非标准分析中的无穷单位元Ω与标准微积分中的无穷大∞是什么关系？

luyuanhong

下面引用由门外汉在 2009/08/30 10:53pm 发表的内容：
谢谢陆教授的解释，那么我可不可以理解，在非标准分析中，无穷大量Ω无法在直线上表示出来？
另外，半圆弧的两个端点在直线上没有对应点，是不是说明半圆弧上的所有点与不能与直线上的所有点形成一一映射？
（当然我知道数学家们可以用另外的一种方法来使半圆弧上的所有点与直线上的所有点形成一一映射。）

在第 27 楼我给出的图像显示中，半圆弧只要去掉左右两个端点，就可以与直线上的所有的点形成一一映射了。
要将无穷大量在一条直线上（当然不是原来的直线，而是另一条直线）显示出来，其实也是可以做到的。

天茂

我认为这个解释不如射影几何中引入“无穷远元素”的方法好。
既然在代数上可以引入“无穷单位元”Ω，为什么不可以在几何上引入一个“无穷远元素”呢？

ygq的马甲

下面引用由天茂在 2009/08/31 08:31am 发表的内容：
我认为这个解释不如射影几何中引入“无穷远元素”的方法好。
既然在代数上可以引入“无穷单位元”Ω，为什么不可以在几何上引入一个“无穷远元素”呢？

射影几何，并不是平直空间（曲率等于 0）的，即不遵守“形式ｆｏｒｍａｌ”逻辑的
你（天茂）的方式，是不一样的

门外汉

还是拿这个图来说事：连接o，n两点，可以看出：线段on与弧on上的所有点可以形成一一对应，（也可以说所有的实数包括无穷大量Ω也同样可以在这条线段on上表示出来），而线段on与射线ox却不能一一对应，因为线段on的n点在射线ox上没有对应的点。
陆教授在这一点上怎么解释？

申一言

下面引用由天茂在 2009/08/31 08:31am 发表的内容：
我认为这个解释不如射影几何中引入“无穷远元素”的方法好。
既然在代数上可以引入“无穷单位元”Ω，为什么不可以在几何上引入一个“无穷远元素”呢？

          无穷远?
          在纯粹数学中不应该有物理,化学,,,应用数学的名词!
          诸如: 距离,长短,粗细,高矮,远近,,,,,,,,的度量词!
          在纯粹数学中"数"就是空间量的单位,数就是单位!!!!
          1.0  单 位: 0 1 2 3,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,n ,点:位置,位序,坐标点,,,
          2.基本单位: 1-√2-√3-√4-,,,,,,,,,,,,,,,√N,线段;
          3.单    位: 1",2",3",,,,,,,,,,,,,,,,,(√P)^2,正方形面积
          4.P进制单位: 1,P,P^2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,P^n, 正方形的面积
          5.分数单位:  1/2,1/3,1/4,,2/3,,,3/4,,,,,Q/P,  线段
          6.无穷大单位:0--------------------------→∞, 射线
          7.无穷小单位:1/n, n→∞,,,,,,,,,,,,,,,,,1/∞, 线段.
              个人见解,仅供参考!

申一言

[这个贴子最后由申一言在 2009/08/31 09:02am 第 1 次编辑]

下面引用由门外汉在 2009/08/31 08:50am 发表的内容：
还是拿这个图来说事：连接o，n两点，可以看出：线段on与弧on上的所有点可以形成一一对应，（也可以说所有的实数包括无穷大量Ω也同样可以在这条线段on上表示出来），而线段on与射线ox却不能一一对应，因为线段on ...

      哈哈!
           显然您的图不规矩!
           请注意!
                   天圆地方!
                             H=R=2r,   r=n, n=1,2,3,,,,,,,,,,,,,,,
       H=-XX=2r, r=on!
                                               俺也是门外汉.

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/08/31 10:07am 第 1 次编辑]

下面引用由天茂在 2009/08/31 08:31am 发表的内容：
我认为这个解释不如射影几何中引入“无穷远元素”的方法好。
既然在代数上可以引入“无穷单位元”Ω，为什么不可以在几何上引入一个“无穷远元素”呢？

直线上所有的点，可以与半圆弧上（除去两个端点以外的）所有的点建立一一对应。
再加上半圆弧的两个端点，就可以将全体实数以及＋∞和－∞，都在一段半圆弧上显示出来。
半圆弧很容易与线段建立一一对应，所以也可以将全体实数以及＋∞和－∞，都在一条线段上显示出来。
还可以将半圆弧的两端连接起来，变成一个圆，使＋∞和－∞合并成一个∞，对应于一个“无穷远点”，
这就与射影几何的概念完全符合了。在射影几何中，认为直线上存在一个而且只有一个“无穷远点”。
所有上面这些，都是传统数学中早已解决了的问题，没有什么新鲜的了不起的东西。
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非标准分析，与传统的标准的数学不一样的地方，是在于它突破了原来实数的范围，提出了“超实数”的概念。
非标准分析认为：不是只有一个∞，而是有无数个不同的具体的无穷大量，如 Ω、Ω+1、Ω-5、2Ω、5Ω-3 等等。
非标准分析认为：不是只有一个“无穷远点”，也不是只有代表±∞的两个点，而是有无数个不同的代表无穷大量的点。
在我给出的超实数域的图示中，这些代表无穷大量的点，紧密地聚集在半圆弧的两个端点处，看起来好像只有两个端点，
用肉眼无法看出不同的无穷大量之间的区别，只有用“无穷大望远镜”，才能看出它们之间的区别。
类似地，非标准分析认为：有无数个不同的具体的无穷小量，如 1/Ω、2/Ω、1/(Ω+5)、-3/Ω、-5/(Ω-3) 等等。
在我给出的超实数域的图示中，这些代表无穷小量的点，密集在半圆弧的零点处，看起来好像只是代表 0 的一个点，
用肉眼无法看出不同的无穷小量之间的区别，只有用“无穷小显微镜”，才能看出它们之间的区别。
“无穷大望远镜”和“无穷小显微镜”，才是非标准分析提出的超实数域图示中，与传统数学不同的新颖、独特的东西。

天茂

下面引用由luyuanhong在 2009/08/31 10:05am 发表的内容：
直线上所有的点，可以与半圆弧上（除去两个端点以外的）所有的点建立一一对应。
再加上半圆弧的两个端点，就可以将全体实数以及＋∞和－∞，都在一段半圆弧上显示出来。
半圆弧很容易与线段建立一一对应，所以也 ...

既然我们可以将半圆弧的两端连接起来，变成一个圆，使＋∞和－∞合并成一个∞，对应于一个“无穷远点”，那么，在这个点周围聚集无数个不同的具体的无穷大量，如 Ω、Ω+1、Ω-5、2Ω、5Ω-3 等等，有什么不可以呢？
我认为，有一个“无穷远点”比有两个“无穷远点”，更加符合非标准分析的观念。正好像在0的左右两边同样聚集了无数个不同的具体的无穷小量，如 1/Ω、2/Ω、1/(Ω+5)、-3/Ω、-5/(Ω-3) 等等一样。
新理论应该是旧理论的扩展，而不应该形成矛盾。如果非标准分析中有两个“无穷远点”，显然与射影几何形成了矛盾。陆老师您说是吗？

ygq的马甲

下面引用由天茂在 2009/08/31 11:32am 发表的内容：
既然我们可以将半圆弧的两端连接起来，变成一个圆，使＋∞和－∞合并成一个∞，对应于一个“无穷远点”，那么，在这个点周围聚集无数个不同的具体的无穷大量，如 Ω、Ω+1、Ω-5、2Ω、5Ω-3 等等，有什么不可以 ...

“说来说去”说到底，“扩张、扩展、拓展 ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ”方式不一样
你（天茂）说的这种方式，实际上就是我（俞根强、ｙｇｑｋａｒｌ）这种“新道学”，即用到“辩证ｄｉａｌｅｃｔｉｃ”逻辑的[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-

【友情提醒】“非标准分析”这个“扩张、扩展、拓展 ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ”，是没有“辩证ｄｉａｌｅｃｔｉｃ”逻辑的

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/08/31 00:27pm 第 1 次编辑]

下面引用由天茂在 2009/08/31 11:32am 发表的内容：
既然我们可以将半圆弧的两端连接起来，变成一个圆，使＋∞和－∞合并成一个∞，对应于一个“无穷远点”，那么，在这个点周围聚集无数个不同的具体的无穷大量，如 Ω、Ω+1、Ω-5、2Ω、5Ω-3 等等，有什么不可以呢？
我认为，有一个“无穷远点”比有两个“无穷远点”，更加符合非标准分析的观念。正好像在0的左右两边同样聚集了无数个不同的具体的无穷小量，如 1/Ω、2/Ω、1/(Ω+5)、-3/Ω、-5/(Ω-3) 等等一样。
新理论应该是旧理论的扩展，而不应该形成矛盾。如果非标准分析中有两个“无穷远点”，显然与射影几何形成了矛盾。陆老师您说是吗？

你的想法很好！
其实，要把半圆弧变成一个圆弧，把半圆弧的两个端点连接起来，变成一个点，是很容易做到的。
只要像下面那样，把投影中心 P 从半圆弧的圆心移到圆弧的下端就可以了：