实数集可数定理和 归 0 证明法

APB先生

春风晚霞 发表于 2021-1-25 20:10
APB先生，可否如下证明无限循环小数0.999…=1？
证明(反证法)：假设无限循环小数0.999……

春风晚霞：
              我认为不能这样证明 0.999…=1。
              因为 0.999… 的小数点右边的每一位上都必须是 9 ；所以要确定形如 0.999… 的二个数 a 和 b 的大小，就只能按照  a 和 b 中 9 的多少来确定，如 0.99<0.999；设 a = 0.999… 有无限多个 9 ，总可以在 a 上再加一个 9  得到 b ，因此有 a<b 。
              也正是因为 0.999… 的小数点右边的每一位上都必须是 9， 而 0.999… 又是无限循环的，其中的每一个 9 又都是定数，不可变为 10 ；所以使得 0.999… 永远不能进位而成为 1 。虽然 lim 0.999… =1成立，但是 0.999… =1 不成立；好比 lim 1/n =0 成立, 但是 1/n=0 不成立。

elim

在现行标准分析中, \(0.a_1a_2a_3\ldots\;\;(a_n\in\small\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\})\)
的定义是\(\;0.a_1a_2a_3\ldots=\displaystyle\lim_{n\to\infty}({\small\frac{a_1}{10^1}+\frac{a_2}{10^2}+\cdots\frac{a_n}{10^n}}).\)
这个定义对无尽小数或有限小数(\(a_m=0\;(m\ge N)\))都是有效的.
于是\(\;0.999\ldots=\displaystyle\lim_{n\to\infty}({\small\frac{9}{10}+\frac{9}{10^2}+\cdots\frac{9}{10^n}})=\lim_{n\to\infty}\small\frac{9}{10}\times\frac{1-1/10^n}{1-1/10}=1\)
所有的争议，都始于另类解读无尽小数，另类解读极限等等。但是当人提出另类解读
时，他就在他所选取的论域里说事，不论他的结论是什么，都推翻不了标准分析框架
下的等式 \(0.999....=1\). 顺便指出，另类解读数学基本概念当然是人的自由，但这种
解读是否使得新实数系成为数域，极限理论是否在其中成立就难说了。需要论证！
jzkyllcjl 的主张，客气点说就是惨不忍睹，一片混乱。所以他的万劫不复是有保障的。

APB先生

elim

\(0.\dot{0}1\)在标准实数系里面等于零. 因为\(\;0\le 0.\dot{0}1< \large\frac{1}{10^n}\) 对任意\(\,n\) 成立,
令\(\,n\to\infty\), 即得 \(0.\dot{0}1=0.\)  
但是在非标准分析的超实数系里，APB先生的定理\(\,0.\dot{9}<1\)成立。
这时\(n(1-0.\dot{9})<1\)对任意有限正整数\(\,n\)成立，即超实数系不具备阿基米德性。

阿基米德性：\(\forall u,v>0\,\exists n\in\mathbb{N}\;(nu>v)\)

APB先生

APB先生

elim 发表于 2021-1-26 16:04
\(0.\dot{0}1\)在标准实数系里面等于零. 因为\(\;0\le 0.\dot{0}1< \large\frac{1}{10^n}\) 对任意\(\,n\)  ...

elim

APB先生 发表于 2021-1-26 03:39

我后悔了什么？我现在还承认那些"自然数”是你设计的．但不承认它们是数．

APB先生

elim 发表于 2021-1-26 21:51
我后悔了什么？我现在还承认那些"自然数”是你设计的．但不承认它们是数．

elim

先生的无限整数形式上或许有意义，但不属于任何数系．因为没有自洽的四则运算．而且引入这种东西，整数集本身就不是可列的了．

APB先生

elim 发表于 2021-1-26 22:35
先生的无限整数形式上或许有意义，但不属于任何数系．因为没有自洽的四则运算．而且引入这种东西，整数集本 ...

不可数（不可列）是康拓谎言，万物可数，包括无限整数和无限小数。不可数的任何事物不存在。可数性是数学乃至一切科学的第一重要的性质。