“连乘积公式”比我们的想象更神奇、更美妙

愚工688

大傻8888888 发表于 2020-12-18 13:42
10二次方计算值与真值之比为0.89
10七次方计算值与真值之比为0.86168
10二的15次方计算值与真值之比 ...

我只能计算10万亿以下的偶数的素对，但是在能够计算的范围内，我对各数量级偶数素对的计算值的精度比较哈代公式的精度有比较大的提高，这是显而易见的：


  Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2  ; t2=1.358-(log(M))^(.5)*0.05484

  S( 32 ) =  2          ;Xi(M)≈ 2.35         δxi( 32 )≈0.175  
  S( 64 ) =  5          ;Xi(M)≈ 3.15         δxi( 64 )≈-0.37  
  S( 128 ) =  3         ;Xi(M)≈ 4.55         δxi( 128 )≈0.5167  
  S( 256 ) =  8         ;Xi(M)≈ 6.88         δxi( 256 )≈-0.14  
  S( 512 ) =  11         ;Xi(M)≈ 10.72        δxi( 512 )≈-0.0254545
  S( 1024 ) = 22         ;Xi(M)≈ 17.19        δxi( 1024 )≈-0.218636
  
  S( 2048 ) =  25        ;Xi(M)≈ 28.19        δxi( 2^11 )≈0.1276  
  S( 4096 ) =  53        ;Xi(M)≈ 47.04        δxi( 2^12 )≈-0.112453
  S( 8192 ) =  76        ;Xi(M)≈ 79.64        δxi( 2^13 )≈ 0.047895
  S( 16384 ) = 151        ;Xi(M)≈ 136.54       δxi( 2^14 )≈-0.095762
  S( 32768 ) = 244        ;Xi(M)≈ 236.57       δxi( 2^15 )≈-0.030451  
  
  S( 65536 ) =  435       ;Xi(M)≈ 413.69       δxi( 2^16 )≈-0.048989  
  S( 131072 ) = 749       ;Xi(M)≈ 729.25       δxi( 2^17 )≈-0.026368  
  S( 262144 ) =  1314      ;Xi(M)≈ 1294.71      δxi( 2^18 )≈-0.014680
  S( 524288 ) = 2367       ;Xi(M)≈ 2313.23      δxi( 2^19 )≈-0.022717  
  S( 1048576 ) = 4239      ;Xi(M)≈ 4156.51      δxi( 2^20 )≈-0.019460  
  
  S( 2097152 ) = 7471      ;Xi(M)≈ 7506.91      δxi( 2^21 )≈ 0.004807  
  S( 4194304 ) = 13705      ;Xi(M)≈ 13620.93     δxi( 2^22 )≈-0.006134
  S( 8388608 ) = 24928      ;Xi(M)≈ 24819.19     δxi( 2^23 )≈-0.004365
  S( 16777216 ) = 45746     ;Xi(M)≈ 45398.93     δxi( 2^24 )≈-0.007587
  S( 33554432 ) = 83467     ;Xi(M)≈ 83337.58     δxi( 2^25 )≈-0.001551  
  
  S( 67108864 ) = 153850     ;Xi(M)≈ 153483.88    δxi(2^26 )≈-0.002380  
  S( 134217728 ) = 283746    ;Xi(M)≈ 283528.56    δxi( 2^27 )≈-0.000766  
  S( 268435456 ) = 525236    ;Xi(M)≈ 525228.14    δxi( 2^28 )≈-0.000015  
  S( 536870912 ) = 975685    ;Xi(M)≈ 975509.16    δxi( 2^29 )≈-0.000180  
  S( 1073741824 ) = 1817111   ;Xi(M)≈ 1816227.65   δxi( 2^30 )≈-0.000486  
  
  S( 2147483648 ) = 3390038   ;Xi(M)≈ 3389190.8    δxi( 2^31 )≈-0.000250  
  S( 4294967296 ) =  6341424  ;Xi(M)≈ 6337909.38   δxi( 2^32 )≈-0.000554  
  S( 8589934592 ) = 11891654   ;Xi(M)≈ 11875825.44  δxi( 2^33 )≈-0.001331
  S( 17179869184 ) = 22336060  ;Xi(M)≈ 22294496.84  δxi( 2^34 )≈-0.001861  
  S( 34359738368 ) = 42034097  ;Xi(M)≈ 41927656.25  δxi( 2^35 )≈-0.002532  
  
  S( 68719476736 ) = 79287664   ;Xi(M)≈ 78982220.05  δxi( 2^36 )≈-0.003852  
  S( 137438953472 ) = 149711134 ;Xi(M)≈ 149019955.08 δxi( 2^37 )≈-0.004617  
  S( 274877906944 ) = 283277225  ;Xi(M)≈ 281584876.49 δxi( 2^38 )≈-0.005021  
  S( 549755813888 ) = 536710100  ;Xi(M)≈ 532832300.04 δxi( 2^39 )≈-0.007225  
  S( 1099511627776 ) = 1018369893;Xi(M)≈ 1009617578.58 δxi( 2^40 )≈-0.0085944

单一偶数会发生碰巧的现象，但是对连续偶数，就不存在凑巧了：
Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2   ,t2=1.358-log(M)^(0.5)*.0548;

  S( 201901010 ) = 584329    ;Xi(M)≈ 584077.87      δxi( 201901010 )≈-0.0004298  
  S( 201901012 ) = 413500    ;Xi(M)≈ 412880.03      δxi( 201901012 )≈-0.0014994  
  S( 201901014 ) = 978724    ;Xi(M)≈ 978271.31      δxi( 201901014 )≈-0.0004625  
  
  S( 2019010100 ) = 4596216   ;Xi(M)≈ 4594529.21     δxi( 2019010100 )≈-0.0003670  
  S( 2019010102 ) = 3391625   ;Xi(M)≈ 3389795.77     δxi( 2019010102 )≈-0.0005393  
  S( 2019010104 ) = 6718402   ;Xi(M)≈ 6718181.02     δxi( 2019010104 )≈-0.0000329  
  
  S( 20190101000 ) = 37084574  ;Xi(M)≈ 37010416.04    δxi( 20190101000 )≈-0.0019997  
  S( 20190101002 ) = 25991412  ;Xi(M)≈ 25940436.35    δxi( 20190101002 )≈-0.0019612  
  S( 20190101004 ) = 51916057  ;Xi(M)≈ 51814261.58    δxi( 20190101004 )≈-0.0019608  

重生888@

愚工688 发表于 2020-12-26 11:57
我只能计算10万亿以下的偶数的素对，但是在能够计算的范围内，我对各数量级偶数素对的计算值的精度比较哈 ...

愚工先生好！您计算的是哥猜解，同时也是孪生素数对解吗？谢谢！

大傻8888888

大傻8888888 发表于 2020-12-18 21:42
10二次方计算值与真值之比为0.89
10七次方计算值与真值之比为0.86168
10二的15次方计算值与真值之比 ...

愚工688
与哈代公式非常接近。哪个公式分布在先？后发布的一个公式如果没有什么改进，那么是否多此一举了？  发表于 2020-12-26 11:19
当然是哈代公式在先，不过他们的方法是用比较难懂的著名的“圆法”，并且是在未经证明的广义黎曼猜测成立的假定下才成立。而我的公式是根据梅腾斯定理和素数定理结合连乘积得出的公式，简单易懂，同时得出的数值与哈代公式高度吻合，我认为这不是多此一举，如果有人能用不同的第三种公式得出同样的结果，则更增加了哈代公式的正确性。

愚工688

大傻8888888 发表于 2020-12-26 12:40
愚工688
与哈代公式非常接近。哪个公式分布在先？后发布的一个公式如果没有什么改进，那么是否多此一举 ...

哈代公式的原理我也不是很懂。你使用的根据梅腾斯定理和素数定理结合连乘积得出的公式的原理我也不是很懂，才疏学浅，理论方面缺乏学习。
我理解的比较透的方法，就是连乘积公式，它完全符合概率的独立事件的乘法定理，
当然我也使用在哈代公式上面改进的素对计算式，因为其采用的对数计算给计算带来了便利。
我注重的只是实际计算，计算值的精度的提高、计算大偶数素对的速度的提高。
至于哥猜解，同时也是孪生素数对解的说法，我始终认为是片面的一种说法。事实上面很明显，孪生素数对的数量是随着数的增大单调增多的，而哥猜解并不是这样，哥猜解的数量是具有波动的特征，这是众所周知的。
因此，哥猜解与孪生素数对解是具有不同特征的两个数学问题，没有必要硬把它们凑在一块。

大傻8888888

愚工688 发表于 2020-12-26 22:49
哈代公式的原理我也不是很懂。你使用的根据梅腾斯定理和素数定理结合连乘积得出的公式的原理我也不是很懂 ...

“哥猜解与孪生素数对解是具有不同特征的两个数学问题，没有必要硬把它们凑在一块。”
哈代公式里孪生素数对解和哥猜解后面的公式是一样的。如下：
哈代公式里孪生素数对解是Z（x）=2c[x/（lnx）^2]
哈代公式里哥猜解是D（x）=2c[（p-1）/（p-2）][x/（lnx）^2]
两个公式的主要区别是哥猜解里2|x,同时多了引起波动的[（p-1）/（p-2）]，其中p|x。

wangyangke

请欣赏杰出数学家大傻8888888实力展示——————————

重生888@

杰出的数学家：能求10的平方至15次方这15个偶数的哥猜解吗？（哥猜真值，愚工先生帖子有）使用代数式x/lnx^2的人很多，随便安个数字，就得出各式各样的数据。有谁了解这个代数式的推导？怕有的人连自300至360共30个连续偶数的哥猜值都算不出！把别人的式子拼在一起，就可以吹！

数学天皇

要解决的是波动反例问题!

愚工688

对于哈代公式里哥猜解是D（x）=2C（N)[x/（lnx）^2]
式中：拉曼纽扬系数   C（N）=C2A（N）*C2B（N）。
    C2A（N）= PI(1-1/（P-1）^2）[这里P为大于“2”，N以内的全部素数]
    C2B（N）= PI((P-1)/(P-2))[这里P为大于“2”，能整除N的全部素数]
哈代公式采用的是双记法的素对记法。拉曼纽扬系数 中的因子  C2B（N）也就是偶数N的素因子系数，即波动系数。

而基于艾氏筛法的连乘式计算偶数的素对 A±x：
故在[0，A-3] 中的这个自然数区域中使偶数Ｍ分成两个符合条件a的素数的x值数量的概率计算值Sp(m)，有：
Sp(m)=(A-2)P(m)
= (A-2)·P(2·3·…·n·…·r)
=(A-2)·P(2)·P(3)·…·P(n)·…·P(r)
=(A-2)·(1/2)·f(3)·…·f(n)·…·f(r). -----------{式3}
式中：3≤ n≤r；n是素数。f(n)=(n-1)/n, [jn=0时]；或f(n)=(n-2)/n, [jn>0时] 。jn系A除以n的余数。

二. 表法数数量波动因素的分析
若把偶数M所含有的奇素数因子分离出计算式{式3},则有
Sp(m)=(A-2)×K(m)×P(m)min=(A-2)×K(m)×(1/2)(1/3)(3/5)(5/7)(9/11)×…×[(r-2)/r] ,----{式4}
式中
     K(m)=π[(r1-1)/(r1-2)] ,  r1是偶数M所含有的≤r 的奇素数因子,π表示各素数因子的连乘;这里的 K(m)即为偶数M的素因子系数，也可称为波动系数。
     从艾氏筛法的原理讲，筛选x内的素数只需使用√x 内的素数筛选，因此使用√（M-2）内最大素数r内的全部素数是恰当的。
而哈代公式的波动系数[（p-1）/（p-2）]，其中p|x，除了增大计算范围外，对波动系数的值没有多少影响，并不恰当。试想，若计算1亿以上的偶数，可以只用1万内的素数进行计算，而非要使用1亿内的素数进行计算，不是自找麻烦吗？
  当然对于那些不懂偶数的素对数量存在波动性的人来说，是难以理解的，因此也是不能正确进行素对计算的根本原因。

比如下面的100亿起的连续偶数的素对与素对下界计算示例：

     G(10000000000) = 18200488；
inf( 10000000000 )≈  18192520.4 , Δ≈-0.0004378,infS（m)= 13644390.26 , k(m)= 1.33333
  G(10000000002) = 27302893；
inf( 10000000002 )≈  27288780.5 , Δ≈-0.0005169,infS（m)= 13644390.27 , k(m)= 2
  G(10000000004) = 13655366；
inf( 10000000004 )≈  13644390.3 , Δ≈-0.0008038,infS（m)= 13644390.27 , k(m)= 1
  G(10000000006) = 13742400；
inf( 10000000006 )≈  13737209.3 , Δ≈-0.0003777,infS（m)= 13644390.27 , k(m)= 1.0068
  G(10000000008) = 27563979；
inf( 10000000008 )≈  27548673.7 , Δ≈-0.0005553,infS（m)= 13644390.27 , k(m)= 2.01905
  G(10000000010) = 28031513
inf( 10000000010 )≈  28018960 , Δ≈-0.0004478,infS（m)= 13644390.28 , k(m)= 2.05351
  G(10000000012) = 13654956；
inf( 10000000012 )≈  13647157.3 , Δ≈-0.0005711,infS（m)= 13644390.28 , k(m)= 1.0002
  G(10000000014) = 27361348；
inf( 10000000014 )≈  27348233.3 , Δ≈-0.0004793,infS（m)= 13644390.28 , k(m)= 2.00436
  G(10000000016) = 13708223；
inf( 10000000016 )≈  13701479.8 , Δ≈-0.0004919,infS（m)= 13644390.29 , k(m)= 1.00418
  G(10000000018) = 13781412；
inf( 10000000018 )≈  13776842.4 , Δ≈-0.0003316,infS（m)= 13644390.29 , k(m)= 1.00971
  G(10000000020) = 37335123；
inf( 10000000020 )≈  37319942.4 , Δ≈-0.0004066,infS（m)= 13644390.29 , k(m)= 2.73519
  G(10000000022) = 13653503；
inf( 10000000022 )≈  13646792.1 , Δ≈-0.0004915,infS（m)= 13644390.29 , k(m)= 1.00018
  G(10000000024) = 16587802；
inf( 10000000024 )≈  16575407.5 , Δ≈-0.0007472,infS（m)= 13644390.3 , k(m)= 1.21481
  G(10000000026) = 28871083；
inf( 10000000026 )≈  28857101.3 , Δ≈-0.0004843,infS（m)= 13644390.3 , k(m)= 2.11494
G(10000000028) = 13665084；
inf( 10000000028 )≈  13661050.1 , Δ≈-0.0002952,infS（m)= 13644390.3 , k(m)= 1.00122
G(10000000030) = 19127680；
inf( 10000000030 )≈  19121318.9 , Δ≈-0.0003326,infS（m)= 13644390.3 , k(m)= 1.40141
G(10000000032) = 32355048；
inf( 10000000032 )≈  32342258.5 , Δ≈-0.0003953,infS（m)= 13644390.31 , k(m)= 2.37037

在具有波动性的偶数M的素对下界计算值 inf( m)的相对误差绝对值小于0.001的情况下，inf( m )图形几乎与真值 G(M)的图形重合(这么大的数如果能描点作图的话）。计算值大小变化规律几乎与真值完全一致。
而偶数表法数的区域下界函数值infS（m)则随着偶数的增大而缓慢的攀升，表明大偶数的表法数下限计算值是随偶数增大而逐渐缓慢上升的。这就是为什么讲大偶数必然能够分成两个素数的本质原因。


如果把这些偶数按照它们的波动系数 k(m)大小排列，那么同样它们的真值的排列基本上也排列好了，只有在 k(m)大小很接近的情况下才可能出现例外，这说明影响连续偶数素对数量多少的主要因素是它们的波动系数：

G(10000000020) = 37335123； k(m)= 2.73519
G(10000000032) = 32355048； k(m)= 2.37037
G(10000000026) = 28871083； k(m)= 2.11494
G(10000000010) = 28031513 , k(m)= 2.05351
G(10000000008) = 27563979； k(m)= 2.01905
G(10000000014) = 27361348； k(m)= 2.00436
G(10000000002) = 27302893； k(m)= 2
G(10000000030) = 19127680； k(m)= 1.40141
G(10000000000) = 18200488； k(m)= 1.33333
G(10000000024) = 16587802； k(m)= 1.21481
G(10000000018) = 13781412； k(m)= 1.00971
G(10000000006) = 13742400； k(m)= 1.0068
G(10000000016) = 13708223； k(m)= 1.00418
G(10000000028) = 13665084； k(m)= 1.00122
G(10000000012) = 13654956； k(m)= 1.0002
G(10000000022) = 13653503； k(m)= 1.00018
G(10000000004) = 13655366； k(m)= 1

重生888@

愚工688 发表于 2020-12-28 22:12
对于哈代公式里哥猜解是D（x）=2C（N)[x/（lnx）^2]
式中：拉曼纽扬系数   C（N）=C2A（N）*C2B（N）。
  ...

为愚工先生的计算点赞！