判定梅森质数的卢卡斯序列

yangchuanju

蔡家雄 发表于 2023-5-24 20:43
http://www.mathchina.com/bbs/for ... 13592&fromuid=4 ...

L1=2；
L2=7，素数，7+1=8是8的倍数；
L3=97，素数，97-1=96=32*3是16*2的倍数，还是3的倍数；

L4=18817=31*607，二合数，31+1=32，607+1=32*19，两素因子加1都是32的倍数；
L4-1=18816=2*2*2*2*2*2*2*3*7*7，是32*4的倍数，还是3*L2^2的倍数；

L5=708158977，素数，
L5-1=708158976=2*2*2*2*2*2*2*2*2*3*7*7*97*97是64*8的倍数，还是3*L2^2*L3^2的倍数；

L6=127*7897466719774591，二合数，127+1=128，7897466719774592=128*43*67*61441*348559，两素因子加1都是128的倍数；
L6-1=1002978273411373056=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*3*7*7*31*31*97*97*607*607，是128*16的倍数，还是3*L2^2*L3^2*L4^2的倍数；

L7=2011930833870518011412817828051050497=22783*265471*592897*2543310079*220600496383，五合数，四素因子1,2,4,5加1都是256的倍数，但第3素因子减1才是256的倍数；
L7-1=2011930833870518011412817828051050496
=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*3*7*7*31*31*97*97*607*607*708158977*708158977，是256*32的倍数，还是3*L2^2*L3^2*L4^2*L5^2的倍数；

yangchuanju

L8=8095731360557835890888779535060256832479295062749579257164654370487894017=113210499946729046527*71510428488234435849323250891975205208728978040847871，二合数，113210499946729046528=2*2*2*2*2*2*2*2*2*37*5976061019147437，71510428488234435849323250891975205208728978040847872=2*2*2*2*2*2*2*2*2*43*3248111759094950756237429637171838899379041517117，
二素因子加1都是512的倍数；

L8-1=8095731360557835890888779535060256832479295062749579257164654370487894016
=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*3*7*7*31*31*97*97*127*127*607*607*708158977*708158977*7897466719774591*7897466719774591，是512*64的倍数，还是3*L2^2*L3^2*L4^2*L5^2*L6^2的倍数。

yangchuanju

L9=131081732524639257263029684778781519606823938779762272955953002674777886915618467507978140924466713499653991209332471638471950804459698303648792577
=12289*665972737*16016557524906515705247928960199205892827277184559886550783283514374363986648055169708946567313654616765807420726003311506213265727489合数
第一素因子减1等于12288=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*3，是1024*4的倍数；
第二素因子减1等于665972736=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*3*11*13*379，是1024*4的倍数；
第三复合因子减1等于2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*3*2794373093*747814136089*311874537009255299443442005774295034029394435224866659470776631791938389632550309092989580153675116126019769，是1024*8的倍数。
请注意，上面三个分解式都是减1，而不是加1！第3复合因子是1024*8的倍数，可能这个复合因子是二合数。

"L9-1等于131081732524639257263029684778781519606823938779762272955953002674777886915618467507978140924466713499653991209332471638471950804459698303648792576
=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*3*7*7*31*31*97*97*127*127*607*607*22783*22783*265471*265471*592897*592897*708158977*708158977*2543310079*2543310079*7897466719774591*7897466719774591*220600496383*220600496383
是1024*128的倍数，还是3*L2^2*L3^2*L4^2*L5^2*L6^2*L7^2的倍数。"

wlc1

用 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 这七个数字任意排列组合成七位数，

每个数字只出现一次，能排列组合成哪几个素数？

yangchuanju

L10=34364841203322138619418743115873765462123577054323335876096309291544243702895478982366441534551280521718389831967797586021178653297458172303037282356434039143804027601512329179719508790441955489333092937858707770542247463250237583690584252963689090949876919630304726132682637425450939940601857
分解式不知。


但L10-1=
2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*3*7*7*31*31*97*97*127*127*607*607*22783*22783*265471*265471*592897*592897*708158977*708158977*2543310079*2543310079*7897466719774591*7897466719774591*3189518664241171908122086254540573330590571001582647066998337896883829269869767656226311867586930045780304299428854121182553625229112794050212600794909498192736348741121

分解式中含11+8个2，是2024*256的倍数
1个素因子3，2个素因子7=L2^2，2个素因子97=L3^2，2个复合因子31*607=L4^2，2个素因子708158977=L5^2，
2个L6复合因子127*7897466719774591<16>
2个L7复合因子22783*265471*592897*2543310079<10>*220600496383<12>
2个L8复合因子113210499946729046527*71510428488234435849323250891975205208728978040847871

最后的复合因子除以220600496383<12>的平方等于
65540866262319628631514842389390759803411969389881136477976501337388943457809233753989070462233356749826995604666235819235975402229849151824396289
再除以113210499946729046527的平方等于
5113741382570891182220162712379998164291582315306026010208125142093034105020842492053862736280224565232641
开平方等于
71510428488234435849323250891975205208728978040847871素数

yangchuanju

L7=2011930833870518011412817828051050497=22783*265471*592897*2543310079*220600496383，四素因子1,2,4,5加1都是256的倍数，但第3素因子减1才是256的倍数；
L7-1=2011930833870518011412817828051050496
=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*3*7*7*31*31*97*97*607*607*708158977*708158977，是256*32的倍数，还是3*L2^2*L3^2*L4^2*L5^2的倍数；

项    目        S1        S2        S3        S4        S5
因    子        22783        265471        592897        2543310079        220600496383
因子+1        22784        265472        592898        2543310080        220600496384
除以256        89        1037        2316.0078125        9934805        861720689
模256余        0        0        2        0        0

项    目        S1*S2        S2*S3        S3*S4        S4*S5       
因    子        6048225793        157396959487         1507920915908863        561055465883286944257
因子+1        6048225794        157396959488         1507920915908864        561055465883286944258
除以256        23625882.0078        614831873        5890316077769        2191622913606589626.0078
模256余        2        0        0        2       

项    目        S1*S2*S3        S1*S2*S4       
因    子        3585974927992321        15382513619404667647       
因子+1        3585974927992322        15382513619404667648       
除以256        14007714562470.0078        60087943825799483       
模256余        2        0       

项    目        S1*S2*S3*S4        S1*S2*S4*S5
因    子        9120246177404169233903359        3393390140058927623875340620801
因子+1        9120246177404169233903360        3393390140058927623875340620802
除以256        35625961630485036069935        13255430234605186030763049300.0078
模256余        0        2

对于五合数L7，其S1、S2、S4、S5加1是256的倍数，但S3+1不是256的倍数（模256余2）；
其中的两个加1是256倍数是素因子之积再加1便不是256的倍数；一个加1是256倍数的素因子与另一个加1不是256倍数的素因子（S3)之积再加1却是256的倍数；
三个素因子之积再加1，如果其中有一个加1不是256倍数的素因子（S3），则三因子积加1便不是256的倍数；否则三个素因子之积加1便是256的倍数；
四个素因子之积再加1则相反，如果其中有一个加1不是256倍数的素因子（S3），则三因子积加1便是256的倍数；否则四个素因子之积加1便不是256的倍数；
五个素因子之积再加1与三素因子之积相似（内含S3），不是256的倍数，但减1是256的倍数，即L7-1是256的倍数（实际是256*32的倍数）。

wlc1

用 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这八个数字任意排列组合成八位数，

每个数字只出现一次，能排列组合成哪几个素数？

yangchuanju

wlc1 发表于 2023-5-25 20:44
用 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 这七个数字任意排列组合成七位数，

每个数字只出现一次，能排列组合成哪几个素 ...

10^7以内共有素数664579个，其中7位素数586081个；
在所有7位素数之中不含数字0,8,9的素数共58314个，其中7个数字和等于28的有6139个；
在数字和等于28的6139个7位素数中数字积等于5040的共有534个，它们即是wlc1老师所要求的素数！

yangchuanju

由1-7构成的不同数字的7位素数534个：
1234657
1245763
1246537
1246573
1247563
1254367
1254637
1256347
1257463
1263547
1264537
1264573
1265347
1275643
1276543
1324567
1342567
1342657
1345627
1354267
1356247
1356427
1362457
1425367
1426753
1427563
1427653
1435627
1436257
1436527
1452637
1453267
1463257
1465273
1476253
1476523
1524637
1524763
1532647
1546273
1546327
1562347
1563427
1564237
1572643
1574623
1576243
1624573
1625347
1632457
1634257
1645327
1647253
1647523
1652347
1653427
1672453
1674523
1725463
1726453
1742563
1752643
1764253
2136457
2143567
2145763
2146357
2153647
2156437
2163547
2176543
2315647
2341567
2345617
2347561
2354167
2364517
2365471
2375641
2376541
2413657
2431657
2436517
2436571
2451367
2451637
2456371
2456731
2457361
2457613
2467351
2475163
2476351
2516473
2534671
2536147
2537461
2543617
2546317
2547361
2547613
2547631
2561743
2563147
2563417
2576341
2613547
2631457
2634517
2637451
2637541
2641357
2645371
2647531
2651437
2651743
2653741
2654317
2654371
2657143
2657341
2674513
2674531
2714563
2716453
2716543
2734561
2735641
2736451
2741653
2743561
2745361
2754361
2761453
2761543
2765143
3124567
3124657
3126457
3126547
3145627
3152467
3154267
3156427
3165427
3214567
3214657
3215467
3216457
3241657
3245761
3246157
3246751
3251467
3254761
3256417
3256471
3257641
3261547
3264571
3265741
3412567
3412657
3415627
3421567
3421657
3427561
3451627
3452671
3456127
3456217
3456721
3457261
3461257
3462517
3462751
3465271
3467251
3467521
3475261
3512647
3514267
3516427
3524617
3526147
3526741
3542167
3542761
3546271
3546721
3561247
3562417
3574621
3576421
3612457
3612547
3624157
3627451
3642157
3642571
3672451
3672541
3674521
3675241
3725461
3742561
3746521
3752641
3756241
3756421
3765241
4125637
4125673
4126537
4127653
4135627
4152763
4157623
4165327
4167523
4172653
4175263
4176253
4213567
4216573
4216753
4231567
4235761
4253167
4253617
4253671
4257163
4257613
4261357
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4265137
4265713
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4657321
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4675123
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4721653
4723561
4725613
4725631
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5126347
5126437
5136427
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5143267
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5237641
5241673
5243167
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5246173
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5263417
5264137
5264173
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5274163
5274631
5276431
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5321467
5321647
5327461
5341627
5342167
5342761
5346127
5347621
5361247
5364127
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5376421
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5421763
5423167
5423617
5426173
5426371
5426713
5431627
5436127
5436217
5436271
5436721
5461273
5461723
5462137
5462173
5463217
5463721
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5472631
5473261
5476213
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5621437
5624137
5624317
5624713
5627143
5631427
5632741
5634217
5634721
5641327
5643217
5647231
5647321
5672341
5672413
5674231
5723461
5724163
5724613
5726143
5726341
5734621
5742361
5742631
5746123
5746231
5761423
5762143
5762413
5763421
6124753
6134257
6142573
6145273
6145327
6145723
6152743
6154273
6154723
6174253
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6175423
6214357
6214573
6214753
6215347
6217543
6234517
6235147
6235417
6235741
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6257143
6257431
6274531
6275341
6312547
6321457
6325471
6342157
6342517
6345127
6345271
6345721
6347521
6352147
6352741
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6435721
6437521
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6452137
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6472351
6472513
6473251
6475321
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6541723
6542713
6543127
6547213
6572143
6572413
6572431
6574231
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6724351
6725143
6732541
6734521
6745231
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6754213
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7125463
7126453
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7216453
7216543
7234651
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7352461
7354261
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7642513
7652413

yangchuanju

以卢卡斯序列的L7为例，L7共含5个素因子，5个素因子模256分别余-1，-1，+1，-1，-1；
令5个素因子分别等于256k1-1，256k2-1，256k3+1，256k4-1，256k5-1；
S1*S2=256^2*k1*k2-256k1-256k2+1，S1*S2模256余1，S1*S2+1模256余2不是256的倍数；
S1*S3=256^2*k1*k3-256k1+256k3-1，S1*S3模256余-1，S1*S3+1模256余0是256的倍数；
其余2-4个素因子积与此类似。负负相乘为正，正负相乘为负；负负负相乘为负，正负负相乘为正；负负负负相乘为正，正负负负相乘为负；……
相乘为负时积加1可被256整除，相乘为正时积加1不能被256整除！

对于卢卡斯序列L2=7、L3=97、L5=708158977都是素数，加1，减1，减1分别是8,16,64的倍数；
L4、L6都是二合数，两对素因子模32或128都余-1，相乘即L4和L6模32或128都余1，减1分别是32,128的倍数；
L8是一个三合数，三素因子模512分别余-1，-1，+1，负负正相乘为正，L8-1是512的倍数；
L12是一个三合数，三素因子模8192分别余-1，-1，+1，负负正相乘为正，L12-1是8192的倍数；
已知L9含两个模1024余1的素因子和一个模1024余1的复合因子，正正正相乘为正，L9-1是1024的倍数；
……
进一步分析L2+1=7+1=8是8的倍数；
L3-1=97-1=96是16*2的倍数；
L4-1=18817-1=18816是32*4的倍数；
L5-1是64*8的倍数；
L6-1是128*16的倍数；
L7-1是256*32的倍数；
L8-1是512*64的倍数；
L9-1是1024*128的倍数；
L10-1可能是2048*256的倍数；
L11-1可能是4096*512的倍数；
L12-1可能是8192*1024的倍数；
……
请注意：L2是加1，其余的是减1。为什么？欠理论上的证明！

类似地，Ln的各个素因子有的模2^(n+1)余-1，有的余+1，有何规律？
同样欠理论上的证明。