数论小猜想

蔡家雄

追梦的 59/61=1/2+1/3+1/10+1/30+1/1830（五个单位分数之和）

求解：59/61=1/x+1/y+1/z+1/w（四个单位分数之和）

真分数 59/m ，当 m>=2*59^2+2，均可表为三个单位分数之和，，，

真分数 11/m=1/x+1/y+1/z ，仅有一个37是例外的，不可能有第二个例外的，

分子4, 5, 6, 7 是优质分子，11, 是优良分子，，

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-11-29 23:14
求证：真分数 8/m=1/x+1/y+1/z 在1万以内仅有一个8*2+1=17是例外的，

求证：真分数 9/m=1/x+1/y+1/z 在1 ...

真分数 8/m=1/x+1/y+1/z 在1万以内仅有一个8*2+1=17是例外的，

结论错误，测试了一下，1万以内有4个数字：
{11, 17, 131, 241}

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-11-29 23:14
求证：真分数 8/m=1/x+1/y+1/z 在1万以内仅有一个8*2+1=17是例外的，

求证：真分数 9/m=1/x+1/y+1/z 在1 ...

真分数 9/m=1/x+1/y+1/z 在1万以内仅有一个9*2+1=19是例外的，

结论错误，测试了一下，1万以内有2个数字：
{11, 19}

蔡家雄

求解方程：\(y^2=45*x^2+4\) 的正整数解，

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-12-3 11:50
求解方程：\(y^2=45*x^2+4\) 的正整数解，

\[x_n=\frac{\left(\frac{1}{2} \left(\sqrt{45}+7\right)\right)^n-\left(\frac{1}{2} \left(7-\sqrt{45}\right)\right)^n}{\sqrt{45}}\]
\[y_n=\left(\frac{1}{2} \left(\sqrt{45}+7\right)\right)^n+\left(\frac{1}{2} \left(7-\sqrt{45}\right)\right)^n\]

蔡家雄

高难度计算

求：\(\sqrt{2}+\sqrt{6}\) 的渐近分数的 分子 的通解公式，

求：\(\sqrt{2}+\sqrt{6}\) 的渐近分数的 分母 的通解公式，

王守恩

蔡家雄 发表于 2023-12-5 12:30
高难度计算

求：\(\sqrt{2}+\sqrt{6}\) 的渐近分数的 分子 的通解公式，

谢谢 Treenewbee!  我只能依样画葫芦。谢谢 Treenewbee！

1. f=Convergents[Sqrt[2]+Sqrt[6],20]
   
2. Denominator@f
   
3. Numerator@f

复制代码

{3, 4, 27/7, 58/15, 85/22, 2608/675, 13125/3397, 28858/7469, 272847/70618, 847399/219323}
{1, 1, 7, 15, 22, 675, 3397, 7469, 70618, 219323, 289941, 3118733,15883606,82536763,180957132,
{3, 4, 27, 58, 85, 2608, 13125, 28858, 272847, 847399, 1120246, 12049859, 61369541, 318897564,

蔡家雄

设 \(8<=k<=99\)，

求最小正整数 \(m\) ，使

真分数 \(k/m=1/a+1/b+1/c\) 都有解，，，

蔡家雄

设正整数 a, b 满足 ab+4 可以整除 a^2+b^2，求 a, b 各几何？

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-12-13 13:39
设正整数 a, b 满足 ab+4 可以整除 a^2+b^2，求 a, b 各几何？

a<b<10000:

{{1,13},{4,16},{3,31},{6,54},{16,60},{8,128},{13,129},{60,224},{10,250},{31,307},{12,432},{54,480},{14,686},{224,836},{16,1024},{129,1277},{18,1458},{20,2000},{128,2040},{22,2662},{307,3039},{836,3120},{24,3456},{480,4266},{26,4394},{28,5488},{250,6240},{30,6750},{32,8192},{34,9826}}