再谈连乘积（1-1/p）的来历

大傻8888888

yangchuanju 发表于 2021-6-17 06:26
大傻8888888先生：
您好！
在您的帖子中您写到：

梅滕斯定理当n趋近无限大时∏(1-1/p)→(e^-γ)[1/ln（n）]=0.56145948......1/ln（n）其中n≧p，把其中n≧p换成n≧√p，则n趋近无限大时∏(1-1/p)→(e^-γ)[1/ln（√n）]，因为ln（√n）=1/2*ln（n），所以如果n≧√p，则n趋近无限大时n ∏(1-1/p)→2(e^-γ)n/ln（n）=1.12918967......n/ln（n）。
前式的p的取值和后式的p的取值各是多少？比如n=100，前式的p的取值是100以内的所有25个素数，后式的p的取值是10以内的素数2、3、5、7四个素数即可。

天山草@

下面是用 10000 为例计算的结果。程序为改正错误语句后的正确程序。

计算结果：

不大于 10000 的正整数中共有 1229 个素数，此为实际值。

用有误差连乘积公式计算，不大于 10000 的正整数中共有 1203 个素数。

用有误差连乘积公式计算，再加上用于筛除的素数个数进行修正，不大于 10000 的正整数中共有 1228 个素数。






从以上计算结果可知，连乘积系数的误差是正负交错变化的。

天山草@

再以 100000 为例计算，实际值是不大于 100000 的正整数中共有 9592 个素数。

用网上的连乘积公式计算，不大于 100000 的正整数中共有 9651 个素数，已偏大一些。因此再加上几个数

进行修正，似乎没有必要了，越加偏离越大，还不如不加：

用网上的连乘积公式计算，再加上用于筛除的素数个数进行修正，不大于 100000 的正整数中共有 9716 个素数。

lusishun

由连乘积得的结果，是近似值。这是大家的共识

lusishun

倍数含量重叠规律，揭示了连乘积（1-1/p），求小于n的素数个数如此受网友认可，其原因是整数部分按比例重叠，小数部分也有重叠。并且还有误差相互抵消，

天山草@

yangchuanju 先生，您在 61 楼说的是哪个程序？ 要计算某一整数 n 以内素数个数的精确个数，在 mathematica 中只需一条指令就够了，即  PrimePi [n] 就行了。
另外需要哪个程序，我可以把程序以文件形式贴出来。你只要有 mathematica 软件就能用。

愚工688

计算素数数量的连乘式积 Sp(x)与素数定理计算式  Gs(x)的各自的相对误差：

in [2, 1000 ]:     π(X)= 168       Sp(x)= 159.11    Δ=-.053    Gs(x)= 144.76    Δ2=-.138
in [2, 2000 ]:     π(X)= 303       Sp(x)= 291.34     Δ=-.038     Gs(x)= 263.13     Δ2=-.132
in [2, 3000 ]:     π(X)= 430       Sp(x)= 417.05     Δ=-.03      Gs(x)= 374.7      Δ2=-.129
in [2, 4000 ]:     π(X)= 550       Sp(x)= 536.32     Δ=-.025     Gs(x)= 482.27     Δ2=-.123
in [2, 5000 ]:     π(X)= 669       Sp(x)= 658.43     Δ=-.016     Gs(x)= 587.05     Δ2=-.122
in [2, 6000 ]:     π(X)= 783       Sp(x)= 768.08     Δ=-.019     Gs(x)= 689.69     Δ2=-.119
in [2, 7000 ]:     π(X)= 900       Sp(x)= 873.46     Δ=-.029     Gs(x)= 790.63     Δ2=-.122
in [2, 8000 ]:     π(X)= 1007      Sp(x)= 985.74     Δ=-.021     Gs(x)= 890.16     Δ2=-.116
in [2, 9000 ]:     π(X)= 1117      Sp(x)= 1107.32    Δ=-.009     Gs(x)= 988.47     Δ2=-.115

in [2, 10000 ]:    π(X)= 1229      Sp(x)= 1216.5     Δ=-.01      Gs(x)= 1085.74    Δ2=-.117
in [2, 20000 ]:    π(X)= 2262      Sp(x)= 2245.83    Δ=-.007     Gs(x)= 2019.49    Δ2=-.107
in [2, 30000 ]:    π(X)= 3245      Sp(x)= 3238.72    Δ=-.002     Gs(x)= 2910.09    Δ2=-.103
in [2, 40000 ]:    π(X)= 4203      Sp(x)= 4181.11    Δ=-.005     Gs(x)= 3774.78    Δ2=-.102
in [2, 50000 ]:    π(X)= 5133      Sp(x)= 5171.97    Δ= .008     Gs(x)= 4621.17    Δ2=-.1
in [2, 60000 ]:    π(X)= 6057      Sp(x)= 6074       Δ= .003     Gs(x)= 5453.5     Δ2=-.1
in [2, 70000 ]:    π(X)= 6935      Sp(x)= 7000.6     Δ= .009     Gs(x)= 6274.51    Δ2=-.095
in [2, 80000 ]:    π(X)= 7837      Sp(x)= 7883.55    Δ= .006     Gs(x)= 7086.05    Δ2=-.096
in [2, 90000 ]:    π(X)= 8713      Sp(x)= 8804.71    Δ= .011     Gs(x)= 7889.5     Δ2=-.095

in [2, 100000 ]:   π(X)= 9592      Sp(x)= 9686.73    Δ= .01      Gs(x)= 8685.89    Δ2=-.094
in [2, 200000 ]:   π(X)= 17984     Sp(x)= 18312.86   Δ= .018     Gs(x)= 16385.29   Δ2=-.089
in [2, 300000 ]:   π(X)= 25997     Sp(x)= 26628.83   Δ= .024     Gs(x)= 23787.74   Δ2=-.085
in [2, 400000 ]:   π(X)= 33860     Sp(x)= 34667.03   Δ= .024     Gs(x)= 31009.63   Δ2=-.084
in [2, 500000 ]:   π(X)= 41538     Sp(x)= 42615.18   Δ= .026     Gs(x)= 38102.89   Δ2=-.083
in [2, 600000 ]:   π(X)= 49098     Sp(x)= 50380.15   Δ= .026     Gs(x)= 45096.9    Δ2=-.081
in [2, 700000 ]:   π(X)= 56543     Sp(x)= 58193.57   Δ= .029     Gs(x)= 52010.44   Δ2=-.08
in [2, 800000 ]:   π(X)= 63951     Sp(x)= 65814.13   Δ= .029     Gs(x)= 58856.56   Δ2=-.08
in [2, 900000 ]:   π(X)= 71274     Sp(x)= 73476.84   Δ= .031     Gs(x)= 65644.8    Δ2=-.079

in [2, 1000000 ]:  π(X)= 78498     Sp(x)= 81052.53   Δ= .033     Gs(x)= 72382.41   Δ2=-.078
in [2, 2000000 ]:  π(X)= 148933    Sp(x)= 154670.5   Δ= .039     Gs(x)= 137848.7   Δ2=-.074
in [2, 3000000 ]:  π(X)= 216816    Sp(x)= 225223     Δ= .039     Gs(x)= 201151.6   Δ2=-.072
in [2, 4000000 ]:  π(X)= 283146    Sp(x)= 294842     Δ= .041     Gs(x)= 263126.7   Δ2=-.071
in [2, 5000000 ]:  π(X)= 348513    Sp(x)= 363658.8   Δ= .043     Gs(x)= 324150.2   Δ2=-.07


一般的说，在不大的范围内（＜10^8 ),连乘式计算的素数数量与真值差距还是比较小的。（相比较素数定理的计算值的差距而言）
可以看到随着数x的增大，连乘式计算值的相对误差 Δ值是越来越偏离0位增大；
而素数定理的计算式的相对误差 Δ2值则逐渐趋向0位。说明数学家对于素数定理的证明有道理的，


备注：
因为没有高速筛选任意比较大的x内素数数量的软件，不能提供更多的数据。我自己编写的求素数软件只能筛选＜10^8范围内的素数数据。实际仅仅运行了1千万以下的数据。

任在深

可以看到随着数x的增大，连乘式计算值的相对误差 Δ值是越来越偏离0位增大；
而素数定理的计算式的相对误差 Δ2值则逐渐趋向0位。说明数学家对于素数定理的证明有道理的，
可以看到随着数x的增大，连乘式计算值的相对误差 Δ值是越来越偏离0位增大；
而素数定理的计算式的相对误差 Δ2值则逐渐趋向0位。说明数学家对于素数定理的证明有道理的，
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   没道理的！

志明

天山草@ 发表于 2021-6-15 02:11
当自然数趋于无穷大时，“连乘积公式”对于真实值的相对误差会不会趋于零？ 还是在一定范围内波动？还是 ...

   “连乘积公式”自身具备有对误差的调控功能，调控功能的大小，是由逐步筛除过程中形成的累计误差，在从1至偶数Ａ的范围内分布的情况确定的，累计误差分布的情况越均衡，调控功能的作用发挥的越好。

    当累计误差相对较小，对于误差率的影响不会很大时，此时，在分析区（从1至A/P）范围内出现与累计误差同方向的误差的可能性较小，因此，“连乘积公式”对误差的调控功能的作用不明显，甚至有时还是反向的（把误差调大了）。

    当累计误差相对较大，对于误差率的影响较大时，此时，在分析区（从1至A/P）范围内出现与累计误差同方向的误差的可能性较大，因此，“连乘积公式”对误差的调控功能发挥的作用更加明显。

志明

　　因为，在从1至偶数A的范围内，素数的倍数与两个以上小于√A的素数乘积的倍数分布的均衡性，会随着偶数Ａ的增大而趋向更好。因此，在逐步筛除过程中形成的累计误差，在从1至偶数Ａ的范围内分布情况的均衡性，也会随着偶数的增大而趋向更好。因为累计误差分布的越均衡，调控功能的作用发挥的越好。因此，误差率会随着偶数的增大而趋向变小。有网友也认为，素数定理当数值趋近无限大时其计算值与实际值之比趋近于1。

　　因为计算素数对的连乘积公式，与计算素数数量的连乘积公式同根同源。因此，我曾认为，计算素数对的连乘积公式误差率会随着偶数的增大而趋向变小。并在较小的范围内进行检验的情况也是这样。但是，会运用电脑程序计算的网友的计算结果是，在相对较小的范围内，连乘积精确度的趋势是随着偶数的增大而提高，偶数增大到一定程度后，情况并不是这样。还有一位网友观点是：误差率收敛小于26.2%。

　　其原因应该是：运用连乘积公式求素数数量只是单筛，随着数值的增大，在逐步筛除过程中形成的累计误差的分布情况相对会更均衡，因此连乘积自身具备的调控功能的作用发挥的会更好。在运用连乘积公式求素数对数量时，不仅是双筛，并且还有连带的筛除数，情况比前者更复杂，这些情况影响了逐步筛除过程中形成的累计误差分布情况的均衡性。因为调控功能作用的大小，是由累计误差分布情况的均衡性确定的，因此，调控功能的作用也会受到影响。

　　不论检测计算的范围有多大，对于无穷大的范围还是很微小的，通过计算不能确定计算范围之外后面的情况是怎样的。“误差率收敛小于26.2%“，不知是误差率在接近26.2%之后，就慢慢逐步降低再不上升？还是误差率在接近26.2%之后，然后慢慢降低，再慢慢上升这样反复一直波动？

　　通过分析，可以肯定的是，“连乘积公式”自身具备有对误差的调控功能，并知：调控功能作用的大小，是由逐步筛除过程中形成的累计误差的分布情况的均衡性确定的。“连乘积公式”对误差的调控功能，保证了“连乘积公式”的计算结果是相对合理的近似值（误差是有限的，误差率不会无限扩大）。