[分享，讨论]数学的启示/数学是什么

hxl268

著名数学史家M•克莱因感慨万千：“数学中没有真理，即作为现实世界普适法则意义上的真理。”“数学家们正冒着传播谬误的危险，…。”“与科学完全无关的纯数学…”（[1]书89、269、287页）。

elimqiu

下面引用由hxl268在 2010/01/10 00:17am 发表的内容：
著名数学史家M•克莱因感慨万千：“数学中没有真理，即作为现实世界普适法则意义上的真理。”“数学家们正冒着传播谬误的危险，…。”“与科学完全无关的纯数学…”（书89、269、287页）。

这无非是说人不是上帝。他怎么才知道这点？

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/01/12 01:41am 第 1 次编辑]

欧几里德和他的公理系统
我们对欧几里德及其思想的认识全在于他的不朽著作：几何原本。
应该承认，对这位两千多年前的杰出思想家的工作和这些工作的意义，我们当中大部分人所知甚少。看来现代文明提高了人的平均寿命，却没有提高多少平均智商。教科书的著者好像是认定了今天青少年的低下的数学悟性和浮躁性情，故意不谈欧氏的公理系统。顺便说一下，这倒不是孤立的我国教育的问题，还颇有点国际化的倾向呢。
几何原本当然谈几何。但是它的影响远远超过了几何：它揭示了数学的演绎本质，建立了可以称为体系（系统+方法）的数学思想。
公理系统的大概结构如下：
若干“元词和元宜”
所谓元词是指系统的一些基本的对象的名称。这些名称的含义不通过定义给出。它们却被用来定义其他概念。例如点，直线，平面等都是欧氏公理系统中的元词。
所谓元宜是指系统对象的一些基本的（不加定义的）关系。例如 属于，介于，合同于等都是欧氏公理系统中的元词。
若干条公理
公理是关于系统对象的一些不加论证而被系统肯定的命题。这些命题刻划了元词和元宜的一些性质。使得这些不加定义的东西在系统中有了确定的意义。例如
I1： 对于两点A和B， 恒有一直线a, 使A和B皆属于a
I2： 对于不同两点A和B， 至多有一直线使得A和B皆属于它。
I3： 一直线至少有两点，至少有三点不属于（不在）同一直线（上）。
I4： 对不在同一直线上的任意三点，恒有一平面使它们都在其上。对任一平面，至少有一点属于它（在其上）。
I5： 对不在同一直线上的任意三点，至多有一个平面使它们都在其上。
I6： 若一直线L有两点在一平面P上，则L的每一点都在P上。
......
由此可见公理让元词元宜成为有确定意义的东西。公理也成为系统推理的基本出发点和根据。
系统的任何概念，要么由已经确立的概念来定义，要么是元词/元宜通过公理确立的概念。
系统的任何定理，要么由已经确立的定理推出，要么是公理本身。
（现代公理系统更把命题的生成法则加入系统）
===========================================================
我们看到，
（1）公理系统是最大限度保证严格性的系统。
（2）公理方法是避免循环论证，循环定义的手段
（3）公理方法使系统成为演绎系统，迫使系统内的知识（定理）之间的逻辑关系得到揭示。
（4）使得推理（论证）完全不依赖于直觉和形象。
关于公理系统，公理化思想还有很多可谈。

申一言

下面引用由elimqiu在 2010/01/11 08:24pm 发表的内容：
欧几里德和他的公理系统
我们对欧几里德及其思想的认识全在于他的不朽著作：几何原本。
应该承认，对这位两千多年前的杰出思想家的工作和这些工作的意义，我们当中大部分人所知甚少。看来现代文明提高了人的平均 ...

       好!
       好知识!

elimqiu

阿基米德是天才。天才给他所从事的学科带来的不仅是一系列的重大发现，更是智慧之美。

ygq的马甲

（2）公理方法是避免循环论证，循环定义的手段

这种“公理方法”，注定是不具备“完全性ｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ”的
.
实际上是对“悖论ｐａｒａｄｏｘ”的【恐惧】症[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-

对策是【递推】法等

申一言

下面引用由elimqiu在 2010/01/18 00:51am 发表的内容：
阿基米德是天才。天才给他所从事的学科带来的不仅是一系列的重大发现，更是智慧之美。

       正确!
       值得深思!

elimqiu

甲：completeness 已经出现在地平线上。
已：地平线在哪里？
丙：地平线就是你越朝它走，它离你越远的地方。

ywc

让我深有体会

changbaoyu

（3）公理方法使系统成为演绎系统，迫使系统内的知识（定理）之间的逻辑关系得到揭示。