571        200
10572        303
10573        604
10574        606
10575        100
10576        303
10577        1008
10578        0
10579        1110
10580        0
10581        404
10582        301
10583        1212
10584        0
10585        808
10586        602
10587        202
10588        804
10589        404
10590        301
10591        202
10592        1006
10593        0
10594        907
10595        0
10596        202
10597        302
10598        808
10599        0
10600        606
10601        604
10602        202
10603        604
10604        404
10605        302
10606        202
10607        604
10608        0
10609        302

白新岭

105周期        统计
3        0
5        0
9        0
18        0
20        0
24        0
33        0
35        0
39        0
48        0
50        0
54        0
63        0
65        0
69        0
78        0
80        0
84        0
93        0
95        0
99        0
相对条件3,5,7的三元数（0,2,6）不能表示上述21类自然数（模105的剩余类）.

白新岭

模105合成数        -6        -2        0        2        4        6
109        103        107        109        111        113        115
10        4        8        10        12        14        16
13        7        11        13        15        17        19
19        13        17        19        21        23        25
25        19        23        25        27        29        31
28        22        26        28        30        32        34
34        28        32        34        36        38        40
40        34        38        40        42        44        46
43        37        41        43        45        47        49
49        43        47        49        51        53        55
55        49        53        55        57        59        61
58        52        56        58        60        62        64
64        58        62        64        66        68        70
70        64        68        70        72        74        76
73        67        71        73        75        77        79
79        73        77        79        81        83        85
85        79        83        85        87        89        91
88        82        86        88        90        92        94
94        88        92        94        96        98        100
100        94        98        100        102        104        106
103        97        101        103        105        107        109
不用中项，直接用满足条件的三元数（0,2,6），合成数分布。（上楼把不能覆盖的自然数类已经列出）。

白新岭

105周期        统计
1        1
6        1
7        1
11        1
12        1
14        1
15        1
16        1
21        1
22        1
26        1
27        1
29        1
30        1
31        1
36        1
37        1
41        1
42        1
44        1
45        1
46        1
51        1
52        1
56        1
57        1
59        1
60        1
61        1
66        1
67        1
71        1
72        1
74        1
75        1
76        1
81        1
82        1
86        1
87        1
89        1
90        1
91        1
96        1
97        1
101        1
102        1
104        1
105        1
只有一个中项和有关联数。

白新岭

105周期        统计
2        2
8        2
10        2
13        2
17        2
23        2
25        2
28        2
32        2
38        2
40        2
43        2
47        2
53        2
55        2
58        2
62        2
68        2
70        2
73        2
77        2
83        2
85        2
88        2
92        2
98        2
100        2
103        2
有两个中项和关联数。

白新岭

105周期        统计
4        3
19        3
34        3
49        3
64        3
79        3
94        3
与三个中项和关联数。

白新岭

哥德巴赫猜想 （世界近代三大数学难题之一）
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哥德巴赫1742年在给欧拉的信中提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和 [1]  。但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明。 [2]  因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。(n>5：当n为偶数，n=2+(n-2)，n-2也是偶数，可以分解为两个质数的和；当n为奇数，n=3+(n-3)，n-3也是偶数，可以分解为两个质数的和)欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。

今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。

从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出：任何一个大于7的奇数都能被表示成三个奇质数的和。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。2013年5月，巴黎高等师范学院研究员哈洛德·贺欧夫各特发表了两篇论文，宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想。





中文名哥德巴赫猜想 外文名Goldbach conjecture 提出者哥德巴赫 所属领域数学 提出时间1742年 别    名“强哥德巴赫猜想”和“弱哥德巴赫猜想”


目录

1 猜想提出
2 研究途径
3 研究历史

   


猜想提出

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1742年，哥德巴赫给欧拉的信中提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和。但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，然而一直到死，欧拉也无法证明。

因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，哥德巴赫猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。(n>5：当n为偶数，n=2+(n-2)，n-2也是偶数，可以分解为两个质数的和；当n为奇数，n=3+(n-3)，n-3也是偶数，可以分解为两个质数的和)。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a的个数与另一个素因子不超过b的个数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。

今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。

从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出：任何一个大于7的奇数都能被表示成三个奇质数的和。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。2013年5月，巴黎高等师范学院研究员哈洛德·贺欧夫各特发表了两篇论文，宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想。

   


研究途径

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研究偶数的哥德巴赫猜想的四个途径。这四个途径分别是：殆素数，例外集合，小变量的三素数定理以及几乎哥德巴赫问题。

殆素数

殆素数就是素因子个数不多的正整数。现设N是偶数，虽然不能证明N是两个素数之和，但足以证明它能够写成两个殆素数的和，即N=A+B，其中A和B的素因子个数都不太多，譬如说素因子个数不超过10。用“a+b”来表示如下命题：每个大偶数N都可表为A+B，其中A和B的素因子个数分别不超过a和b。显然，哥德巴赫猜想就可以写成"1+1"。在这一方向上的进展都是用所谓的筛法得到的。

“a + b”问题的推进

1920年，挪威的布朗证明了“9 + 9”。

1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。

1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。

1937年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。

1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。

1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。

1956年，中国的王元证明了“3 + 4”。稍后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。

1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+ c”，其中c是一很大的自然数。

1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”， 中国的王元证明了“1 + 4”。

1965年，苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。

1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。

例外集合

在数轴上取定大整数x，再从x往前看，寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数，即例外偶数。x之前所有例外偶数的个数记为E(x)。我们希望，无论x多大，x之前只有一个例外偶数，那就是2，即只有2使得猜想是错的。这样一来，哥德巴赫猜想就等价于E(x)永远等于1。当然，还不能证明E(x)=1；但是能够证明E(x)远比x小。在x前面的偶数个数大概是x/2；如果当x趋于无穷大时，E(x)与x的比值趋于零，那就说明这些例外偶数密度是零，即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。这就是例外集合的思路。

维诺格拉多夫的三素数定理发表于1937年。第二年，在例外集合这一途径上，就同时出现了四个证明，其中包括华罗庚先生的著名定理。

业余搞哥德巴赫猜想的人中不乏有人声称“证明”了哥德巴赫猜想在概率意义下是对的。实际上他们就是“证明”了例外偶数是零密度。这个结论华罗庚早在60年前就已真正证明出来。

三素数定理

我们可以把这个问题反过来思考：如果偶数的哥德巴赫猜想正确，那么奇数的猜想也正确。已知奇数N可以表成三个素数之和，假如又能证明这三个素数中有一个非常小，譬如说第一个素数可以总取3，那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想。这个思想促使潘承洞先生在1959年，25岁时，研究有一个小素变数的三素数定理。这个小素变数不超过N的θ次方。我们的目标是要证明θ可以取0，即这个小素变数有界，从而推出偶数的哥德巴赫猜想。潘承洞先生首先证明θ可取1/4。后来的很长一段时间内，这方面的工作一直没有进展，直到1995年展涛教授把潘老师的定理推进到7/120。这个数已经比较小了，但是仍然大于0。

几乎哥德巴赫问题

1953年，林尼克发表了一篇长达70页的论文。在文中，他率先研究了几乎哥德巴赫问题，证明了，存在一个固定的非负整数k，使得任何大偶数都能写成两个素数与k个2的方幂之和。这个定理，看起来好像丑化了哥德巴赫猜想，实际上它是非常深刻的。我们注意，能写成k个2的方幂之和的整数构成一个非常稀疏的集合；事实上，对任意取定的x，x前面这种整数的个数不会超过log x的k次方。因此，林尼克定理指出，虽然我们还不能证明哥德巴赫猜想，但是我们能在整数集合中找到一个非常稀疏的子集，每次从这个稀疏子集里面拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去，这个表达式就成立。这里的k用来衡量几乎哥德巴赫问题向哥德巴赫猜想逼近的程度，数值较小的k表示更好的逼近度。显然，如果k等于0，几乎哥德巴赫问题中2的方幂就不再出现，从而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。

林尼克1953年的论文并没有具体定出k的可容许数值，此后四十多年间，人们还是不知道一个多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的论证，这个k应该很大。1999年，作者与廖明哲及王天泽两位教授合作，首次定出k的可容许值54000。这第一个可容许值后来被不断改进。其中有两个结果必须提到，即李红泽、王天泽独立地得到k=2000。最好的结果k=13是英国数学家希思-布朗(D. R. Heath-Brown)和德国数学家普赫塔(Puchta)合作取得的，这是一个很大的突破。

   


研究历史

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华罗庚是中国最早从事哥德巴赫猜想的数学家。1936～1938年，他赴英留学，师从哈代研究数论，并开始研究哥德巴赫猜想，验证了对于几乎所有的偶数猜想。

1950年，华罗庚从美国回国，在中科院数学研究所组织数论研究讨论班，选择哥德巴赫猜想作为讨论的主题。参加讨论班的学生，例如王元、潘承洞和陈景润等在哥德巴赫猜想的证明上取得了相当好的成绩。

1956年，王元证明了“3+4”；同年，原苏联数学家阿·维诺格拉朵夫证明了“3+3”；1957年，王元又证明了“2+3”；潘承洞于1962年证明了“1+5”；1963年，潘承洞、巴尔巴恩与王元又都证明了“1+4”；1966年，陈景润在对筛法作了新的重要改进后，证明了“1+2”，即他证明了任何一个充分大的偶数，都可以表示为两个数之和，其中一个是素数，另一个或为素数，或为两个素数的乘积，被称为“陈氏定理”。 [3]  

独木星空谁

偶数        相同记录数        判断
92712        16        1
94410        10        1
96090        6        1
96342        2        1
96912        5        1
96972        3        1
96990        2        1
97122        6        1
97302        5        1
97374        3        1
97644        4        1
98112        6        1
98172        4        1
98238        4        2
98250        1        1
98298        2        1
98382        3        1
98442        1        1
98490        4        1
98502        1        1
98574        2        1
98592        3        1
98670        4        1
98712        1        1
98730        2        1
98760        2        1
98772        2        1
98880        2        1
98922        3        1
98940        3        1
98952        4        1
98970        4        1
98982        4        1
99012        5        1
99030        2        1
99090        1        1
99102        1        1
99132        3        1
99150        1        1
99162        4        1
99222        2        1
99240        3        1
99258        2        1
99300        2        1
99312        3        1
99450        2        1
99474        1        2
99510        1        4
99522        2        1
99564        2        1
99582        1        1
99594        2        1
99618        1        1
99642        1        3
99660        1        1
99720        1        8
99762        1        1
99792        1        1
99828        1        1
这是10万内，二生素数(0,38)的中项差间断点后位数。

独木星空谁

偶数        相同记录数
0        1290
6        42
12        101
18        99
24        62
30        146
36        52
42        140
48        90
54        57
60        201
66        78
72        112
78        114
84        76
90        138
96        39
102        132
108        112
114        44
120        126
126        82
132        122
138        101
144        60
150        186
156        48
162        80
168        161
174        55
180        129
186        68
192        145
198        102
204        55
210        228
216        49
222        107
228        135
234        69
240        135
246        49
252        157
258        96
264        58
270        199
276        67
282        92
288        100
294        67
300        140
306        56
312        149
318        125
324        59
330        179
336        93
342        87
348        91
354        61
360        177
366        38
372        85
378        152
384        43
390        176
396        74
402        151
408        103
414        46
420        210
426        46
432        84
438        118
444        58
450        123
456        63
462        190
468        130
474        38
480        216
486        58
492        96
498        94
504        74
510        158
516        42
522        144
528        146
534        51
540        138
546        81
552        96
558        100
564        58
570        174
576        35
582        105
588        151
594        56
600        141
606        63
612        145
618        79
624        56
630        220
636        47
642        96
648        120
654        71
660        161
666        53
672        144
678        92
684        53
690        188
696        70
702        102
708        101
714        104
720        143
726        50
732        138
738        123
744        53
750        128
756        67
762        91
768        90
774        62
780        225
786        49
792        123
798        161
804        43
810        131
816        67
822        110
828        79
834        36
840        218
846        57
852        102
858        190
864        62
870        153
876        44
882        132
888        77
894        37
900        171
906        62
912        99
918        101
924        107
930        152
936        58
942        124
948        135
954        44
960        121
966        89
972        87
978        91
984        56
990        220
996        48
1002        97
1008        142
1014        50
1020        154
1026        57
1032        121
1038        81
1044        43
1050        272
1056        48
1062        98
1068        111
1074        64
1080        138
1086        43
1092        187
1098        87
1104        41
1110        200
1116        54
1122        124
1128        94
1134        79
1140        137
1146        46
1152        116
1158        122
1164        40
1170        160
1176        70
1182        114
1188        108
1194        55
1200        182
1206        34
1212        87
1218        161
1224        55
1230        106
1236        61
1242        124
1248        116
1254        70
1260        250
1266        31
1272        97
1278        133
1284        42
1290        147
1296        43
1302        161
1308        75
1314        56
1320        204
1326        100
1332        93
1338        110
1344        68
1350        119
1356        39
1362        118
1368        114
1374        53
1380        147
1386        88
1392        112
1398        97
1404        69
1410        169
1416        40
1422        81
1428        153
1434        36
1440        125
1446        63
1452        138
1458        103
1464        53
1470        237
1476        42
1482        101
1488        120
1494        53
1500        144
1506        41
1512        155
1518        129
1524        47
1530        188
1536        50
1542        87
1548        105
1554        70
1560        164
1566        42
1572        126
1578        126
1584        46
1590        146
1596        67
1602        93
1608        83
1614        52
1620        183
1626        47
1632        95
1638        160
1644        51
1650        182
1656        67
1662        132
1668        77
1674        46
1680        206
1686        52
1692        82
1698        121
1704        68
1710        152
1716        78
1722        161
1728        95
1734        45
1740        176
1746        55
1752        88
1758        86
1764        80
1770        122
1776        47
1782        163
1788        126
1794        59
1800        134
1806        74
1812        83
1818        75
1824        66
1830        175
1836        48
1842        80
1848        182
1854        53
1860        156
1866        61
1872        125
1878        90
1884        52
1890        195
1896        33
1902        92
1908        136
1914        75
1920        146
1926        43
1932        157
1938        101
1944        33
1950        206
1956        49
1962        90
1968        96
1974        81
1980        151
1986        48
1992        124
1998        117
2004        36
2010        126
2016        69
2022        89
2028        106
2034        59
2040        224
2046        52
2052        104
2058        136
2064        43
2070        139
2076        53
2082        112
2088        89
2094        44
2100        227
2106        57
2112        127
2118        140
2124        68
2130        116
2136        35
2142        157
2148        73
2154        43
2160        185
2166        64
2172        125
2178        111
2184        102
2190        122
2196        54
2202        91
2208        122
2214        41
2220        135
2226        61
2232        94
2238        92
2244        89
2250        186
2256        46
2262        120
2268        133
2274        46
2280        123
2286        65
2292        117
2298        90
2304        43
2310        261
2316        43
2322        86
2328        120
2334        64
2340        145
2346        52
2352        140
2358        95
2364        41
2370        195
2376        68
2382        88
2388        90
2394        77
2400        149
2406        44
2412        105
2418        144
2424        45
2430        142
2436        86
2442        118
2448        110
2454        63
2460        182
2466        33
2472        86
2478        143
2484        44
2490        122
2496        71
2502        113
2508        121
2514        45
2520        212
2526        38
2532        84
2538        112
2544        48
2550        129
2556        41
2562        158
2568        96
2574        61
2580        218
2586        51
2592        85
2598        74
2604        67
2610        130
2616        43
2622        153
2628        125
2634        39
2640        160
2646        67
2652        112
2658        93
2664        64
2670        159
2676        44
2682        89
2688        155
2694        39
2700        134
2706        85
2712        119
2718        95
2724        42
2730        243
2736        42
2742        80
2748        108
2754        63
2760        133
2766        52
2772        181
2778        97
2784        49
2790        163
2796        63
2802        79
2808        102
2814        79
2820        132
2826        51
2832        128
2838        141
2844        43
2850        136
2856        90
2862        93
2868        83
2874        60
2880        153
2886        45
2892        80
2898        182
2904        49
2910        146
2916        63
2922        123
2928        100
2934        41
2940        193
2946        37
2952        114
2958        137
2964        79
2970        160
2976        61
2982        150
2988        83
2994        42
3000        170
这是10万内，二生素数(0,38)的中项差实际分布值。