清一色正整数111…1中有素因子p的任意次幂

白新岭

2^n-1  如果n=4k，则含有因子5；如果n=20k，则含有5的平方，与3一样；如果n=4*5^m*k,则含有（m+1）个素数5.这是(p-1)的形式。而素数31是有因子5对应的。2^10-1的分解因式是3*11*31,指数10的分解因式是2*5,2对应素数3,5对应素数31,10对应素数11.（再无它组合，指指数10的分解因式组合方法）。

白新岭

如果对此种知识感兴趣的话，可以继续研究它。我只是因为楼主的帖子勾起了我以前的，与此类似的知识，有感而发。

白新岭

如果n=9k，则2^n-1含有73素数因子（73-1=72=8*9，这里偶数8是2的三次方，与素数73无缘，只有自然数9才对应素数73）.

白新岭

我们可以搞一个接力赛，即从素数3开始，找指数n的分解因式中的对应数字。比如素数3对应2，素数5对应4，素数7对应3，素数11对应10，......。希望继续下去。n取合数（不用素数，素数是查找梅森素数的）。

白新岭

至于与素数循环节的关系，另待研究。

蔡家雄

在10000以内另有4对素数，其中4p+1模40余29，但它们都不是长周期素数：
                                      
p        4p+1        p mod 30        4p+1 mod 40        4p+1 mod 120        4p+1节长分数

709       2837         19        29         109        4
1429        5717         19        29         109        4
1549        6197         19        29         109        2
2029       8117         19        29         109        4

杨老师给出的：其中4p+1模40 不是余29，而是余37，

白新岭

2^11-1=23*89=(11*2+1)*(11*8+1)      它有什么规律？

蔡家雄

在10000以内，共找到11对双长循环节素数，它们是：                              
p        4p+1        p mod 30        4p+1 mod 40        4p+1 mod 120
7         29        7         7         7
97         389        7         17         97
487         1949        7         7         7
577         2309        7         17         97
727         2909        7         7         7
1087         4349        7         7         7
1297         5189        7         17         97
1327         5309        7         7         7        
1567         6269        7         7         7        
1777         7109        7         17         97        
2017         8069        7         17         97        
p都是模30余7的素数，4p+1都不是模40余29的素数；     

杨老师给出的：4p+1 都是 模40余29的素数；     

在10000以内另有4对素数，其中4p+1模40余29，但它们都不是长周期素数：
                                      
p        4p+1        p mod 30        4p+1 mod 40        4p+1 mod 120        4p+1节长分数

709       2837         19        29         109        4
1429        5717         19        29         109        4
1549        6197         19        29         109        2
2029       8117         19        29         109        4

杨老师给出的：其中4p+1模40 不是余29，而是余37，

蔡家雄

蔡家雄