[原创]超越复数的三元数-从复平面到三维数空间

黄祥

收下了，谢谢各位高手的讨论

伐木道人

赵老师：
    从定义、公理出发，研究一种新的代数结构中的各种定理，是现代数学的一个特点， 你举的例子：
(ij)^2=0^2=0
(ij)^2=i^2*j^2=(-1)(-1)=1
上面的两个运算不知应取哪个值？
   其中第一种运算是对的！符合原论文给出的运算顺序，这里，再次提醒你：提问题前，为什么不仔细看一看原论文？《数学中国》上以图片形式已上传的清清楚楚，不知你是哪一所大学院校毕业的？学的是什么专业？尚请告知。
   从乘方的定义出发，(ij)^2=（i*j)(i*j)=0*0=0,括号里的先算，再乘积，只能是这一种结果。第二种情况，(ij)^2=i^2*j^2=(-1)(-1)=1，在三元数运算中是不对的，你没有仔细研究乘方的定义，及三元数运算的顺序，在原论文中作者是有交代的，i与j乘积后再与另一个ij乘积相乘，才是正确的运算，但在复数范围内，因结合律是满足的，你拆开来算也会对，这里隐含了一个必须满足结合律的条件才可以拆开算，而原乘方的定义中，即使去掉结合律，也能得到唯一确定的结果，只是在复数范围内，变通后拆开算，结果仍能成立，在三维数空间中，则不然，必须从定义出发，严格按照正确的运算顺序，作各种代数运算才行，因为，在一般意义上，这里结合律已不满足了，这是复数与三元数的很大的一个区别，中学课本中是不会花太多篇幅介绍这些好像人人都已懂得的东西的，这样的解答不知你是否全部明白了，你所指的第二种情况，必须有结合律的成立，才允许随意拆开，这时，已涉及三个数相乘了，必须明确运算顺序才行，不过，三元数的运算与复数并未产生任何矛盾，只是在新的条件下，出现了一种新的情况而已，况且又促使我们不得不对原有数系理论的各种定义必须做深入而详细的研究。
    不利用结合律，对复数运算，只从定义出发，完全可以得到相同的结论。
    愿与你多交流！
  


     第一种运算是对的，不知为什么你在提问题之前总是不去研究原论文，
  

zhaolu48

复数对应复平面上的向量。
复数的乘除对应向量的旋转。
不知这样的复数是否与向量有这样的对应关系？

zhaolu48

>不知你是哪一所大学院校毕业的？学的是什么专业？尚请告知。
本人属于“草本”，即函授本科，可并没“函”着什么，所掌握的一点知识基本上是自学。“函”的是数学。

伐木道人

zhaolu48 老师：
      研究数学不分“草本”、“木本”，只要符合一定的规则就行。
      你的发言：复数对应复平面上的向量，复数的乘除对应向量的旋转。
      不知这样的复数是否与向量有这样的对应关系？
      首先说明：这里三元数不是复数，而复数是三元数的特例：她的乘积的意义更加微妙！
      令p1=a+bi+cj,p2=x+yi+zj,如果p1与p2恰好在同一个数平面上，（bz-cy=0,由空间解析几何知识）则她们的乘积与复数相乘类似，可以对应于两个三维向量在同一个数平面上的旋转，如果两个三元数不在同一个数平面上，则可以将其中的一个三元数分解为两个三元数，其中一个与给定的三元数在同一个数平面上，另一个垂直于给定的三元数所在的数平面，共面的两个三元数乘积的几何意义符合向量的旋转，与复数相乘类似，垂直的两个三元数就有意思了，不妨就假定上面两个三元数垂直，     令p1=a+bi+cj,p2=x+yi+zj，p1与p2垂直，则p3=p1*p2=a(x+yi+zj)+x(a+bi+cj），这里几何意义已一目了然了，除了一个平面旋转外，尚有另一个线性几何变换，两个变换合成一个线性变换，代数学中称为仿射变换，你可以参考一些空间几何与高等代数之类的书去进一步搞懂。
    一言以蔽之，复数理论是三元数理论的特例，复数相乘只是仿射变换的一种特殊情形，仅有旋转而已，在三维数空间中，三元数相乘的几何意义更为一般，也更为本质，你的发言中，对数及向量似有混淆的地方，向量概念是物理学家为了实用引进的两种数的坐标的函数运算，在对客观世界真理的探讨中，数学家从来都是走在物理学家的前面，只从数的概念出发，完全可得出相同确定的结论，这里，并不需要从向量理论中得到多大的帮助，物理学中的概念可以释数的意义，为了实用，我们可以定义出几乎无数种数的坐标的函数。只把有限的几种交给物理学家就够用了，一时没有找到实用价值的数学理论比比皆是，数学就是数学，满足自我成长的需要即可，不必过多考虑物理学家的感受。
    鄙人工科本科毕业，后进修于部队院校，很早，对数系就产生了浓厚兴趣，或许上帝那里只有一个关于数系的真理，而这仅有的一个真理又恰恰被我意外发现了！
    好！欢迎你下次更有意义的发言！
      

wxz168

一个好论文。

伐木道人

   有时候，看到别人发表了一篇有分量的数学论文，觉得要是换成自己好像也能成功，不过一般必定是经历了许多次不成功的尝试后，才会最终找到一条捷径。
    喜欢数学的人总是对数学充满了热情，美国第三任总统托马斯.杰斐逊(Thomas .Jefferson)在《独立宣言》中有段经典的话：成千上万人曾经为此而热血沸腾！我们认为这是不言而喻的，我们每个人都是生而平等的！（Millions have thrilled to these words :We hold these truths to be self-evident,that all men are created equal...），这里，我们可以加上一句：其实，每个数也应该是生而平等的！（In fact,erery number is created equal,too!)
      研究数学有两个办法可以成功：一是研究的课题高、精、尖，一般人看不懂，这样很少有人能反驳；二是研究的课题算不得高、精、尖，一般人都能看懂，但即使是大数学家一般也绝难想到，其中第一种方法适合于大学院校、科研单位，需要经费充足，部门支持，第二种方法则适合于各类的研究者，基本不需要外界多少的帮助，但必须一下子选对课题，否则会毕生无功。
     好！言止于此，愿与大家共勉！

伐木道人

    数学家柯拉达在《华罗庚形成中国的数学》一文中，谈到：华罗庚先生是一个奇才，以他的研究及致力于数学大众化而著名。
    柯拉达充满深情地写道：数学，如音乐一样，以奇才辈出而著称，这些人即便没有受过正规的教育也才华横溢。
    事实上，华罗庚先生一直没有得过任何学位（直到1979年，法国Nancy大学授予他名誉博士学位），然而，他却成为了数学界的大人物。
    我们怀念华罗庚先生，不仅仅因为，他从一个小店员经努力最后成为了数学家，还因为，华先生所处的那个年代，学术界普遍充溢着和谐、公正的学风，大家自由讨论，平等交流，争鸣之声不绝于耳。
     所有爱好数学的朋友都应该学习华罗庚先生的治学精神，不断提高我们的数学水平，与更多的人开展交流，全面提高国民的数学修养。
  

伐木道人

大家好！
    关于数系理论仍有值得继续探讨的许多有趣的问题，相信随着讨论的深入，肯定会有更加精密、更加严谨、也更加优美有趣的新理论出现。

Denglongshan

下面引用由伐木道人在 2008/05/07 00:48am 发表的内容：
研究数学有两个办法可以成功：一是研究的课题高、精、尖，一般人看不懂，这样很少有人能反驳；二是研究的课题算不得高、精、尖，一般人都能看懂，但即使是大数学家一般也绝难想到，其中第一种方法适合于大学院校、科研单位，需要经费充足，部门支持，第二种方法则适合于各类的研究者，基本不需要外界多少的帮助，但必须一下子选对课题，否则会毕生无功。

此言极是