[原创]k生素数群的数量公式

yangchuanju · 发表于 2019-11-5 16:17

本帖最后由 yangchuanju 于 2019-11-5 20:03 编辑

白新岭发表于 2019-11-3 14:16
以上是在网络有问题的时候运行出来的结果，发了出来，yangchuanju先生的参与使我知道部分k生素数不是最密的 ...

K生素数群的数量和计算
一、k生素数群是什么？
K生素数群，是一个由k个素数组成的整数集（群）。
这k个素数可能是连续的，也可能是不连续的。
我们研究的k生素数群一般是连续的，通常所说的最密k生素数都是连续的。
2是唯一的一个偶素数，但我们通常所说的k生素数群是不包含偶素数2的。
二、k生素数群的宽度和跨距
若将k生素数群补充成一个连续的整数集（即以首素数作首数，尾素数作尾数，中间补上欠缺的所有整数），则整数集中所包含的整数个数就是k生素数群的“宽度”，首尾素数之差就是k生素数的“跨距”。宽度=跨距+1。
K生素数群的宽度或跨度是不确定的，宽度或跨度最小的素数群就是最密k生素数。
由于我们研究的k生素数都是奇素数，故k生素数的宽度都是奇数，跨距都是偶数。
宽度等于3（或跨度等于2）的奇素数群中最多只能含有2个素数，这样的素数群称为“孪生素数”。
宽度等于5（或跨度等于4）的奇素数群中最多可包含3个素数，但只有（3,5,7）一组；其余只能含有2个素数，这样的素数群称为“表兄弟素数”。
宽度等于7的奇素数群中的素数共有以下3种情况：
（1）二个素数分布在（相应）整数集的二端（二生素数）；
（2）在（相应）整数集中，除第1、第7个数是素数外，第3个数也是素数（三生素数1）；
（3）在（相应）整数集中，除第1、第7个数是素数外，第5个数也是素数（三生素数2）。
这里的第2、3种即最密三生素数。
三、k生素数群的各种表示法
K生素数群有各种表示法：素数式、宽度式、跨距式、临距式等。
素数式：即是将素数群中的k个素数全部（或大部）逐一列出，如三生素数（群）3,5,7等。
宽度式：即是用素数群中的各素数在相应整数集中的位置表示，如宽度等于7的第2、第3种情况所对应的二个最密三生素数（群）可分别表示为（1,3,7）和（1,5,7），宽度法的表达式均以1开头。
跨度式：将素数群中的各个素数分别减去首素数，用首素数加各个差或略去首素数仅用各个差表示，如宽度等于7中的3种情况所对应的二生、三生素数（群）可分别表示为（0,6）、（0,2,6）、（0,4,6）。
邻距式：将素数群中的各个素数依次相减，用0（表示首素数）和各个差表示，如宽度等于7中的3种情况所对应的二生、三生素数（群）可分别表示为（0,6）、（0,2,4）、（0,4,2）。
宽度等于9的奇素数群共有5种：可分别用跨度式（0,8）、（0,2,8）、（0,6,8）、（0,2,6,8）、（0,2,4,8），或邻距式（0,8）、（0,2,6）、（0,6,2）、（0,2,4,2）、（0,2,2,4）表示。
这里的第4种即最密四生素数；第5种只有素数（3,5,7,11）一组。

yangchuanju · 发表于 2019-11-5 16:17

本帖最后由 yangchuanju 于 2019-11-5 20:06 编辑

白新岭发表于 2019-11-3 14:16
以上是在网络有问题的时候运行出来的结果，发了出来，yangchuanju先生的参与使我知道部分k生素数不是最密的 ...

四、k生素数群的数量（个数、种数）
K生素数群的数量（个数、种数）可能是要么只有一种，要么有无穷多种两种情况，有没有数量是有限多个的k生素数群尚不得而知。
宽度等于9的5种素数群中，前4种都有无穷多组，第5种只有一种；宽度等于其它值时亦有相同的情况。
在以下表中的2—9生素数的数量中均不包括只有一组素数群的情况。
宽度
w 总数量pb(w,k) 各生数量ppb(w)
2 3 4 5 6 7 8 9
3 1 1 　　　　　　　
5 1 1 　　　　　　　
7 3 1 2 　　　　　　
9 4 1 2 1 　　　　　
11 4 1 2 1 　　　　　
13 14 1 5 6 2 　　　　
15 13 1 4 6 2 　　　　
17 16 1 4 6 4 1 　　　
19 48 1 8 19 16 4 　　　
21 55 1 6 15 20 11 2 　　
23 50 1 6 15 18 10 　　　
25 173 1 11 39 62 46 14 　　
27 148 1 8 28 48 42 18 3 　
29 147 1 8 28 48 42 18 2 　
31 665 1 14 66 164 220 150 46 4
表中数据摘自THOMAS J ENGELSMA（托马斯 J 恩格尔斯马）的论文《PERMISSIBLE PATTERNS OF PRIMES（素数的允许模式）》之表3《Values of ppb(w) and pb(w; k)》。（原表向下到w=61，向右到k=16）
表中各列数字表示不同宽度下某生素数的个数或种数；各行数字表示某种宽度下各生素数的个数或种数；斜着看宽号黑体数字就是最密k生素数的宽度和种数。
五、k生素数群数量（个数、种数）的计算
托马斯在上述论文中给出了系统的计算方法和部分计算实例，由于计算公式庞杂，笔者未曾彻底弄明白，在此不予介绍。有兴趣者可查阅托马斯的论文。
理论上，托马斯的k生素数群数量表可向下和向右无限扩大。
白新岭先生在其《k生素数群的数量公式》系列博客中给出了136生素数群的跨度和部分结构式，可喜可贺！

yangchuanju · 发表于 2019-11-5 20:59

现摘录托马斯给出的宽度w等于30x+1、30x+3、……30x+29的5生素数群个数计算式如下，供参考（x是大于等于1的整数）：
pb(30x+1,5)=1/3!*(1875x^3-1050x^2+165x–6)
pb(30x+3,5)=1/3!*(952x^3-300x^2+20x+0)
pb(30x+5,5)=1/3!*(952x^3-300x^2+20x+0)
pb(30x+7,5)=1/3!*(1785x^3+27x^2-30x+0)
pb(30x+9,5)=1/3!*(952x^3+252x^2+8x+0)
pb(30x+11,5)=1/3!*(1000x^3+300x^2+20x+0)
pb(30x+13,5)=1/3!*(1785x^3+1110x^2+201x+12)
pb(30x+15,5)=1/3!*(952x^3+804x^2+200x+12)
pb(30x+17,5)=1/3!*(952x^3+852x^2+248x+24)
pb(30x+19,5)=1/3!*(1785x^3+2145x^2+816x+96)
pb(30x+21,5)=1/3!*(1000x^3+1500x^2+740x+120)
pb(30x+23,5)=1/3!*(952x^3+1404x^2+680x+108)
pb(30x+25,5)=1/3!*(1785x^3+3228x^2+1911x+372)
pb(30x+27,5)=1/3!*(952x^3+1956x^2+1316x+288)
pb(30x+29,5)=1/3!*(952x^3+1956x^2+1316x+288)

yangchuanju · 发表于 2019-11-5 20:59

本帖最后由 yangchuanju 于 2019-11-6 12:37 编辑

现复制笔者根据托马斯的计算方法导出的宽度w等于30x+1、30x+3、……30x+29的6生素数群个数计算式如下，供参考（x是大于等于1的整数）：
pb(30x+1,6)=1/4!*(18631x^4-18750x^3+6125x^2-750x+24)
pb(30x+3,6)=1/4!*(8656x^4-5712x^3+1100x^2-60x+0)
pb(30x+5,6)=1/4!*(8656x^4-5712x^3+1100x^2-60x+0)
pb(30x+7,6)=1/4!*(16771x^4-4246x^3-283x^2+70x+0)
pb(30x+9,6)=1/4!*(8656x^4+752x^3-340x^2+4x+0)
pb(30x+11,6)=1/4!*(9616x^4+1616x^3-196x^2-20x+0)
pb(30x+13,6)=1/4!*(16771x^4+9430x^3+1337x^2+62x+0)
pb(30x+15,6)=1/4!*(8656x^4+7216x^3+1628x^2+44x+0)
pb(30x+17,6)=1/4!*(8656x^4+8368x^3+2876x^2+428x+24)
pb(30x+19,6)=1/4!*(16771x^4+21954x^3+9773x^2+1686x+96)
pb(30x+21,6)=1/4!*(9616x^4+16848x^3+10652x^2+2844x+264)
pb(30x+23,6)=1/4!*(8656x^4+14832x^3+9260x^2+2484x+240)
pb(30x+25,6)=1/4!*(16771x^4+35630x^3+27521x^2+9166x+1104)
pb(30x+27,6)=1/4!*(8656x^4+21296x^3+19052x^2+7300x+1008)
pb(30x+29,6)=1/4!*(8656x^4+21296x^3+19052x^2+7300x+1008)

再补上2-4生素数群的数量（个数或种数）计算式：
pb(2x+1，2)=1，不论宽度w等于多少，宽度等于w的2生素数只有1个
pb(6x+1，3)=3x-1
pb(6x+3，3)=2x
pb(6x+5，3)=2x
pb(6x+1，4)=1/2*(7x^2-9x+2)
pb(6x+3，4)=1/2*(4x^2-2x)=2x^2-x
pb(6x+5，4)=1/2*(4x^2-2x)=2x^2-x
式中x是大于等于1的整数。
至此，任意宽度的2-6生素数群的数量都可套入相应计算式轻易求出。

yangchuanju · 发表于 2019-11-5 21:00

再摘录托马斯给出的宽度w等于210x+1的7—10生素数群个数计算式如下，供参考（x是大于等于1的整数）：
pb(210x + 1， 7) = 2927695365/120*x^5 – 670995465/120*x^4
+ 54665625/120*x^3 – 1929375/120*x^2 + 28770/120*x – 120/120

pb(210x + 1，8) = 182135041495/720*x^6 – 61481602665/720*x^5
+ 7828280425/720*x^4 – 472696875/720*x^3
+ 13925800/720*x^2 - 185220/720*x + 720/720

pb(210x + 1，9) = 10842356545125/5040*x^7 – 5099781161860/5040*x^6
+ 942717907530/5040*x^5 – 87676740760/5040*x^4 + 4353313125/5040*x^3
- 112606900/5040*x^2 + 1372140/5040*x – 5040/5040

pb(210x + 1，10) = 621234485684071/40320*x^8 – 390324835624500/40320*x^7
+ 99445732656270/40320*x^6 – 13280026175640/40320*x^5
+ 1004211812919/40320*x^4 – 43272022500/40320*x^3
+ 1012913300/40320*x^2 – 11506320/40320*x + 40320/40320

宽度w等于210x+3，+5，……，+209的7—10生素数群的计算式，托马斯没有给出。
11—12生素数群的计算式的宽度w表达式是2310x+1，+3，……，+2309；13—16生素数群的计算式的宽度w表达式是30030x+1，+3，……，+30029；……
11,12,13……生素数群个数计算式的次数分别是9,10,11……次方。
若要用多项式表示100生素数群，宽度w将大到97# = 2.3*10^36，次数高达98次方。可能无人算得出来。

白新岭 · 发表于 2019-11-6 12:50

在最密77生素数式时，跨度420，至23素数式获得8种类型，这其实还存在其他类型的，因为跨度420的还有大于77个素数式的存在，这些程序无法运行得出。刚刚在至29的素数式中，仅仅从前4份中（把至29的素数式分成29份）就得到7种类型的最密77生素数式，其中3类同，剩余的5种在另外的份数内，多出来的4种应该是新类型，它们是有素数29的倍数断裂而形成，所以同样跨度，大k值素数式可以拥有小于它的最密素数式形式（小k值绝对不会有大于它最密素数式）。

白新岭 · 发表于 2019-11-6 12:50

在最密77生素数式时，跨度420，至23素数式获得8种类型，这其实还存在其他类型的，因为跨度420的还有大于77个素数式的存在，这些程序无法运行得出。刚刚在至29的素数式中，仅仅从前4份中（把至29的素数式分成29份）就得到7种类型的最密77生素数式，其中3类同，剩余的5种在另外的份数内，多出来的4种应该是新类型，它们是有素数29的倍数断裂而形成，所以同样跨度，大k值素数式可以拥有小于它的最密素数式形式（小k值绝对不会有大于它最密素数式）。

白新岭 · 发表于 2019-11-6 12:51

素数式77 素数式77 素数式77 素数式77 素数式77 素数式77 素数式77
0 0 0 0 0 0 0
2 2 6 6 4 4 10
4 4 6 2 6 6 12
6 2 2 6 6 2 2
6 4 6 6 2 6 4
2 6 4 4 6 6 2
6 2 2 2 4 4 4
4 10 6 10 2 2 6
2 2 4 2 6 10 8
6 4 6 10 4 2 4
4 6 8 2 6 10 2
6 8 4 4 8 2 4
8 6 2 6 4 4 12
4 4 4 6 2 6 2
2 2 2 8 4 6 6
4 6 4 6 2 8 4
2 4 14 4 4 6 2
4 6 4 6 14 4 6
14 8 6 6 4 6 22
4 4 2 2 6 6 2
6 6 10 6 2 2 4
2 2 2 4 10 6 6
10 4 6 2 2 4 8
2 8 6 6 6 2 6
6 10 4 10 6 6 4
6 6 6 12 4 10 6
4 2 6 2 6 12 2
6 4 2 10 6 2 10
6 6 10 8 2 10 2
2 2 2 6 10 8 16
10 6 4 4 2 6 2
2 6 2 6 4 4 4
4 4 12 2 2 6 6
2 6 12 4 12 2 2
12 6 4 6 12 4 12
12 14 2 8 4 6 4
4 4 4 6 2 8 2
2 2 6 4 4 6 10
4 10 2 2 6 4 2
6 2 10 12 2 2 10
2 10 6 10 10 12 2
10 2 6 2 6 10 4
6 4 6 4 6 2 6
6 12 2 2 6 4 8
6 2 6 10 2 2 6
2 6 4 2 6 10 6
6 4 2 12 4 2 4
4 2 10 4 2 12 6
2 16 14 2 10 4 6
10 2 4 4 14 2 2
14 10 2 8 4 4 6
4 2 4 6 2 8 4
2 6 14 4 4 6 8
4 4 6 6 14 4 10
14 6 10 6 6 6 8
6 8 2 6 10 6 4
10 6 4 8 2 6 2
2 4 6 4 4 8 6
4 2 8 8 6 4 4
6 22 6 4 8 8 8
8 6 6 6 6 4 6
6 2 4 8 6 6 4
6 4 6 4 4 8 6
4 6 8 2 6 4 2
6 2 4 6 8 2 4
8 12 8 4 4 6 6
4 4 10 8 8 4 8
8 2 2 6 10 8 6
10 4 10 4 2 6 4
2 8 2 6 10 4 2
10 6 6 6 2 6 10
2 4 4 6 6 6 2
6 2 6 2 4 6 6
4 4 8 6 6 2 4
6 2 4 10 8 6 2
8 12 2 2 4 10 4
4 10 4 4 2 2 2
420 420 420 420 420 420 420

白新岭 · 发表于 2019-11-6 12:51

素数式77 素数式77 素数式77 素数式77 素数式77 素数式77 素数式77
0 0 0 0 0 0 0
2 2 6 6 4 4 10
6 6 12 8 10 10 22
12 8 14 14 16 12 24
18 12 20 20 18 18 28
20 18 24 24 24 24 30
26 20 26 26 28 28 34
30 30 32 36 30 30 40
32 32 36 38 36 40 48
38 36 42 48 40 42 52
42 42 50 50 46 52 54
48 50 54 54 54 54 58
56 56 56 60 58 58 70
60 60 60 66 60 64 72
62 62 62 74 64 70 78
66 68 66 80 66 78 82
68 72 80 84 70 84 84
72 78 84 90 84 88 90
86 86 90 96 88 94 112
90 90 92 98 94 100 114
96 96 102 104 96 102 118
98 98 104 108 106 108 124
108 102 110 110 108 112 132
110 110 116 116 114 114 138
116 120 120 126 120 120 142
122 126 126 138 124 130 148
126 128 132 140 130 142 150
132 132 134 150 136 144 160
138 138 144 158 138 154 162
140 140 146 164 148 162 178
150 146 150 168 150 168 180
152 152 152 174 154 172 184
156 156 164 176 156 178 190
158 162 176 180 168 180 192
170 168 180 186 180 184 204
182 182 182 194 184 190 208
186 186 186 200 186 198 210
188 188 192 204 190 204 220
192 198 194 206 196 208 222
198 200 204 218 198 210 232
200 210 210 228 208 222 234
210 212 216 230 214 232 238
216 216 222 234 220 234 244
222 228 224 236 226 238 252
228 230 230 246 228 240 258
230 236 234 248 234 250 264
236 240 236 260 238 252 268
240 242 246 264 240 264 274
242 258 260 266 250 268 280
252 260 264 270 264 270 282
266 270 266 278 268 274 288
270 272 270 284 270 282 292
272 278 284 288 274 288 300
276 282 290 294 288 292 310
290 288 300 300 294 298 318
296 296 302 306 304 304 322
306 302 306 314 306 310 324
308 306 312 318 310 318 330
312 308 320 326 316 322 334
318 330 326 330 324 330 342
326 336 332 336 330 334 348
332 338 336 344 336 340 352
338 342 342 348 340 348 358
342 348 350 350 346 352 360
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15296 15374 15680 16148 15564 16032 16916

白新岭 · 发表于 2019-11-6 12:53

有大致均分原则，有7*29*/4=50多组，已经超过所给40种类型的值。

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