数论小猜想

朱明君

\(设n，a为任意正整数，则\left( n^a+1\right)^2-n^a\left( n^a+2\right)=1{,}\)

朱明君

\(3=\sqrt{1+\left( n_1+1\right)\sqrt{1+\left( n_2+1\right)...\sqrt{1+\left( n_n+1\right)\left( n_n+3\right)}}}\)
\(其中n_1=1，n_2=2，n_3=3，...n_n=n。\)

朱明君

\(连续平方和趣题：\)
\(求出n+1个连续平方数之和等于n个连续平方数之和的通解公式。\)
\(3^2+4^2=5^2\)
\(10^2+11^2+12^2=13^2+14^2\)
\(21^2+22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2\)
\(36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2\)
\(\cdots\cdots。\)
\(左边n+1个连续平方数之和=右边n个连续平方数之和，其通解公式如下：\)
\(左右共有2n+1个连续正整数，第1个正整数是n(2n+1), \)
\(最后1个正整数是n(2n+3),中间数是n(2n+1)+n。\)

\(设n为大于等于1的正整数，x为连续正整数中的第n个正整数，且x小于等于(2n+1)，\)
\(则a(x)=n(2n+1)+\left( x-1\right){,}\)

朱明君

\(设n为正整数，\)
\((2n^2+2n-1)^2-2=a{,}\ \ \ 4n(n+1)(2n+1)=b{,}\ \ \ \ \ 2n^2+2n+1=c{,}\ \ \)
\(则a^2+\ b^2＝\ c^4{,}\)

\(7^2+24^2=5^4{,}\)
\(119^2+120^2=13^4,\)
\(527^2+336^2=25^4,\)

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-9-3 14:39
请教 Treenewbee 分别计算，其中 n 为正整数，

设 a= 2^(k+1)*(2^k+2n -1)，b= ((2n+2^k -1))^2 -2^(2k) ...

\[n <=Floor[\frac{1 + 2^k\sqrt{2}}{2}]\]

蔡家雄

杨辉三角中的蔡氏猜想

若 C(2*n, n)  ≡ 2 （mod   n^2）, 则 n 一定是素数。


设 n >= 5,
若 C(n^2, n)  ≡ n  (mod   n^5）, 则 n 一定是素数。


杨辉三角中的蔡氏猜想

若 \(C_{2*n}^{n}  ≡ 2\) \((mod\)   \(n^2)\), 则 \(n\) 一定是素数。


设 \(n >= 5\),
若 \(C_{n^2}^{n}  ≡ n\) \((mod\)   \(n^5)\),  则 \(n\) 一定是素数。

王守恩

看看帖子《关于4/n为三个埃及分数之和问题》，这是您的强项。谢谢！

王守恩

王守恩 发表于 2023-11-16 05:35
看看帖子《关于4/n为三个埃及分数之和问题》，这是您的强项。谢谢！

把4/n分成4类, 分别讨论。

第1类: 4/(4n - 0),  4/(4n - 0)=1/(n + 2) + 1/(n(n + 1)) + 1/((n + 1)(n + 2))

第2类: 4/(4n - 1),  4/(4n - 1)=1/(n + 1) + 1/(n(n + 1)) + 1/(n(4n - 1))

第3类: 4/(4n - 2),  4/(4n - 2)=1/n + 1/(2n(2 n - 1)) + 1/(2n(2n - 1))

第4类: 4/(4n - 3),  4/(4n - 3)=1/n + 3/(n(4n - 3))

把3/(n(4n - 3))分2项，蔡家雄！这是您的强项。

蔡家雄

求证：\(\frac{1}{π}≈\frac{113}{355}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\) 有正整数解，

蔡家雄

4/118801=1/29716+1/y+1/z