判定梅森质数的卢卡斯序列

蔡家雄

蔡氏完全循环节问题

若 \(3^{2n}+2^{2n+1}\) 是素数，

则 \(10\) 是素数 \(3^{2n}+2^{2n+1}\) 的原根。

谢谢 Treenewbee , 时空伴随者 提供10000内数据，

2n={2, 4, 6, 12, 22, 32, 36, 46, 80, 154, 236, 250, 992, 2072, 3616, 3702, 5076}

蔡家雄

yangchuanju 发表于 2023-5-23 14:53
（3247265849...81+1）除以（8191+1）等于
3963947570467494984272363942827626525300515322661469461 ...

http://www.mathchina.com/bbs/for ... 2&fromuid=45368

yangchuanju

蔡家雄 发表于 2023-5-24 20:43
http://www.mathchina.com/bbs/for ... 13592&fromuid=4 ...

L1=2；
L2=7，素数，7+1=8是8的倍数；
L3=97，素数，97-1=96=32*3是16*2的倍数，还是3的倍数；

L4=18817=31*607，二合数，31+1=32，607+1=32*19，两素因子加1都是32的倍数；
L4-1=18816=2*2*2*2*2*2*2*3*7*7，是32*4的倍数，还是3*L2^2的倍数；

L5=708158977，素数，
L5-1=708158976=2*2*2*2*2*2*2*2*2*3*7*7*97*97是64*8的倍数，还是3*L2^2*L3^2的倍数；

L6=127*7897466719774591，二合数，127+1=128，7897466719774592=128*43*67*61441*348559，两素因子加1都是128的倍数；
L6-1=1002978273411373056=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*3*7*7*31*31*97*97*607*607，是128*16的倍数，还是3*L2^2*L3^2*L4^2的倍数；

L7=2011930833870518011412817828051050497=22783*265471*592897*2543310079*220600496383，五合数，四素因子1,2,4,5加1都是256的倍数，但第3素因子减1才是256的倍数；
L7-1=2011930833870518011412817828051050496
=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*3*7*7*31*31*97*97*607*607*708158977*708158977，是256*32的倍数，还是3*L2^2*L3^2*L4^2*L5^2的倍数；

yangchuanju

L8=8095731360557835890888779535060256832479295062749579257164654370487894017=113210499946729046527*71510428488234435849323250891975205208728978040847871，二合数，113210499946729046528=2*2*2*2*2*2*2*2*2*37*5976061019147437，71510428488234435849323250891975205208728978040847872=2*2*2*2*2*2*2*2*2*43*3248111759094950756237429637171838899379041517117，
二素因子加1都是512的倍数；

L8-1=8095731360557835890888779535060256832479295062749579257164654370487894016
=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*3*7*7*31*31*97*97*127*127*607*607*708158977*708158977*7897466719774591*7897466719774591，是512*64的倍数，还是3*L2^2*L3^2*L4^2*L5^2*L6^2的倍数。

yangchuanju

L9=131081732524639257263029684778781519606823938779762272955953002674777886915618467507978140924466713499653991209332471638471950804459698303648792577
=12289*665972737*16016557524906515705247928960199205892827277184559886550783283514374363986648055169708946567313654616765807420726003311506213265727489合数
第一素因子减1等于12288=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*3，是1024*4的倍数；
第二素因子减1等于665972736=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*3*11*13*379，是1024*4的倍数；
第三复合因子减1等于2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*3*2794373093*747814136089*311874537009255299443442005774295034029394435224866659470776631791938389632550309092989580153675116126019769，是1024*8的倍数。
请注意，上面三个分解式都是减1，而不是加1！第3复合因子是1024*8的倍数，可能这个复合因子是二合数。

"L9-1等于131081732524639257263029684778781519606823938779762272955953002674777886915618467507978140924466713499653991209332471638471950804459698303648792576
=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*3*7*7*31*31*97*97*127*127*607*607*22783*22783*265471*265471*592897*592897*708158977*708158977*2543310079*2543310079*7897466719774591*7897466719774591*220600496383*220600496383
是1024*128的倍数，还是3*L2^2*L3^2*L4^2*L5^2*L6^2*L7^2的倍数。"

wlc1

用 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 这七个数字任意排列组合成七位数，

每个数字只出现一次，能排列组合成哪几个素数？

yangchuanju

L10=34364841203322138619418743115873765462123577054323335876096309291544243702895478982366441534551280521718389831967797586021178653297458172303037282356434039143804027601512329179719508790441955489333092937858707770542247463250237583690584252963689090949876919630304726132682637425450939940601857
分解式不知。


但L10-1=
2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*3*7*7*31*31*97*97*127*127*607*607*22783*22783*265471*265471*592897*592897*708158977*708158977*2543310079*2543310079*7897466719774591*7897466719774591*3189518664241171908122086254540573330590571001582647066998337896883829269869767656226311867586930045780304299428854121182553625229112794050212600794909498192736348741121

分解式中含11+8个2，是2024*256的倍数
1个素因子3，2个素因子7=L2^2，2个素因子97=L3^2，2个复合因子31*607=L4^2，2个素因子708158977=L5^2，
2个L6复合因子127*7897466719774591<16>
2个L7复合因子22783*265471*592897*2543310079<10>*220600496383<12>
2个L8复合因子113210499946729046527*71510428488234435849323250891975205208728978040847871

最后的复合因子除以220600496383<12>的平方等于
65540866262319628631514842389390759803411969389881136477976501337388943457809233753989070462233356749826995604666235819235975402229849151824396289
再除以113210499946729046527的平方等于
5113741382570891182220162712379998164291582315306026010208125142093034105020842492053862736280224565232641
开平方等于
71510428488234435849323250891975205208728978040847871素数

yangchuanju

L7=2011930833870518011412817828051050497=22783*265471*592897*2543310079*220600496383，四素因子1,2,4,5加1都是256的倍数，但第3素因子减1才是256的倍数；
L7-1=2011930833870518011412817828051050496
=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*3*7*7*31*31*97*97*607*607*708158977*708158977，是256*32的倍数，还是3*L2^2*L3^2*L4^2*L5^2的倍数；

项    目        S1        S2        S3        S4        S5
因    子        22783        265471        592897        2543310079        220600496383
因子+1        22784        265472        592898        2543310080        220600496384
除以256        89        1037        2316.0078125        9934805        861720689
模256余        0        0        2        0        0

项    目        S1*S2        S2*S3        S3*S4        S4*S5       
因    子        6048225793        157396959487         1507920915908863        561055465883286944257
因子+1        6048225794        157396959488         1507920915908864        561055465883286944258
除以256        23625882.0078        614831873        5890316077769        2191622913606589626.0078
模256余        2        0        0        2       

项    目        S1*S2*S3        S1*S2*S4       
因    子        3585974927992321        15382513619404667647       
因子+1        3585974927992322        15382513619404667648       
除以256        14007714562470.0078        60087943825799483       
模256余        2        0       

项    目        S1*S2*S3*S4        S1*S2*S4*S5
因    子        9120246177404169233903359        3393390140058927623875340620801
因子+1        9120246177404169233903360        3393390140058927623875340620802
除以256        35625961630485036069935        13255430234605186030763049300.0078
模256余        0        2

对于五合数L7，其S1、S2、S4、S5加1是256的倍数，但S3+1不是256的倍数（模256余2）；
其中的两个加1是256倍数是素因子之积再加1便不是256的倍数；一个加1是256倍数的素因子与另一个加1不是256倍数的素因子（S3)之积再加1却是256的倍数；
三个素因子之积再加1，如果其中有一个加1不是256倍数的素因子（S3），则三因子积加1便不是256的倍数；否则三个素因子之积加1便是256的倍数；
四个素因子之积再加1则相反，如果其中有一个加1不是256倍数的素因子（S3），则三因子积加1便是256的倍数；否则四个素因子之积加1便不是256的倍数；
五个素因子之积再加1与三素因子之积相似（内含S3），不是256的倍数，但减1是256的倍数，即L7-1是256的倍数（实际是256*32的倍数）。

wlc1

用 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这八个数字任意排列组合成八位数，

每个数字只出现一次，能排列组合成哪几个素数？

yangchuanju

wlc1 发表于 2023-5-25 20:44
用 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 这七个数字任意排列组合成七位数，

每个数字只出现一次，能排列组合成哪几个素 ...

10^7以内共有素数664579个，其中7位素数586081个；
在所有7位素数之中不含数字0,8,9的素数共58314个，其中7个数字和等于28的有6139个；
在数字和等于28的6139个7位素数中数字积等于5040的共有534个，它们即是wlc1老师所要求的素数！