[讨论]复数的本质

ataorj

(-1)^2=1和i^4=1的含义与注意
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ataorj

记得增根有两种情形:分母为0,另一种好像与方根有关。增根上复数特别?比如,我那5个解有4个是增根?

ataorj

一个具体数的明确计算[指没有两可符号±等]怎么能是多个结果呢,可见应该是增根了.[以后分析过程]
-1旋转含义下的旋转方向
1*(-1)=-1,可见旋转1经过180°到达新位置后,变小了.若旋转微小[则结果跟原数接近],比如0.1*180°=18°,总不能够到达第四象限,出现负数吧?可见,...[结论省略]
(-1)^7.2=(-1)(-1)^6.2表示-1旋转6.2个180°,-1旋转6个180°后仍然是-1,这个结果-1继续旋转0.2个180°=36°,会落在第三象限,这时应该使用复数表示最终结果:
-cos36°-sin36°*i
=-0.809017-0.587785i
与Mathematica结果相同,ok

ataorj

以上可见,-1^0.5即i表示旋转90°和-1旋转方向相同.
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ataorj 在 时添加 -=-=-=-=-
(-1)^0.5

ataorj

旧帖复习:
cos弧度A=0.5((-1)^(A/π)+(-1)^(-A/π))
sin弧度A=0.5((-1)^(A/π)-(-1)^(-A/π))/i
......
设a,b为实数,a+bi=(-1)^0.2
a+bi表示(-1)^0.2的真身或原型,a+bi和(-1)^0.2可做等值变化,但是等值不是等价.等号不能改为恒等号.
(a+bi)^5=(-1)
(a^5-10*a^3*b^2+5*a*b^4)+(5*a^4*b-10*a^2*b^3+b^5)*i=-1=-1+0i,则有实数方程组:
(a^5-10*a^3*b^2+5*a*b^4)=-1
(5*a^4*b-10*a^2*b^3+b^5)=0
........

ataorj

sin弧度A=(-1)^(A/π)/(-1)^0.5的实部
=(-1)^(A/π-0.5)的实部
=(-1)^(0.5-A/π)的实部

ataorj

更正:前文设a+bi=(-1)^0.2,然后(a+bi)^5=(-1)而得到的5组a+bi并非都是(-1)^0.2的值.它们是^5后都=(-1)的全部复数,只有cos36°+sin36°*i≈0.809017+0.587785i≈(-1)^0.2才是,其他可视为增根一般看待.原因如下:
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实数扩充至复数域后,一个数就是平面一个坐标,其中虚数表示纵坐标.用Mathematica验证可知[这里以下只考虑字母取实数],(-1)^1表示翻转,即旋转180度的意思.(-1)^n表示旋转0.5n周,旋转方向由平面坐标系x和y轴正方向及n正负性情况决定.x正半轴绕原点旋转90度可至y正半轴时的方向为n为正数时的的旋转方向,这里称为正旋,相反地n为负数时的的旋转方向与正旋也相反,这里称为负旋.
(-1)^0.2表示(1+0i)*(-1)^0.2,表示(1+0i)旋转0.5*0.2=0.1周=36°,为正旋.
(-8)^(-1.2)=8^(-1.2)*(-1)^(-1.2),表示[8^(-1.2)+0i]旋转0.5*(-1.2)=-0.6周=-216°,为负旋.
(-1)^0.2=(-1)^(1/5)≠-1^(1/5),因为复数域中,其实(-1)^n表示旋转运算,是实数域外增加的基本运算,原实数域的负数开方乘方等在复数域中时,必须由用户自己转为正数进行,结果的符号由用户另行决定.
其实,即便在实数域时,负数的开方乘方都是很容易有歧义的.所以以上'规定'是合理的.

ataorj

实数域时:
(-8)^3=(-8)^[(3*2)/2]≠[(-8)^(3*2)]^(1/2)
应该规定,负数为底时的幂运算,指数优先,不能如上右边那样分拆指数,除非你解决好了结果的符号问题.
复数域时,总是首先分拆旋转运算,思路比较单纯,(-8)^3=(-1)^3*8^3, (-1)^3表示翻转3次,翻转2次时是回到原位,说明原样不变,所以为1,翻转3次相当于翻转1次,所以为-1
实数域时可借鉴以上分拆式子,则复数是兼容实数运算的.
(-8)^3中指数3为整数,这是兼容的关键.而(-8)^3.2是实数运算处理不好的,很容易有歧义解读的,但复数域就可严格逻辑地处理.
i=(-1)^0.5,并非说-1有方根[非严格下可简单说有,是说'方根'形式有意义,但并非真是方根],因为并非开方运算,而是旋转运算.这种混淆式'设计'是因为复数运算兼容实数运算,实数运算可通过旋转运算而仍能保持其原有的正确意义不变,但是原不能存在的情形却扩展出了全新价值,我们才可能真的畅通无阻地驰骋于数界.
另外,n为实数可表达全部可能的旋转量,所以不存在旋转虚数量.(-1)^(a+bi)是(-1)^(bi)旋转(-1)^a

则证明德莫弗定理很简单:
t,m为实数
X=2πt
cosX+isinX=(-1)^(2t)
(-1)^(2t*m)
Y=X*m
cosY+isinY=(-1)^(2t*m)
即
(cosX+isinX)^m=cos(X*m)+isin(X*m)

德莫弗定理另一种形式是解方程,开n次方,n为非0自然数,k=0,1,2,...,n-1
将前面m换为1/n,原结论式子显然仍然成立
X换为(X+2πk),原结论式子左边值显然无变化,说明右边也无变化,原结论式子仍然成立
(cos(X+2πk)+isin(X+2πk))^(1/n)=cos((X+2πk)/n)+isin((X+2πk)/n)

复数有许多复杂的运算情形,可能部分需要一些技巧才能完成运算和理解其实际意义.但是最核心的应该是以上旋转运算:
m(-1)^n表示平面上点m绕原点旋转0.5n周,m为复数,n为实数,[不存在旋转虚数量],旋转方向从略.