数论小猜想

Treenewbee

\[a=2 n;b=2 n^3;c=\frac{a^2+b^2}{a b+4}=n^2\]

蔡家雄

设正整数 a, b 满足 ab+4 可以整除 a^2+b^2，

好像当 a, b 是偶数时，(a^2+b^2)/(ab+4)=完全平方数，如果是真的，可以证明吗？

及 Treenewbee 的计算，a < b < 10000，

{{1,13},{4,16},{3,31},{6,54},{16,60},{8,128},{13,129},{60,224},{10,250},{31,307},{12,432},{54,480},{14,686},{224,836},{16,1024},{129,1277},{18,1458},{20,2000},{128,2040},{22,2662},{307,3039},{836,3120},{24,3456},{480,4266},{26,4394},{28,5488},{250,6240},{30,6750},{32,8192},{34,9826}}

奇数链之一 {1, 13, 129, 1277, ... }，连续两个数都是 a, b 的答案，可以找到通解公式吗？

奇数链之一 {3, 31, 307, 3039, ... }，连续两个数都是 a, b 的答案，可以找到通解公式吗？

Treenewbee

\[b_n=\frac{\left(2 \sqrt{2}-\sqrt{3}\right) \left(5+2 \sqrt{6}\right)^n-\left(2 \sqrt{2}+\sqrt{3}\right) \left(5-2 \sqrt{6}\right)^n}{2 \sqrt{3}}=\left\lfloor \frac{1}{6} \left(2 \sqrt{6}-3\right) \left(2 \sqrt{6}+5\right)^n\right\rfloor\]

Treenewbee

\[a_n=\frac{1}{6} \left(\left(4 \sqrt{6}-9\right) \left(2 \sqrt{6}+5\right)^n-\left(4 \sqrt{6}+9\right) \left(5-2 \sqrt{6}\right)^n\right)=\left\lfloor \frac{1}{6} \left(4 \sqrt{6}-9\right) \left(2 \sqrt{6}+5\right)^n\right\rfloor\]

cz1

王守恩 发表于 2023-12-8 18:27
谢谢 Treenewbee!  我只能依样画葫芦。谢谢 Treenewbee！

{3, 4, 27/7, 58/15, 85/22, 2608/675, 1312 ...

符号 MultiplicativeOrder[10,

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666659]

表示求最小正整数d，使 10^d 除以素数6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666659
的余数是1，

则这个最小正整数d=6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666658 .

cz1

王守恩 发表于 2023-12-8 18:27
谢谢 Treenewbee!  我只能依样画葫芦。谢谢 Treenewbee！

{3, 4, 27/7, 58/15, 85/22, 2608/675, 1312 ...

也可以这样理解符号

MultiplicativeOrder[10, 素数P] 表示1/P的循环节长d=

MultiplicativeOrder[10, 97]==96, 表示1/97的循环节长d=96 ,

MultiplicativeOrder[10, 73]== 8, 表示1/73的循环节长d= 8 ,

MultiplicativeOrder[10, 83]==41, 表示1/83的循环节长d=41 ,

wlc1

王守恩 发表于 2023-12-8 18:27
谢谢 Treenewbee!  我只能依样画葫芦。谢谢 Treenewbee！

{3, 4, 27/7, 58/15, 85/22, 2608/675, 1312 ...

请王老师计算，

MultiplicativeOrder[10,

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666659 ]，

cz1

王守恩 发表于 2023-12-8 18:27
谢谢 Treenewbee!  我只能依样画葫芦。谢谢 Treenewbee！

{3, 4, 27/7, 58/15, 85/22, 2608/675, 1312 ...

请王老师再来一题，计算，

MultiplicativeOrder[10,

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666659 ]，谢谢！

王守恩

cz1 发表于 2023-12-28 11:47
请王老师再来一题，计算，

MultiplicativeOrder[10,

请王老师计算，MultiplicativeOrder[10,
6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666659 ]，
59=\(\frac{2*10^2-23}{3}\)
659=\(\frac{2*10^3-23}{3}\)
6659=\(\frac{2*10^4-23}{3}\)
n=2,3,4,26,44,58,73有解。n=88(答案=0)我这里算了好几天就是出不来。

1. Table[Mod[MultiplicativeOrder[10, (2*10^n - 23)/3] - 58, 100], {n, 88, 88}]

复制代码

可以参考OEIS--A001913
7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983       

1. Select[Prime[Range[200000]], MultiplicativeOrder[10, #] == # - 1 &]

复制代码

ysr

素数有1个：（用时13.57813秒）
6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666659